Σειρά!

Ωmega Man · #1

Να υπολογιστεί η σειρά
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+1}$ .

#2

Mια μερική προσέγγιση με μετασχηματισμό Laplace ....

#3

Mancar Camoran έγραψε:Να υπολογιστεί η σειρά
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+1}$ .

Η δοθείσα παράσταση είναι ένα από τα γνωστά αθροίσματα τα οποία δεν εκφράζονται σε κλειστή μορφή. Μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της συνάρτησης Ψ (ή αλλιώς $\Psi ^{(0)}$ ), γνωστής ως polygamma function: Είναι εξ ορισμού $\Psi ^{(n)} = \frac {d^{n+1}}{dx^{n+1}}ln \Gamma$ , όπου Γ η συνάρτηση Euler. Για n = 0 παίρνουμε Ψ = Γ'/Γ.

Υποθέτω ότι αν βάλετε στο Google την φράση "polygamma function" θα βρείτε τις βασικές της ιδιότητες.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

Ωmega Man · #4

$\displaystyle 1+2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+1}=-\sum_{z_{n}=i,-i}Res\left(\frac{\pi}{(sin(\pi z)(z^2+1)};z_{n}\right)=\frac{-\pi}{isin(\pi i)}=\frac{2\pi}{e^{\pi}-e^{-\pi}}$ . Άρα
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+1}=\frac{\pi e^{\pi}}{e^{2\pi}-1}-\frac{1}{2}$ .

#5

Πάρα πολύ όμορφο τελικά .....

mathematica.gr

Σειρά!

Σειρά!

Re: Σειρά!

Re: Σειρά!

Re: Σειρά!

Re: Σειρά!

Μέλη σε σύνδεση