ΣΥΣΤΗΜΑ

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
${2^{x + y + 1}} = {4^y} + 1$
${2^{y + z + 1}} = {4^z} + 1$
${2^{z + x + 1}} = {4^x} + 1$
$\left( {x,y,z \in R} \right)$

#2

Με μια πρώτη ματιά:

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Αν είναι x=y

, τότε η πρώτη εξίσωση γράφεται:

$2.2^{2x}=2^{2x}+1\Leftrightarrow 2^{2x}=1\Leftrightarrow x=0$ .Άρα x=y=0

.

Οπότε η τρίτη εξίσωση γράφεται: $2^{z+1}=2\Leftrightarrow z=0}$

Συνεπώς αν δύο από τους x , y , z

είναι ίσοι, τότε όλοι θα είναι ίσοι και μάλιστα ίσοι με το μηδέν.

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Αν οι x , y , z

είναι άνισοι. Π.χ x>y>z

.

Τότε υπάρχουν θετικοί αριθμοί m , n

, ώστε να είναι:

x=z+m , y=z+n

Τότε το δοσμένο σύστημα γράφεται:

$2^{z+m+z+n+1}=4^{z+n}+1$
$2^{z+n+z+1}=4^{z}+1$
$2^{z+z+m+1}=4^{z+m}+1$

Άρα:

$4^{z}.2^{m+n+1}=4^{z}.4^{n}+1$
$4^{z}.2^{n+1}=4^{z}+1$
$4^{z}.2^{m+1}=4^{z}.4^{m}+1$

Άρα:

$4^{z}(2^{m+n+1}-2^{2n})=1$
$4^{z}(2^{n+1}-1)=1$
$4^{z}(2^{m+1}-2^{2m})=1$

Άρα , έχουμε:

$2^{m+n+1}-2^{2n}=2^{n+1}-1$
$2^{m+1}-2^{2m}=2^{n+1}-1$

Θέτουμε $2^{m}=k , 2^{n}=t$ , (όπου k , t>1

, εφόσον

). Tότε έχουμε:

$2kt-t^{2}=2t-1$
$2k-k^{2}=2t-1$

Όμως:

$2k-k^{2}=2t-1\Leftrightarrow k^{2}-2k=-2t+1\Leftrightarrow k^{2}-2k+1=-2t+2\Leftrightarrow (k-1)^{2}=-2(t-1)$

Από εδώ, έχουμε ότι πρέπει $t-1\leq 0\Leftrightarrow t\leq 1$ , που όμως είναι άτοπο.

Άρα η μοναδική λύση του δοσμένου συστήματος είναι η x=y=z=0

Grigoris K. · #3

Καλησπέρα κ. Ζανταρίδη και κ. Δημήτρη. Ακόμη μία ιδέα:

Καταρχάς επειδή το σύστημα είναι κυκλικό μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\displaystyle{ x \geq y \geq z }$

Αφαιρώντας την τρίτη από την πρώτη εξίσωση λαμβάνουμε: $\displaystyle{ 2^{x+y+1} - 2^{z+x+1} = 4^y - 4^x}$

Όμως λόγω της υπόθεσης είναι $\displaystyle{ x+y + 1 \geq z + x + 1 \Rightarrow 2^{x+y+1} \geq 2^{z+x+1} }$

Ἀρα θα είναι $\displaystyle{ 4^y - 4^x \geq 0 \Rightarrow y \geq x }$ . Συνεπώς $\boxed{y = x}$

Επίσης λόγω της δεύτερης και της τρίτης εξίσωσης θα ισχύει $\displaystyle{ 4^z + 1 = 4^x + 1 \Leftrightarrow \boxed{x = y = z} }$

Η πρώτη εξίσωση δίνει $\displaystyle{ 2^{2x + 1} = 2^{2x} + 1 \Leftrightarrow 2^{2x} = 1 \Leftrightarrow x = 0 }$

Άρα η μοναδική λύση του συστήματος είναι η $\boxed{(x,y,z)=(0,0,0)}$ .

#4

Grigoris K, ωραιότατη η λύση σου.

sokratis lyras · #5

Γρηγόρη,η λύση σου έχει ένα μικρό κένο.Όταν ένα σύστημα είναι κυκλικό,το μόνο που μπορούμε να κάνουμε είναι να υποθέσουμε ότι μία από τις μεταβλητές είναι μικρότερη από τις υπόλοιπες.Στην προκειμένη δηλαδή,πρεπεί να εξετάσεις και την περίπτωση $x\le z\le y$ (που είναι όμως ίδια στη συγκεκριμένη περίπτωση).

ΣΥΣΤΗΜΑ

ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Μέλη σε σύνδεση