Απλές γεωμετρικές πιθανότητες 1

algal · #1

Σε μία περιφέρια κύκλου επιλέγονται τυχαία τρία σημεία. Ποιά είναι η πιθανότητα το σχετιζόμενο τρίγωνο να είναι οξυγώνιο?

#2

Πρόκειται για γνωστό πρόβλημα. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με $\displaystyle{\frac{1}{4}.}$

Δίχως βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ένα από τα τρία σημεία (έστω το $\displaystyle{A}$ ) είναι εξαρχής σταθερό και ότι μόνο δύο σημεία του κύκλου επιλέγονται τυχαία. Πράγματι, μετά από μια τυχαία επιλογή των τριών σημείων, ο κύκλος μπορεί να στραφεί περί το κέντρο του ώστε το $\displaystyle{A}$ να βρεθεί σε μια προκαθορισμένη θέση. Οι θέσεις των άλλων δύο σημείων, έστω $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{C}$ , καθορίζονται πλήρως από τα μήκη των τόξων $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{AC}$ (θεωρούμενα κατά τη θετική φορά). Παρατηρούμε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι μη οξυγώνιο αν και μόνο αν ένα από τα τρία τόξα στα οποία οι κορυφές του διαιρούν τον κύκλο είναι μεγαλύτερο ή ίσο από ημικύκλιο.

Κόβουμε τον κύκλο στο σημείο $\displaystyle{A}$ και τον "τεντώνουμε", δημιουργώντας το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AA'}$ . Με βάση τα παραπάνω, το πρόβλημά μας έχει την ισοδύναμη διατύπωση:

Δύο σημεία $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{C}$ επιλέγονται τυχαία στο ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AA'}$ . Να βρεθεί η πιθανότητα ώστε και τα τρία ευθύγραμμα τμήματα στα οποία χωρίζεται το $\displaystyle{AA'}$ να έχουν μήκος μικρότερο από το μισό του μήκους του $\displaystyle{AA'}$ .

Για ευκολία, ας ταυτίσουμε το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AA'}$ με το κλειστό διάστημα $\displaystyle{\left[ {0,1} \right]}$ . Έστω $\displaystyle{x,y}$ οι τετμημένες των σημείων $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{C}$ αντίστοιχα.

Ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης (δηλ. το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων) είναι το εσωτερικό του τετραγώνου $\displaystyle{\left[ {0,1} \right] \times \left[ {0,1} \right]}$ , με εμβαδό $\displaystyle{1}$ .

Το σύνολο όλων των ευνοικών αποτελεσμάτων είναι το γραμμοσκιασμένο μέρος του παρακάτω σχήματος και έχει εμβαδόν $\displaystyle{\frac{1}{4}.}$

Ώστε, η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με $\displaystyle{\frac{1}{4}.}$

algal · #3

Αυτό ακριβώς είναι!!! Δεν ξέρω αν είναι γνωστό το πρόβλημα το σίγουρο είναι οτι είναι ενδιαφέρον. Τουλάχιστον στα δικά μου μάτια από μία μικρή επαφή που είχα με αυτό το κεφάλαιο, το πάντρεμα της γεωμετρίας με τις πιθανότητες είναι αρκετά ελκυστικό.

#4

algal έγραψε:Αυτό ακριβώς είναι!!! Δεν ξέρω αν είναι γνωστό το πρόβλημα το σίγουρο είναι οτι είναι ενδιαφέρον. Τουλάχιστον στα δικά μου μάτια από μία μικρή επαφή που είχα με αυτό το κεφάλαιο, το πάντρεμα της γεωμετρίας με τις πιθανότητες είναι αρκετά ελκυστικό.

Καλησπέρα. Πιθανόν να σε ενδιαφέρει η σχετική συζήτηση ΕΔΩ.

algal · #5

Ευχαριστώ πολύ για την παραπομπή!

Απλές γεωμετρικές πιθανότητες 1

Απλές γεωμετρικές πιθανότητες 1

Re: Απλές γεωμετρικές πιθανότητες 1

Re: Απλές γεωμετρικές πιθανότητες 1

Re: Απλές γεωμετρικές πιθανότητες 1

Re: Απλές γεωμετρικές πιθανότητες 1

Μέλη σε σύνδεση