Ψηφίζω άλγεβρα (1)

#1

Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς a,b,c,d

που ικανοποιούν τις ισότητες:
abc+d=2

Andreas Dalaoutis · #2

Κι εγώ Άλγεβρα ψηφίζω. Κρίμα που δεν κατεβάσαμε κόμμα...

Στα δικά μας τώρα.

Έστω (1), (2), (3), (4)

οι δοσμένες σχέσεις.

Από (1)+(2)

παίρνουμε: $abc+bcd=4-a-d\Leftrightarrow (a+d)(bc-1)=4 (5)$ .

Ομοίως, από (3)+(4)

έχουμε:

.

Τώρα, από (1)-(2)

λαμβάνουμε: $abc-bcd=a-d\Leftrightarrow (a-d)(bc-1)=0$ . Όμως σύμφωνα με την (5)

, $bc-1\neq 0$ , επομένως a=d

.

Αναλόγως από (3)-(4)

και την ίδια διαδικασία, σύμφωνα με την (6)

,

.

Άρα η (1)

πλέον γίνεται: $ab^2=2-a\Leftrightarrow a(b^2+1)=2$ και όμοια η (3)

δίνει:

.

Από τις δύο τελευταίες προκύπτει ότι a=b=c=d

και με αντικατάσταση σε μια από τις αρχικές και στη συνέχεια Horner προκύπτει ότι a=b=c=d=1

#3

Ανδρέα καλησπέρα!
Στις επόμενες εκλογές θα το παλέψουμε...
Για το σύστημα απλά πληροφορώ πως έχω και μία επιπλέον λύση, εκτός της δικής σου.
Λίγο ψάξιμο ακόμα και θα βρεθεί.
Καλή συνέχεια.

Christos.N · #4

Εγώ κατεβαίνω στο επικρατείας της Άλγεβρας, για αυτό μην με ψάξετε σε ψηφοδέλτια...

Παρατηρούμε ότι οι ισότητες είναι κυκλικές.

Έστω $\displaystyle{ abcd = q \Rightarrow bcd = \frac{q}{{a}} }$
τότε η εξίσωση $\displaystyle{ bcd + a = 2 }$
γίνεται, $\displaystyle{ \frac{q}{a} + a = 2 \Rightarrow a^2 - 2a + q = 0 }$ , ομοίως θα έχουμε $\displaystyle{ b^2 - 2b + q = 0,c^2 - 2c + q = 0,d^2 - 2d + q = 0 }$
άρα η εξίσωση δευτέρου βαθμού $\displaystyle{ x^2 - 2x + q = 0 }$
[έχει τέσσερις ρίζες και αυτό θα συμβαίνει μόνο αν όλες είναι ίσες μεταξύ τους ,συνεπώς η διακρίνουσα θα είναι ίση με μηδέν άρα] $\displaystyle{ q = 1 }$
έπεται και $\displaystyle{ x = 1 }$
Στην περίπτωση που υποθέσουμε ότι κάποιος από τους a,b,c,d

είναι ίσος με μηδέν εύκολα οδηγούμαστε σε άτοπο.

* Κακή εκτίμηση του αποτελέσματος, ευχαριστώ τον Χρήστο Κυριαζή για την παρατήρηση του.

Στην επόμενη δημοσίευση θα δώσω και πλήρη απάντηση.

Christos.N · #5

Christos.N έγραψε:
Παρατηρούμε ότι οι ισότητες είναι κυκλικές.

Έστω $\displaystyle{ abcd = q \Rightarrow bcd = \frac{q}{{a}} }$
τότε η εξίσωση $\displaystyle{ bcd + a = 2 }$
γίνεται, $\displaystyle{ \frac{q}{a} + a = 2 \Rightarrow a^2 - 2a + q = 0 }$ , ομοίως θα έχουμε $\displaystyle{ b^2 - 2b + q = 0,c^2 - 2c + q = 0,d^2 - 2d + q = 0 }$
άρα η εξίσωση δευτέρου βαθμού $\displaystyle{ x^2 - 2x + q = 0 }$
έχει λύση στους πραγματικούς αριθμούς.

Άρα η διακρίνουσα είναι μη αρνητικός αριθμός.
$\displaystyle{ \Delta = 4 - 4q = 4(1 - q) \ge 0 }$
και οι λύσεις της εξίσωσης θα είναι $\displaystyle{ 1 + \sqrt {1 - q} ,\,1 - \sqrt {1 - q} }$

Έστω $\displaystyle{ q = 0 }$
τότε τουλάχιστον ένας απο τους a,b,c,d

θα είναι ίσος με μηδέν και οδηγούμαστε σε άτοπο.
Διακρίνουμε περιπτώσεις ,
1η) Όλοι οι αριθμοί a,b,c,d

είναι ίσοι μεταξύ τους, τότε οι αρχικές γίνονται $\displaystyle{ a^3 + a = 2 }$
, οι οποίες έχουν μοναδική λύση $\displaystyle{ a = b = c = d = 1 }$
2η) Ένας αριθμός διαφέρει από τους υπόλοιπους που είναι ίσοι μεταξύ τους.
τότε $\displaystyle{ a = 1 + \sqrt {1 - q} ,b = c = d = 1 - \sqrt {1 - q} }$
ή $\displaystyle{ a = 1 - \sqrt {1 - q} ,b = c = d = 1 + \sqrt {1 - q} }$
διαδοχικά έχουμε :
$\displaystyle{ \begin{array}{l} a = 1 + \sqrt {1 - q} ,b = c = d = 1 - \sqrt {1 - q} \\ abcd = q \Rightarrow (1 + \sqrt {1 - q} )(1 - \sqrt {1 - q} )^3 = q \Rightarrow q(1 - \sqrt {1 - q} )^2 = q \Rightarrow q = 1 \vee q = - 3 \\ (a,b,c,d) = (1,1,1,1) \vee (a,b,c,d) = ( - 3, - 1, - 1, - 1) \\ \end{array} }$

$\displaystyle{ \begin{array}{l} a = 1 - \sqrt {1 - q} ,b = c = d = 1 + \sqrt {1 - q} \\ abcd = q \Rightarrow (1 - \sqrt {1 - q} )(1 + \sqrt {1 - q} )^3 = q \Rightarrow q(1 + \sqrt {1 - q} )^2 = q \Rightarrow q = 1 \\ (a,b,c,d) = (1,1,1,1) \\ \end{array} }$

3η) Δύο ζεύγη αριθμών είναι ίσοι μεταξύ τους.
$\displaystyle{ \begin{array}{l} a = b = 1 - \sqrt {1 - q} ,c = d = 1 + \sqrt {1 - q} \\ abcd = q \Rightarrow (1 - \sqrt {1 - q} )^2 (1 + \sqrt {1 - q} )^2 = q \Rightarrow q^2 = q \Rightarrow q = 1 \\ (a,b,c,d) = (1,1,1,1) \\ \end{array} }$

Άρα μοναδικές λύσεις θα είναι οι $\displaystyle{ (1,1,1,1),\,\,( - 3, - 1, - 1, - 1) }$

#6

Andreas Dalaoutis έγραψε: Από παίρνουμε: $abc+bcd=4-a-d\Leftrightarrow (a+d)(bc-1)=4 (5)$ .

Ανδρέα, για ξαναδές αυτό το βήμα.

Φιλικά,

Μιχάλης

#7

Christos.N έγραψε:... $\displaystyle{ \frac{q}{a} + a = 2 \Rightarrow a^2 - 2a + q = 0 }$ , ομοίως θα έχουμε $\displaystyle{ b^2 - 2b + q = 0,c^2 - 2c + q = 0,d^2 - 2d + q = 0 }$

Σωστά και καλά μέχρι εδώ. Για να δώσω μία υπόδειξη για το παρακάτω, αφαίρεσε κατά μέλη δύο από τις σχέσεις που βρήκες.

Φιλικά,

Μιχάλης

#8

chris_gatos έγραψε: Παρ Μάιος 04, 2012 7:50 pm Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς που ικανοποιούν τις ισότητες:

Είναι

οπότε το πολύ δύο από τα ,b,c,d

θα είναι διαφορετικά δηλαδή $a,b,c,d \in \{x,y\} , x\ne y.$

Αν $\displaystyle{a=b=c=d=x}$ τότε $\displaystyle{a=b=c=d=1.}$
Αν $\displaystyle{a=b=c=x, d=y}$ τότε $\displaystyle{x^3+y=2}$ και $\displaystyle{x^2y+x=2}$
οπότε $\displaystyle{x^2(2-x^3)+x=2 \iff x^5-2x^2-x+2=0 \iff x=1 \vee x=-1}$
οπότε x=-1, y=3

και τελικά $(a,b,c,d) \sim(-1,-1,-1,3).$

Ψηφίζω άλγεβρα (1)

Ψηφίζω άλγεβρα (1)

Re: Ψηφίζω άλγεβρα (1)

Re: Ψηφίζω άλγεβρα (1)

Re: Ψηφίζω άλγεβρα (1)

Re: Ψηφίζω άλγεβρα (1)

Re: Ψηφίζω άλγεβρα (1)

Re: Ψηφίζω άλγεβρα (1)

Re: Ψηφίζω άλγεβρα (1)

Μέλη σε σύνδεση