Επαναληπτική 7

Γιώργος Κ77 · #1

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση

στο διάστημα [0,1]

, με

, για κάθε $x \in [0,1]$ .

Αν ισχύει 0<f(0)<f(1)

, να αποδείξετε ότι :

1. Η

στο

έχει μέγιστο το f(1)

.

2. $\int_{0}^{1}{f(x)dx}\leq \frac{f(0)+f(1)}{2}$ .

Andreas Dalaoutis · #2

Γιώργος Κ77 έγραψε:Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα , με , για κάθε $x \in [0,1]$ .

Αν ισχύει , να αποδείξετε ότι :

1. Η στο έχει μέγιστο το .

2. $\int_{0}^{1}{f(x)dx}\leq \frac{f(0)+f(1)}{2}$ .

1) Σύμφωνα με την υπόθεση, f(1)-f(0)>0

, οπότε αφού

παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, από Θ.Μ.Τ. στο $\left[0,1 \right]$ παίρνουμε ότι για κάθε $\xi \in \left[0,1 \right]$ $f^\prime(\xi )>0$ .

Άρα $f \nearrow$ στο $\left[0,1 \right]$ , οπότε η

παρουσιάζει μέγιστο στο

με τιμή

.

Το 2ο το αφήνω γιατί έχω ενδοιασμούς. Ας βάλει κάποιος άλλος τη λύση του και βλέπουμε.

Όλα αυτά είναι λάθος. Μεγάλη απροσεξία

Eukleidis · #3

Μα το ξ που εβγαλες δεν είναι συγκεκριμένος σταθερός αριθμός> Γιατί είναι για κάθε ξ?

Γιώργος Κ77 · #4

Αυτό είναι και το λάθος που έκανε ο Ανδρέας.Η λύση που έδωσε δεν είναι σωστή.

Andreas Dalaoutis · #5

Γιώργος Κ77 έγραψε:Αυτό είναι και το λάθος που έκανε ο Ανδρέας.Η λύση που έδωσε δεν είναι σωστή.

Εννοείται ότι δεν είναι σωστή. Αυτά κάνει η βιασύνη. Τώρα συνειδητοποίησα τι πατάτα έκανα. Την αποσύρω αμέσως.

alexandropoulos · #6

Για το (α) μιας και η κουβέντα.
Η συνάρτηση έχει μέγιστο και ελάχιστο στο [0, 1]

ως συνεχής.
Έστω ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο σε σημείο x_0

εσωτερικό του (0,1)

, τότε από Θ.Fermat είναι f' (x_0)=0

. Από τη μονοτονία της

προκύπτει ότι το x_0

θα είναι μοναδικό και θέση ελαχίστου.
Η συνάρτηση δεν παρουσιάζει μέγιστο σε εσωτερικό του [0,1]

οπότε το μέγιστο είναι στο άκρο και από την 0<f(0)<f(1)

το ζητούμενο

gtk1994 · #7

Για το πρώτο:
Η f συνεχής σε κλειστό διάστημα. Συνεπώς, παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο.
Επειδή 0<f(0)<f(1)

, ισχύει πως το μέγιστο δε μπορεί να εμφανίζεται στο 0.
Έστω , ότι δεν παρουσιάζεται στο 1.
Τότε, υπάρχει $r\in\(0,1)$ ώστε $f(x)\leq f(r), \forall x\in [0,1]$ .
Από Fermat, f'(r)=0

.
Όμως, η f' είναι γνησίως αύξουσα. Άρα , $\forall x\in (r,1)$
$0=f'(r)<f'(x)\Rightarrow$ H f γνησίως αύξουσα στο [r,1]

Συνεπώς,

, άτοπο
Άρα, η f παρουσιάζει μεγιστο στο 1 to f(1).

Γιώργος

alexandropoulos · #8

Για το (β) εφαρμόζω Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [0,x], [x,1]

. Προκύπτουν x_1, x_2

αντίστοιχα έτσι ώστε $f'(x_1)=\frac{f(x)-f(0)}{x},f'(x_2)=\frac{f(1)-f(x)}{1-x}$ . Από τη μονοτονία της

είναι
$f'(x_1)<f'(x_2)\Leftrightarrow \frac{f(x)-f(0)}{x}<\frac{f(1)-f(x)}{1-x}\Leftrightarrow ....\Leftrightarrow f(x)<x\left(f(1)-f(0) \right)+f(0)$ .
Με ολοκλήρωση στην τελευταία προκύπτει το ζητούμενο

Επαναληπτική 7

Επαναληπτική 7

Re: Επαναληπτική 7

Re: Επαναληπτική 7

Re: Επαναληπτική 7

Re: Επαναληπτική 7

Re: Επαναληπτική 7

Re: Επαναληπτική 7

Re: Επαναληπτική 7

Μέλη σε σύνδεση