ολοκληρωτικός λoγισμός

dennys · #1

Αν

παραγωγίσιμη συνάρτηση $:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \int_{0}^{x}f(t)dt>\int_{x}^{1}f(t)dt ,\forall x\in\mathbb{R},x\neq {0,1}$

Να δείξετε ότι $: 1)\int_{0}^{1}f(t)dt=0$

2) f(0)=f(1)=0

3)η εξίσωση $f(x)\int_{x}^{1}f(t)dt=f(x)f{'}(x)$ , έχει μία τουλάχιστον λύση στο (0,1)

φιλικά dennys

gtk1994 · #2

Ελπίζω να μην έχω κάνει κάπου λάθος...
α)Ισχύει πως οι $\int_{0}^{x}{f(t)dt},\int_{1}^{x}{f(t)dt}$ είναι παραγωγίσιμες, άρα και συνεχείς στο $\Re$ καθώς η

είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη.
Συνεπώς, τα όρια $\lim_{x\rightarrow 0}\int_{0}^{x}{f(t)dt}, \lim_{x\rightarrow 1}\int_{0}^{x}{f(t)dt},\lim_{x\rightarrow 0}\int_{1}^{x}{f(t)dt},\lim_{x\rightarrow 1}\int_{1}^{x}{f(t)dt}$ υπάρχουν. Οπότε, βάζοντας όρια στη δοθείσα ανισότητα έχουμε
$\lim_{x\rightarrow 0}\int_{0}^{x}{f(t)dt}\geq\lim_{x\rightarrow 0}\int_{1}^{x}{f(t)dt}\Rightarrow 0\geq \int_{0}^{1}{f(t)dt}$
Ομοίως , παίρνοντας όρια στο 1 προκύπτει ότι $\int_{0}^{1}{f(t)dt} \geq 0$
Οπότε τελικά $\int_{0}^{1}{f(t)dt} =0$
β)Η δοθείσα λοιπόν ανίσοτητα μετατρέπεται ως εξής:
$\int_{0}^{x}{f(t)dt}\geq \int_{x}^{1}{f(t)dt} \forall x \in \Re$
με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0,1
Συνεπώς, αν θεωρήσουμε $g(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}+\int_{1}^{x}{f(t)dt}$ συμπεραίνουμε πως παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στα x=0,1
Λόγω παραγωγισιμότητας και ανοιχτού διαστήματος ( $\Re$ ) , από Fermat παίρνουμε πως $g'(0)=g'(1)=0\Rightarrow f(0)=f(1)=0$
γ)Προκύπτει εύκολα απο Rolle για την $H(x)=f(x)\int_{1}^{x}{f(t)dt}$ στο [0,1]

Γιώργος

dennys · #3

Καλημέρα σε όλους

Ο φίλος έδωσε λύση που συμφωνώ στο α), στο β) δεν μπορει να έχω 2 ολικά ελάχιστα , ισως ήθελε να πεί τοπικά, και το γ) ας το αναπτύξει το συμπέρασμα στο Θ.ΡΟΛΛΕ.Νομίζω ότι

είναι λάθος.Θέλει άλλη συνάρτηση για ΡΟΛΛΕ.

dennys

gtk1994 · #4

Για το β) Αυτό που έγραψα δεν είναι ότι έχει 2 ολικά ελάχιστα. Αλλά 2 θέσεις ολικού ελαχίστου(που από όσο μπορώ να δω είναι σωστό)
Για το γ) Συγγνώμη (αναθεματισμένη βιασύνη) . Παίρνουμε Rolle για την
$H(x)=f^2(x)+(\int_{1}^{x}{f(t)dt})^2$
Γιώργος

#5

dennys έγραψε:......................

3)η εξίσωση $f(x)\int_{x}^{1}f(t)dt=f(x)f{'}(x)$ , έχει μία τουλάχιστον λύση στο

φιλικά dennys

Διονύση, το γεγονός ότι και στα δύο μέλη έχουμε το f(x)

καθιστά την άσκηση σχεδόν τετριμμένη με βάση το α΄ερώτημα.Εννοώ πως εύκολα προκύπτει ότι η

έχει ρίζα, συνεπώς ρίζα θα έχει και η δοσμένη εξίσωση.
Μήπως το ερώτημα θέλει ίσως κάτι διαφορετικό ;

Μπάμπης

dennys · #6

Mπάμπη καλημέρα

καταλαβα τι εννοείς .Θα ήταν καλύτερα να ρωτηθεί αλλιώς ...

τα φώτα σας.

dennys

ολοκληρωτικός λoγισμός

ολοκληρωτικός λoγισμός

Re: ολοκληρωτικός λoγισμός

Re: ολοκληρωτικός λoγισμός

Re: ολοκληρωτικός λoγισμός

Re: ολοκληρωτικός λoγισμός

Re: ολοκληρωτικός λoγισμός

Μέλη σε σύνδεση