Το τετράπλευρο με δύο πλευρές παράλληλες είναι τραπέζιο;

bmathematic · #1

Παρατήρησα στις λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου (π.χ. ασκήσεις εμπέδωσης σελ. 114, 115) όταν ζητάει να δείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι τραπέζιο σταματά τη λύση όταν δειχθεί ότι δύο απέναντι πλευρές είναι παράλληλες. Δεν εξετάζει αν οι άλλες δύο είναι μη παράλληλες. Αν έχει γίνει ξανά συζήτηση στο mathematica για το ίδιο θέμα παρακαλώ αναρτήστε το LINK γιατί δεν βρήκα κάτι σχετικό.

JimVerman · #2

Προφανώς και το βιβλίο λανθασμένα δεν αποδεικνύει ότι οι άλλες δύο πλευρές δεν είναι παράλληλες. Αν δεν εξετάζαμε κάτι τέτοιο δεν θα είχε νόημα να συζητάμε καν για τραπέζια. Δείτε και εδώ.

Δημήτρης Β.

#3

Για να μην ψάχνω στο σχολικό βιβλίο τις ασκήσεις μία - μία, μήπως από το σχήμα(δεδομένα κλπ) είναι προφανές ότι οι παράλληλες πλευρές είναι άνισες ;

Διαφορετικά , η αντιμετώπιση είναι ελλειπής . Αν σου είναι εύκολο , βρες μια άσκηση του σχολικού που αφορά το θέμα αυτό και πες τον αριθμό της, για να δούμε τι ακριβώς γίνεται.

Μπάμπης

#4

Δηλαδή, ένα παραλληλόγραμμο που είναι ειδική περίπτωση τραπεζίου, παύει να είναι τραπέζιο ;

Αν αποδεικνύεται ότι ένα τετράπλευρο είναι τραπέζιο έχοντας δύο πλευρές του παράλληλες μεταξύ τους, γιατί θα πρέπει να αποδεικνύεται ότι δεν είναι παραλληλόγραμμο ;

Κάθε φορά που αποδεικνύουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, θεωρούμε ότι η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί, αν αυτό ήταν το ζητούμενο. Ποτέ δεν σκεφτήκαμε να αποδείξουμε ότι δεν είναι ρόμβος ή τετράγωνο, έστω και εάν προκύπτει ότι είναι.

Συγχωρέστε με, αλλά προσπαθώ να καταλάβω ποιος είναι προβληματισμός γι' αυτό το θέμα.

Κώστας Βήττας.

#5

Κώστα, είναι θέμα ορισμού. Αν πεις ότι τραπέζιο είναι το τετράπλευρο που έχει ένα ζεύγος παράλληλων πλευρών, τότε είναι όπως τα λες και δεν χρειάζεται να ελέγξεις τίποτα. Αν όμως πεις ότι είναι το τετράπλευρο που έχει ακριβώς ένα ζεύγος παράλληλων πλευρών, τότε το παραλληλόγραμμο δεν είναι τραπέζιο και πρέπει να ελεγχθεί ότι το άλλο ζεύγος δεν είναι παράλληλες.

Ποιον ορισμό θα επιλέξουμε δεν έχει και τόση σημασία αλλά οφείλουμε να συμβαδίζουμε με τον επιλεγμένο ορισμό. Αν λοιπόν το σχολικό βιβλίο μιλάει για μόνο ένα ζεύγος παράλληλων πλευρών οφείλει να το ελέγχει.

Επί τη ευκαιρία στα στοιχεία ο Ευκλείδης ορίζει διαφορετικά το τραπέζιο. Στον όρο 22 λέει

Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον: τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω.

Διαβάζω στον Heath ότι ο Πρόκλος αναφέρει πιο λεπτομερή ταξινόμηση των τετραπλεύρων την οποία αποδίδει στον Ποσειδώνιο και στην οποία το τραπέζιο είναι μη παραλληλόγραμμο τετράπλευρο με ένα ζεύγος παράλληλων πλευρών.

#6

Δημήτρη, δεν γνωρίζω τον ορισμό που δίνει το σχολικό βιβλίο και σ' ευχαριστώ πολύ για τη διευκρίνιση.

Τώρα που κοίταξα στο σχολικό βιβλίο της εποχής μου, του Νικολάου Δ. Νικολάου, ορίζει το τραπέζιο ως το τετράπλευρο που έχει δύο μόνο παράλληλες πλευρές.

Κώστας Βήττας.

#7

Στο σχολικό βιβλίο (Π. Βλάμος κ.α.) και στο προηγούμενο (Γ. Θωμαΐδης, Α, Πούλος κ.α.) το τραπέζιο ορίζεται σαφώς ως το κυρτό τετράπλευρο που έχει δύο μόνο πλευρές παράλληλες.

Οπότε ο έλεγχος για τη μοναδικότητα των παραλλήλων (ή ισοδύναμα) το ότι οι παράλληλες δεν είναι και ίσες είναι απαραίτητη για την πληρότητα της λύσης.

#8

Θυμάμαι ότι και σε κάποιο διαγωνισμό της ΕΜΕ , πριν χρόνια , υπήρχε παρόμοιο ερώτημα . Στο κέντρο που ήμουνα είχα βρει μια λύση, αλλά από τα δεδομένα προέκυπτε ότι θα μπορούσε επίσης το τετράπλευρο αυτό να είναι και παραλληλόγραμμο. Σε μια τηλεφωνική συζήτηση την ίδια μέρα με κάποιο μέλος του διαγωνισμού , μου απάντησαν αυτό που είπε και ο Κώστας . Δεν ήθελα να πάει παραπέρα η συζήτηση, είπα όμως ότι καλύτερα το ερώτημα να έλεγε '' δείξτε ότι τα τμήματα ΚΛ και ΜΝ είναι παράλληλα '' .
Νομίζω ότι και σε πολλές άλλες ασκήσεις με τραπέζια πρέπει να γίνει το ίδιο, να γίνουν δηλαδή ερωτήματα παραλληλίας, εκτός από εκεί βέβαια που σκόπιμα θέλουμε να αποδείξουμε ότι μόνο το ένα ζεύγος απέναντι πλευρών είναι παράλληλες ή ότι οι παράλληλες πλευρές δεν είναι ίσες.

Μπάμπης

Ιστοσελίδα · #9

Καλημέρα. Μια υποδειγματική επίλυση, από το συνάδελφο Γιάννη Λαζαρίδη, της άσκησης: "Έστω ${\rm A}\Delta$ το ύψος ενός τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ με $\widehat {\rm B} > \widehat \Gamma$ και $\widehat {\rm B} \ne {90^ \circ }$ . Αν ${\rm K},\Lambda ,{\rm M}$ είναι τα μέσα των ${\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma ,{\rm B}\Gamma$ αντίστοιχα, να δειχθεί ότι το τετράπλευρο $\Delta {\rm K}\Lambda {\rm M}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.", όπου φαίνεται ξεκάθαρα η απόδειξη της μη παραλληλίας των ίσων πλευρών $\Lambda {\rm M},{\rm K}\Delta$ .

Δείτε την εδώ.

Το τετράπλευρο με δύο πλευρές παράλληλες είναι τραπέζιο;

Το τετράπλευρο με δύο πλευρές παράλληλες είναι τραπέζιο;

Re: Το τετράπλευρο με δύο πλευρές παράλληλες είναι τραπέζιο;

Re: Το τετράπλευρο με δύο πλευρές παράλληλες είναι τραπέζιο;

Re: Το τετράπλευρο με δύο πλευρές παράλληλες είναι τραπέζιο;

Re: Το τετράπλευρο με δύο πλευρές παράλληλες είναι τραπέζιο;

Re: Το τετράπλευρο με δύο πλευρές παράλληλες είναι τραπέζιο;

Re: Το τετράπλευρο με δύο πλευρές παράλληλες είναι τραπέζιο;

Re: Το τετράπλευρο με δύο πλευρές παράλληλες είναι τραπέζιο;

Re: Το τετράπλευρο με δύο πλευρές παράλληλες είναι τραπέζιο;

Μέλη σε σύνδεση