Είναι άσκηση για Πανελλήνιες?

dimplak · #1

Έστω συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει 2f'(x)+3xf^2(x)=0

και

. Να βρεθεί ο τύπος της

.

Κατ' αρχήν θα ήθελα να ομολογήσω με ειλικρίνεια ότι όταν ανακάλυψα αυτήν την άσκηση σε χειρόγραφες επαναληπτικές ασκήσεις ενός μαθητή, δεν φανέρωνε καθόλου τη δυσκολία που θα αντιμετώπιζα! Έπεσα στην παγίδα ότι επειδή έλεγε ότι $f:R\rightarrow R$ , η

μπορούσε να μηδενιστεί, οπότε πίστεψα ότι έπρεπε να κάνω μία... μαγική σκέψη πάνω στη δεδομένη σχέση (να πολλαπλασιάσω ίσως κάποια σύνθεση συνάρτησης του e) και να φτιάξω παράγωγο γινομένου στον α μέλος! Δεν κατάφερα τίποτα!

Στη συνέχεια όμως θυμήθηκα ότι η δεδομένη σχέση είναι και διαφορική εξίσωση και βρήκα μία σχεδόν ίδια στο σχολικό βιβλίο σελίδα 323, άσκηση 1α με τη διαφορά ότι εκεί λέει ότι y=f(x)>0

. Έτσι σκέφτηκα ότι έπρεπε πρώτα να δείξω αν ισχύει γενικά $f(x)\neq 0$ (πώς?) Μετά έκανα τα εξής:

$2f'(x)+3xf^2(x)=0 \Leftrightarrow -\frac{f'(x)}{f^2(x)}=\frac{3x}{2} \Leftrightarrow \left(\frac{1}{f(x)} \right)'= \left(\frac{3x^2}{4} \right)' \Leftrightarrow \frac{1}{f(x)} = \frac{3x^2}{4} + c$

και επειδή f(0)=1

προκύπτει

, άρα $\frac{1}{f(x)}=\frac{3x^2}{4}+1 \Leftrightarrow \frac{1}{f(x)} = \frac{3x^2+4}{4} \Leftrightarrow f(x) = \frac{4}{3x^2+4}$

Θα ήθελα την άποψη σας για τη λύση της άσκησης αλλά και για το αν θα μπορούσε να είναι θέμα πανελληνιών!

Ευχαριστώ!

#2

Καλημέρα.

Έτσι όπως έχει δοθεί η εκφώνιση, η άποψή μου είναι ότι είναι "τραβηγμένο" για πανελλήνιες. Αν όμως στην εκφώνιση δινόταν ότι $f:R\rightarrow R^{*}$ , τότε είναι μια χαρά για τις εξετάσεις (και παρόμοιο έχει τεθεί στο παρελθόν)

Τώρα θα κάνω μια προσπάθεια να αποδείξω ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρχει $m\epsilon R$ , τέτοιο ώστε να είναι
f(m)=0

.
Πρώτα - πρώτα αποκλείεται να είναι f(x)=0

για κάθε $x\epsilon R$ , εφόσον από την υπόθεση έχουμε ότι f(0)=1

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει σημείο $m\epsilon R$ , ώστε να είναι f(m)=0

, ενώ υπάρχει και περιοχή

του

ώστε να είναι

$f(x)\neq 0$ , για κάθε $x\epsilon P$ . Τότε όπως είδαμε παραπάνω (από τον dimplak), θα πρέπει

$f(x)=\frac{4}{3x^2+4}$ , για κάθε $x\epsilon P$

Όμως από την υπόθεση, η

είναι συνεχής στο

, αφού είναι παραγωγίσιμη.

Άρα πρέπει $\lim_{x\rightarrow m}f(x)=f(m)\Rightarrow \frac{4}{3m^2+4}=0$ , που είναι άτοπο.

Τώρα ας υποθέσουμε ότι υπάρχει διάστημα $\left[a,b \right]$ ώστε να είναι f(x)=0

για κάθε $x\epsilon [a , b]$

Tότε πάλι λόγω της συνέχεις της

, θα πρέπει π.χ να είναι:

$\lim_{x\rightarrow a-}f(x)=f(a)\Rightarrow \frac{4}{3a^2+4}=0$ , που και πάλι είναι άτοπο.

(Αν το πιο πάνω διάστημα είναι ανοικτό, επιλέγουμε ένα "στενώτερο" κλειστό διάστημα και εργαζ'ομαστε ομοίως)

Συνεπώς είναι $f(x)\neq 0$ για όλα τα $x\epsilon R$

dijkstra · #3

Από διδακτικής πλευράς κατά τη γνώμη σας, τι προσφέρουν οι διαφορικές εξισώσεις? Δηλαδή ελέγχουν την κατανόηση σε κάτι? Εγώ τις βλέπω σαν μια συλλογή από κόλπα-τεχνικές και τίποτα παραπάνω.
Για παράδειγμα θεωρώ πολύ καλύτερη σαν άσκηση την ανάλυση που έκανε ο Δημήτρης παραπάνω για να αποδείξει ότι $f(x) \neq 0$ παρά την λύση καθαυτή της διαφορικής εξίσωσης.

mathxl · #4

Μπορούμε να αποφύγουμε την διερεύνηση και να δείξουμε τον μη μηδενισμό της συνάρτησης ως εξής

$\displaystyle{2f'(x) + 3x{f^2}(x) = 0 \Rightarrow 2f'(x)f\left( x \right) + 6x{f^3}(x) = 0 \Rightarrow }$
$\displaystyle{{\left( {{f^2}\left( x \right)} \right)^\prime } + 6xf\left( x \right){f^2}(x) = 0 \Rightarrow {\left( {{f^2}(x){e^{\int\limits_0^x {6tf\left( t \right)dt} }}} \right)^\prime } = 0 \Rightarrow }$
$\displaystyle{{f^2}(x){e^{\int\limits_0^x {6tf\left( t \right)dt} }} = c}$ η οποία για x=0

δίνει $\displaystyle{c = 1}$ οπότε $\displaystyle{{f^2}(x){e^{\int\limits_0^x {6tf\left( t \right)dt} }} = 1 \Rightarrow {f^2}(x) = {e^{\int\limits_0^x {6tf\left( t \right)dt} }} > 0 \Rightarrow f\left( x \right) \ne 0}$ και έπειτα δουλεύουμε όπως ο dimplak

dimplak · #5

Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τη δεδομένη μας σχέση με f(x)

ενώ δεν ξέρουμε αν ισχύει $f(x)\neq 0$ ?

parmenides51 · #6

Διαφορετικά μπορεί να ζητηθεί σαν βοηθητικό ερώτημα

Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ έχει το πολύ δυο πραγματικές ρίζες.

(Δεν χρειάζεται να βρεθεί πρώτα ο τύπος της $\displaystyle{f}$ και μας εξασφαλίζει πως δεν μηδενίζεται σε διάστημα η $\displaystyle{f}$ )

mathxl · #7

dimplak έγραψε:Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τη δεδομένη μας σχέση με ενώ δεν ξέρουμε αν ισχύει $f(x)\neq 0$ ?

Ναι κάνοντας στο τέλος επαλήθευση του αποτελέσματος.

Είναι άσκηση για Πανελλήνιες?

Είναι άσκηση για Πανελλήνιες?

Re: Είναι άσκηση για Πανελλήνιες?

Re: Είναι άσκηση για Πανελλήνιες?

Re: Είναι άσκηση για Πανελλήνιες?

Re: Είναι άσκηση για Πανελλήνιες?

Re: Είναι άσκηση για Πανελλήνιες?

Re: Είναι άσκηση για Πανελλήνιες?

Μέλη σε σύνδεση