Μια ανισότητα του Steffensen

peter · #1

(Steffensen, 1918) Έστω $g:[a,b]\to [0,1]$ ολοκληρώσιμη συνάρτηση και $t=\int_a^b g$ . Τότε, για κάθε φθίνουσα συνάρτηση $f:[a,b]\to \mathbb R$ ισχύει:

$\displaystyle \int_{b-t}^b f(x)\, dx \leq \int_a^b f(x)g(x)\,dx \leq \int_a^{a+t} f(x)\, dx$ .

chris · #2

Καταρχάς εύκολα αποδεικνύουμε(με θεώρηση συνάρτησης και μονοτονία) ότι:

$\displaystyle \int_{a}^{x}{g(u)du}\leq x-a \: \: , \: \: \int_{x}^{b}{g(u)du}\leq b-x$

από όπου προκύπτει:
$\displaystyle a+\int_{a}^{x}{g(u)du}\leq a+x-a=x=b+x-b\leq b-\int_{x}^{b}{g(u)du}\Rightarrow a+\int_{a}^{x}{g(u)du}\leq x\leq b-\int_{x}^{b}{g(u)du}\Rightarrow f\left(a+\int_{a}^{x}{g(u)du} \right)\geq f(x)\geq f\left(b-\int_{x}^{b}{g(u)du} \right) \Rightarrow f\left(a+\int_{a}^{x}{g(u)du} \right)g(x)\geq f(x)g(x)\geq f\left(b-\int_{x}^{b}{g(u)du} \right)g(x)$

και με ολοκλήρωση στο [a,b]

έχουμε:
$\displaystyle \boxed{\int_{a}^{b}{\left[f\left(a+\int_{a}^{x}{g(u)du} \right)g(x) \right]dx}\geq \int_{a}^{b}{ f(x)g(x)dx}\geq \int_{a}^{b}{\left[f\left(b-\int_{x}^{b}{g(u)du} \right)g(x) \right]dx}}$

Τώρα :
$\displaystyle t=a+\int_{a}^{x}{g(u)du}\Rightarrow dt=g(x)dx \: , \: t=b-\int_{x}^{b}{g(u)du}\Rightarrow dt=g(x)dx$
οπότε:
$\displaystyle \int_{a}^{a+\int_{a}^{b}{g(t)dt}}{f(u)du}\geq \int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}\geq \int_{b-\int_{a}^{b}{g(t)dt}}^{b}{f(u)du}$

που είναι το ζητούμενο.

peter · #3

Ωραία Χρήστο! Αν δεν κάνω λάθος αυτή είναι η προσέγγιση του Pecaric και μάλιστα οι συνθήκες αυτές είναι ισοδύναμες.

Να γράψω κανά δυο προσεγγίσεις ακόμη, έτσι για να το διασκεδάσουμε.

2. Το επιχείρημα του Davie: Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle S(x)=\int_a^{a+G(x)} f(t)\, dt - \int_a^x f(t)g(t)\, dt$ όπου $G(x)=\int_a^x g$ και δείχνουμε ότι είναι αύξουσα.

3. (Mitrinovic) Ισχύει η ταυτότητα:

$\displaystyle \int_a^{a+t} f(s)\, ds-\int_a^b f(s)g(s)\, ds=\int_a^{a+t}(f(s)-f(a+t))(1-g(s))\, ds+\int_{a+t}^b(f(a+t)-f(s))g(s)\, ds$

και το συμπέρασμα έπεται από τη μονοτονία της

.

4. Θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle \int_{a+t}^b fg \leq \int_a^{a+t}f(1-g)$ για κάθε

φθίνουσα και αυτό μας οδηγεί σε χρήση majorization αποτελέσματος. Χρησιμοποιώντας το Λήμμα του Steffensen αρκεί να βρούμε κατάλληλες ολοκληρώσιμες συναρτήσεις $g_1,g_2:[a,b]\to \mathbb R$ ώστε $\int_a^b g_1=\int_a^b g_2$ και $\int_x^b g_1\geq \int_x^b g_2$ για κάθε

. Ορίζουμε λοιπόν: $g_1=g\chi_{[a+t,b]}$ και $g_2=(1-g)\chi_{[a,a+t]}$ και παρατηρούμε ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του λήμματος. Με άμεση εφαρμογή έχουμε το ζητούμενο.

O Apery (1951) απέδειξε μια διαφορετική έκδοση της ανισότητας του Steffensen:

(Apery) Έστω

φθίνουσα συνάρτηση στο $(0,\infty)$ και

ολοκληρώσιμη στο $[0,\infty)$ με $0\leq g(x) \leq A$ για κάποιον A>0

. Τότε, έχουμε $\displaystyle \int_0^\infty f(x)g(x)\, dx\leq A \int_0^\lambda f(x) \, dx$ , όπου $\lambda =\frac{1}{A}\int_0^\infty g$ .

Μια ανισότητα του Steffensen

Μια ανισότητα του Steffensen

Re: Μια ανισότητα του Steffensen

Re: Μια ανισότητα του Steffensen

Μέλη σε σύνδεση