εξίσωση

marmix · #1

$(x+a)^{2}-(x-b)^{2}=2a(a+b)$
να δειχθεί ότι έχει πάνα λύση , οποιοιδήποτε και αν είναι οι πραγματικοί αριθμοί a,b

...
παρακαλώ όποιος βάλει λύση να γράψει πως σκεφτόμαστε γενικά σε τέτοιες ασκήσεις.

#2

marmix έγραψε: $(x+a)^{2}-(x-b)^{2}=2a(a+b)$
να δειχθεί ότι έχει πάνα λύση , οποιοιδήποτε και αν είναι οι πραγματικοί αριθμοί a,b...
παρακαλώ όποιος βάλει λύση να γράψει πως σκεφτόμαστε γενικά σε τέτοιες ασκήσεις.

Αρχικά κάνουμε πράξεις.

$\displaystyle{(x+a)^{2}-(x-b)^{2}=2a(a+b) \Leftrightarrow x^2+2ax+a^2-(x^2-2bx+b^2)=2a^2+2ab \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x^2+2ax+a^2-x^2+2bx-b^2=2a^2+2ab \Leftrightarrow 2ax+a^2+2bx-b^2=2a^2+2ab \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2ax+2bx=2a^2+2ab-a^2+b^2 \Leftrightarrow 2(a+b)x=a^2+2ab+b^2 \Leftrightarrow 2(a+b)x=(a+b)^2 (I)}$ ,
αφού χωρίσαμε γνωστούς από αγνώστους και παραγοντοποίησαμε και τα δύο μέλη.

Είμαστε στο στάδιο που πρέπει να διαιρέσουμε με τον συντελεστή του αγνώστου, ο οποίος είναι 2(a+b)

.
Για να συμβεί αυτό πρέπει να είναι μη μηδενικός. Συνεπώς διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

*Αν $2(a+b) \neq 0 \Leftrightarrow a \neq -b$ η (I)

δίνει: $\displaystyle{x=\frac{(a+b)^2}{2(a+b)}=\frac{a+b}{2}}$ .
*Αν $2(a+b) = 0 \Leftrightarrow a =-b$ η (I)

δίνει: $\displaystyle{0x=0}$ , η οποία είναι αόριστη.

εξίσωση

εξίσωση

Re: εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση