Μεταφορά , κατοπτρισμός ή ταυτοτική συνάρτηση

Ιστοσελίδα · #1

Έστω

μια συνάρτηση από την πραγματική ευθεία στον εαυτό της, η οποία διατηρεί την απόσταση μεταξύ δύο οιωνδήποτε σημείων και στέλνει το σύνολο των ακεραίων αριθμών να απεικονιστεί στον εαυτό του.

α) Υποθέτοντας ότι η

δεν διαθέτει σταθερά σημεία, δείξτε ότι η

αποτελεί μια μεταφορά κατά μία ακέραια απόσταση.

β) Εάν η

διαθέτει ακριβώς ένα σταθερό σημείο, δείξτε ότι αυτό το σημείο οφείλει είτε να είναι ένας ακέραιος αριθμός είτε να κείται στο μέσον του διαστήματος μεταξύ δύο ακέραιων αριθμών. Ακολούθως, αποδείξτε ότι η

είναι ένας κατοπτρισμός ως προς το εν λόγω σταθερό σημείο.

γ) Τέλος, αποδείξτε ότι η

είναι κατ' ανάγκην η ταυτοτική συνάρτηση στην περίπτωση κατά την οποία αφήνει περισσότερα του ενός σημεία σταθερά .

#2

Είναι

και $f(\Bbb{Z})=\Bbb{Z}.$

α)
Για y:=0

είναι $\displaystyle{|f(x)-f(0)|=|x|}$ ή $f^2(x)=x^2+2f(0)f(x)-f^2(0) \ (^*).$

Για y:=1

είναι $\displaystyle{|f(x)-f(1)|=|x-1|\implies f^2(x)+f^2(1)-2f(x)f(1)=x^2-2x+1 \overset{(^*)}{\implies} 2f(x)(f(0)-f(1))=f^2(0)-f^2(1)-2x+1.}$

Επίσης, $f(0)-f(1)=\pm 1.$

Αν f(0)-f(1)=1

τότε $2f(x)=f(0)+f(1)-2x+1=2f(0)-2x \implies f(x)=f(0)-x,$ άτοπο διότι το $\displaystyle{\frac{f(0)}{2}}$ είναι σταθερό.

Άρα f(1)-f(0)=1

και

όπου $f(0)\in \Bbb{Z}.$

β)
Έστω x_0

το σταθερό σημείο.

Τότε, όπως παραπάνω, $f^2(x)=2f(x)x_0+x^2-2xx_0 \ (^*).$

Η αρχική γίνεται $\displaystyle{f^2(x)+f^2(y)-2f(x)f(y)=x^2+y^2-2xy \implies (f(x)-x_0)(f(y)-x_0)=(x-x_0)(y-x_0) ,}$

οπότε, επιλέγοντας $y: f(y)\ne x_0$ (υπάρχει αφού η

δε μπορεί να είναι σταθερή) είναι

$\displaystyle{ f(x)-x_0=A(x-x_0) \implies f(x)=Ax+x_0(1-A).}$

Αντικαθιστώντας στην αρχική βρίσκουμε, |A|=1.

Αν

τότε

δηλαδή η

είναι η ταυτοτική, άτοπο.

Αν A=-1

τότε

οπότε $\displaystyle{x_0=\frac{f(0)}{2}.}$

Το $x_0 \in \mathbb{Z}$ αν f(0)

άρτιος, ενώ αν f(0)

περιττός, το $x_0=k+\frac{1}{2}, \ k \in \mathbb{Z}.$

γ)
Από το προηγούμενο έχουμε f(x)=Ax+x_0(1-A),

με

Αν

τότε υπάρχει ένα ακριβώς σταθερό σημείο, άτοπο.

Άρα A=1

και

peter · #3

Μια άλλη απόδειξη.

Από την υπόθεση έχουμε ότι η

είναι συνεχής και 1-1. Άρα, είναι γνησίως μονότονη. Έστω ότι είναι γνησίως αύξουσα (όμοια η άλλη περίπτωση). Τότε, ο λόγος μεταβολής είναι θετικός αριθμός, άρα $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=1$ για κάθε $x\neq y$ . Για y=0

, παίρνουμε f(x)=x+f(0)

για κάθε $x\neq 0$ και λόγω συνέχειας για όλα τα

.

Tώρα τα ερωτήματα (α), (β) είναι άμεσα. Το (γ) δεν το βλέπω. Πώς γίνεται μια ισομετρία να είναι σταθερή; Μήπως εννοείτε την ταυτοτική;

#4

Ισχύει γενικότερα το εξής: κάθε μη ταυτοτική ισομετρία στην πραγματική ευθεία είναι είτε κατοπτρισμός είτε παράλληλη μεταφορά -- απόδειξη (για παράδειγμα) στην δεύτερη σελίδα της αδημοσίευτης μελέτης μου Isometries come in circles. (Με δυο λόγια: θεωρούμε δύο σημεία

,

της πραγματικής ευθείας, το

στα δεξιά του

, και τις εικόνες τους

,

, για τις οποίες υπάρχουν, λόγω διατήρησης της απόστασης, ακριβώς δύο περιπτώσεις: αν το

είναι στα δεξιά του

έχουμε παράλληλη μεταφορά, αν το

είναι στα αριστερά του

έχουμε κατοπτρισμό.)

Από αυτήν την γεωμετρική πρόταση προκύπτουν εύκολα τα συμπεράσματα της άσκησης.

Γιώργος Μπαλόγλου

peter · #5

Μια στο ίδιο κλίμα.

Έστω

φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb R$ και $f:X\to X$ επεκτατική συνάρτηση, δηλαδή $|f(x_1)-f(x_2)|\geq |x_1-x_2|$ για κάθε $x_1,x_2\in X$ . Δείξτε ότι η

είναι ισομετρία και ότι f(f(x))=x

για κάθε $x\in X$ .

Ιστοσελίδα · #6

Έγινε διόρθωση στο γ) ερώτημα : ταυτοτική συνάρτηση (όχι σταθερή συνάρτηση), όπως σωστά παρατήρησε ο peter.

#7

peter έγραψε:Μια στο ίδιο κλίμα.

Έστω φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb R$ και $f:X\to X$ επεκτατική συνάρτηση, δηλαδή $|f(x_1)-f(x_2)|\geq |x_1-x_2|$ για κάθε $x_1,x_2\in X$ . Δείξτε ότι η είναι ισομετρία και ότι για κάθε $x\in X$ .

Επαναφορά!

#8

socrates έγραψε:
peter έγραψε:Μια στο ίδιο κλίμα.

Έστω φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb R$ και $f:X\to X$ επεκτατική συνάρτηση, δηλαδή $|f(x_1)-f(x_2)|\geq |x_1-x_2|$ για κάθε $x_1,x_2\in X$ . Δείξτε ότι η είναι ισομετρία και ότι για κάθε $x\in X$ .
Επαναφορά!

Αν μπορούμε να μεταφέρουμε το πρόβλημα στην κλειστότητα του

( $\overline{X}$ ), που είναι συμπαγής χώρος, τότε έχουμε δει μία γενίκευση του προβλήματος εδώ

Μεταφορά , κατοπτρισμός ή ταυτοτική συνάρτηση

Μεταφορά , κατοπτρισμός ή ταυτοτική συνάρτηση

Re: Μεταφορά , κατοπτρισμός ή σταθερή συνάρτηση

Re: Μεταφορά , κατοπτρισμός ή σταθερή συνάρτηση

Re: Μεταφορά , κατοπτρισμός ή σταθερή συνάρτηση

Re: Μεταφορά , κατοπτρισμός ή σταθερή συνάρτηση

Re: Μεταφορά , κατοπτρισμός ή σταθερή συνάρτηση

Re: Μεταφορά , κατοπτρισμός ή σταθερή συνάρτηση

Re: Μεταφορά , κατοπτρισμός ή σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση