Από "Mathematical Reflections"

[Grigoris K.]

Έστω κύκλος και τυχόν εξωτερικό του σημείο. Οι ευθείες διέρχονται από το και τέμνουν τον κύκλο στα εξής σημεία:
.
Έστω και ένα σημείο τομής της ευθείας και του .
Να αποδειχθεί ότι η είναι εφαπτόμενη στον .


Για το συγκεκριμένο πρόβλημα έχω υπόψιν μου μόνο την προτεινόμενη λύση. Ωστόσο αυτή μου φαίνεται "παρατραβηγμένη" και θα με ενδιέφερε να δω κάτι διαφορετικό από την δυνατή Γεωμετρική παρέα του . Αν γίνεται ας μην χρησιμοποιηθεί αντιστροφή. Ευχαριστώ.

[KDORTSI]

Πολική 3.PNG (10.04 KiB) Προβλήθηκε 5772 φορές

Τα σημεία είναι συζυγή του σημείου ως προς τον κύκλο .
Άρα ανήκουν στην πολική του σημείου αυτού ως προς τον κύκλο αυτό.

Η πολική αυτή τέμνει τη διάμετρο του κύκλου που διέρχεται από το σημείο
στο σημείο το οποίο είναι το συζυγές αρμονικό του ως προς τα σημεία .(1)

Ακόμα:
Τα σημεία στα οποία η πολική τέμνει τον κύκλο είναι σημεία επαφής των
εφαπτομένων που άγονται από το σημείο προς τον κύκλο αυτό. (2)


Κώστας Δόρτσιος

[Grigoris K.]

Ευχαριστώ κ. Δόρτσιο που ασχοληθήκατε με το πρόβλημα. Οι πολικές μας "λύνουν" τα χέρια σε τέτοια θέματα.
Αναρωτιέμαι, όμως, αν θα μπορούσαμε να βρούμε μία λύση με στοιχειώδη μέσα.
Χμμμ η άσκηση προφανώς χρειάζεται τον "Στάθη" της!

[vittasko]

...Χμμμ η άσκηση προφανώς χρειάζεται τον "Στάθη" της!

Γρηγόρη, καλό.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Ίσως είναι μία καλή ευκαιρία να δούμε πως προσεγγίζεται με στοιχειώδη μέσα, η θεωρία περί Πόλων και Πολικών.

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

...Χμμμ η άσκηση προφανώς χρειάζεται τον "Στάθη" της!

Γρηγόρη, καλό.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Ίσως είναι μία καλή ευκαιρία να δούμε πως προσεγγίζεται με στοιχειώδη μέσα, η θεωρία περί Πόλων και Πολικών.

Φίλοι μου σας ευχαριστώ για την εκτίμηση που μου δείχνετε αλλά ο σταυρός που μου "φορτώνεται" "φαίνεται" να είναι βαρύς και
μάλλον χρειάζεται το χαλαρότερο Σαββατοκύριακο. Εκ πρώτης όψεως έχω κάτι κατά νου και πιστεύω να μην σας απογοητεύσω. Οψόμεθα!!!...

Με ΕΚΤΙΜΗΣΗ

Στάθης

[KDORTSI]

Πολική 1.PNG (13.92 KiB) Προβλήθηκε 5544 φορές

Συμπληρώνοντας το θέμα "περί πολικής" που σχετίζεται με τη λύση που ανάρτησα
αναφέρω μια "πρόταση κλειδί":

"Αν το σημείο είναι το συζυγές του ως προς τον κύκλο τότε:
ο κύκλος με διάμετρο την τέμνει πάντα τον αρχικό κύκλο ορθογώνια"

Συμπέρασμα: Το σημείο είναι σταθερό, άρα και η κάθετος σ' αυτό επί την είναι σταθερή(η πολική)

κι ακόμα:
"Αν τυχαίο σημείο της πολικής τότε ο κύκλος με διάμετρο την τέμνει τον αρχικό ορθογώνια"

Αυτό μπορείτε να το δείτε στο δυναμικό σχήμα όπου φαίνεται και η περίπτωση των εφαπτομένων που άγονται από το σημείο προς
τον κύκλο που εφάπτονται στα σημεία τομής της πολικής με τον κύκλο.

Πολική 2.PNG (9.51 KiB) Προβλήθηκε 5544 φορές

Πολική 3(δυναμικό).fig

(2.72 KiB) Μεταφορτώθηκε 66 φορές

Κώστας Δόρτσιος

[vittasko]

Καλό είναι να συγκεντρώσουμε εδώ όσες προτάσεις έχουμε υπόψη μας που προσεγγίζουν τη θεωρία Πολικών με στοιχειώδη μέσα και αργότερα να δούμε πως μπορεί να γίνει τακτοποίησή τους σε ενιαίο κείμενο.

Πολλές φορές έχω σκεφτεί να κάνω κάτι τέτοιο, αλλά αυτά που έχω κατά νου είναι σκόρπια εδώ και κεί και δεν είναι εύκολο για μένα ( σαν δραστηριότητα ) να τα οργανώσω σε κάποιο αρχείο, εύληπτο στον μέσο αναγνώστη ο οποίος δεν είναι εξοικειωμένος με αυτό το αντικείμενο.

ΠΡΟΤΑΣΗ 1. - Δίνεται κύκλος με διάμετρο και έστω τυχόν σημείο στην προέκταση της ευθείας προς το μέρος του Έστω τα σημεία επαφής των εφαπτομένων του κύκλου από το σημείο και έστω το σημείο Αποδείξτε ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική.

Πολικές - Πρόταση 1.

f=112_t=25962.PNG (13.5 KiB) Προβλήθηκε 5496 φορές

Απόδειξη. - Αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει

Φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία οι οποίες τέμνουν την ευθεία στα σημεία έστω αντιστοίχως.

Από , σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, έχουμε :

, γιατί ισχύει και και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Το ζητούμενο προκύπτει άμεσα και από το ορθογώνιο τρίγωνο όπου είναι το κέντρο του και όπου

Πράγματι, είναι γνωστό ότι

Από , σύμφωνα με το Θεώρημα Newton, συμπεραίνεται ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική.

Αποδείχθηκε δηλαδή, ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία επαφής των εφαπτομένων του από το σημείο κάθετη ως γνωστό επί την ευθεία που συνδέει το με το κέντρο του τέμνει αυτή την ευθεία στο σημείο ως το αρμονικό συζυγές του ως προς τα όπου και .

Κώστας Βήττας.

[S.E.Louridas]

Μια διαπραγμάτευση με βάση τις γνώσεις, ορθόκεντρο, ομοιότητα, αρμονικά συζυγή σημείων.
Τα είναι ορθόκεντρα των αντίστοιχων τριγώνων.
Από τα πλήρη τετράπλευρα , παίρνουμε την ταύτιση των
όταν .
Είναι σαφές πλέον ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Από τα αρμονικά συζυγή παίρνουμε:

[S.E.Louridas]

Είναι δυνατό, στο σχήμα που ακολουθεί, να αποδειχθεί ότι τα σημεία είναι αρμονικά συζυγή των σημείων με πλέον στοιχειώδη τρόπο από εκείνο του πλήρους τετραπλεύρου ;

(*) Ας μην δείτε άμεσα την απόκρυψη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ναι είναι

[vittasko]

ΠΡΟΤΑΣΗ 2. - Δίνεται κύκλος και σημείο στο εξωτερικό του. Έστω τα σημεία επαφής των εφαπτομένων του από το σημείο και τα σημεία τομής του από τυχούσα ευθεία δια του σημείου και ας είναι το μεταξύ των Αποδείξτε ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική, όπου

Πολικές - Πρόταση 2.

f=112_t=25962(a).PNG (26.11 KiB) Προβλήθηκε 5291 φορές

Απόδειξη. - Έστω η διάμετρος του κύκλου που περνάει από το σημείο το μεταξύ των και έστω τα σημεία και

Από και προκύπτει ότι το ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου και άρα έχουμε

Η ευθεία τώρα, ως η διαγώνια του πλήρους τετραπλεύρου περνάει από το σημείο επί της ως το αρμονικό συζυγές του ως προς τα και άρα, λόγω της ταυτίζεται με την ευθεία σύμφωνα με την Πρόταση 1.

Στο ως άνω πλήρες τετράπλευρο, συμπεραίνεται ότι η σημειοσειρά όπου είναι αρμονική και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Είναι προφανές ότι το σημείο ως το αρμονικό συζυγές του ως προς τα καθώς μεταβάλλεται η δια του τέμνουσα τον κύκλο ευθεία , κινείται επί της χορδής , με οριακές θέσεις τα σημεία

Η χορδή , ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων είναι η Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο , αλλά έτσι ορίζεται ολόκληρη η ευθεία , παρ' όλο που μετα τις οριακές θέσεις , οι ευθείες δια του δεν τέμνουν τον κύκλο

Υπάρχει μία άλλη ιδιότητα του σημείου και στην οποία αναφέρθηκε ο Κώστας (KDORTSI) πιο πάνω, η οποία ισχύει για κάθε θέση του του επί της ευθείας ως το σημείο τομής της ευθείας από τυχούσα ευθεία δια του

Πολικές - Πρόταση 2 - Ο μεταβλητός κύκλος (K) τέμνει ορθογώνια τον (Ο).

f=112_t=25962(b).PNG (26.73 KiB) Προβλήθηκε 5285 φορές

Πράγματι, λόγω της αρμονικής σημειοσειράς σύμφωνα με το Θεώρημα Newton, ισχύει όπου είναι το μέσον του τμήματος

Δηλαδή, ο κύκλος με διάμετρο το τέμνει ορθογώνια τον δοσμένο κύκλο και το ίδιο ισχύει, όπως αποδεικνύεται εύκολα, για κάθε σημείο επί της ευθείας

Πράγματι, εάν είναι τυχόν σημείο επί της ευθείας και στο εξωτερικό μέρος του κύκλου ο κύκλος έστω με διάμετρο το έχει κοινή χορδή με τον το τμήμα και προφανώς τα κέντρα αυτών των κύκλων ανήκουν στη μεσοκάθετη ευθεία του

Πολικές - Πρόταση 2 - Ο μεταβλητός κύκλος (Κ') τέμνει ορθογώνια τον (Ο).

f=112_t=25962(ba).PNG (30.33 KiB) Προβλήθηκε 5155 φορές

Από

Αλλά, λόγω της ορθογωνιότητας των κύκλων ισχύει

Από γιατί και .

Από συμπεραίνεται η ορθογωνιότητα των κύκλων αφού αποδείχθηκε ότι το τετράγωνο της διακέντρου τους, ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των ακτίνων τους.

Άρα, η ευθεία , ως ο γεωμετρικός τόπος του σημείου για το οποίο ο κύκλος διαμέτρου τέμνει ορθογώνια τον ορίζεται ως η Πολική ευθεία του σημείου , ως προς τον κύκλο και είναι μοναδική για το σημείο

Το σημείο ονομάζεται Πόλος της ευθείας ως προς τον κύκλο και είναι μοναδικός για την ευθεία

Τα σημεία ονομάζονται Συζυγή σημεία ως προς τον κύκλο Δύο σημεία δηλαδή, είναι Συζυγή ως προς δοσμένο κύκλο, αν ο κύκλος με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα σημεία αυτά, τέμνει ορθογώνια τον δοσμένο κύκλο.

Κώστας Βήττας.

[S.E.Louridas]

...ΠΡΟΤΑΣΗ 2. - Δίνεται κύκλος και σημείο στο εξωτερικό του. Έστω τα σημεία επαφής των εφαπτομένων του από το σημείο και τα σημεία τομής του από τυχούσα ευθεία δια του σημείου και ας είναι το μεταξύ των Αποδείξτε ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική, όπου
Κώστας Βήττας.

Και μία άλλη προσέγγιση:
,
λόγω του γεγονότος ότι το σημείο είναι σημείο του ριζικού άξονα των κύκλων και εκείνου με διάμετρο το ευθ. τμήμα .

[dimitris.ligonis]

Καλησπέρα σε όλους.Όσον αφορά το ερώτημα που έθεσε ο κύριος Λουρίδας:

Από θεώρημα Μενελάου με διατέμνουσα την (1)

Απο θεώρημα Ceva (2)

Έπεται εύκολα το ζητούμενο...

Edit: Μικρή διόρθωση μετά από υπόδειξη του κύριου Βήττα τον οποίον και ευχαριστώ

[S.E.Louridas]

Καλώς Δημήτρη.
Απλά να αναφέρω ότι το πρόβλημα αυτό δεν είναι ισχύον μόνο για ορθόκεντρο, αλλά για κάθε τριάδα "Σεβιανών".

[vittasko]

ΠΡΟΤΑΣΗ 3. - Δίνεται κύκλος και σημείο στο εξωτερικό του. Έστω τα σημεία επαφής των εφαπτομένων του από το σημείο και και τα ζεύγη των σημείων τομής του , από δύο τυχούσες ευθείες δια του το σημείο μεταξύ των και το σημείο μεταξύ των Αποδέιξτε ότι το σημείο ανήκει στην ευθεία

Πολικές - Πρόταση 3.

f=112_t=25962(c).PNG (26.87 KiB) Προβλήθηκε 5242 φορές

Απόδειξη. - Έστω τα σημεία και και και σύμφωνα με την Πρόταση 2, έχουμε ότι οι σημειοσειρές και είναι αρμονικές.

Στο πλήρες τετράπλευρο τώρα, έχουμε ότι η ευθεία περνάει από τα σημεία

Συμπεραίνεται έτσι, ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Είναι φανερό ότι το αρχικό πρόβλημα που έχει τεθεί από τον Γρηγόρη (Grigoris K.), αποδεικνύεται ως άμεση εφαρμογή της Πρότασης 3.

Παρατηρούμε ότι στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο , η Πολική ευθεία του σημείου = του σημείου τομής των απέναντι πλευρών του ως προς τον περίκυκλό του είναι κάθετη επί την = την ευθεία που συνδέει το με το κέντρο του , σε συγκεκριμένο σημείο = το αρμονικό συζυγές του ως προς τα σημεία τομής του , από την ευθεία και περνάει από το σημείο = το σημείο τομής των δύο άλλων απέναντι πλευρών του .

Ομοίως, η ευθεία που συνδέει τα είναι η Πολική ευθεία του ως προς τον η οποία τέμνει κάθετα την ευθεία στο αρμονικό συζυγές του ως προς τα σημεία τομής του από την ευθεία

Κώστας Βήττας.

[vittasko]

ΠΡΟΤΑΣΗ 4. - Δίνεται κύκλος και σημείο στο εξωτερικό του. Έστω τα σημεία επαφής των εφαπτομένων του από το σημείο και τα σημεία τομής του , από τυχούσα ευθεία δια του το σημείο μεταξύ των Αποδέιξτε ότι το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου στα σημεία , ανήκει στην ευθεία

Πολικές - Πρόταση 4.

f=112_t=25962(d).PNG (30.46 KiB) Προβλήθηκε 5179 φορές

Απόδειξη. - Έστω τα σημεία και όπου είναι η διάμετρος του κύκλου που περνάει από το σημείο

Έχει αποδειχθεί μέχρι τώρα, ότι οι σημειοσειρές και είναι αρμονικές και ας είναι ο κύκλος με διάμετρο το

Έστω τα σημεία και και όπου είναι το κέντρο του δοσμένου κύκλου

Θα αποδείξουμε ότι οι ευθείες είναι εφαπτόμενες του κύκλου

Από και λόγω της διαμέτρου στον κύκλο προκύπτει ότι το σημείο ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου και άρα έχουμε

Από προκύπτει ότι η είναι μεσοκάθετη του και άρα ισχύει

Το τετράπλευρο τώρα, είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω με διάμετρο το και άρα, για το σημείο ισχύει

Αλλά, λόγω της αρμονικής σημειοσειράς και άρα ισχύει

Από

Από συμπεραίνεται ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο και άρα η ευθεία είναι εφαπτομένη του κύκλου .

Ομοίως για την ευθεία και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Η Πρόταση 4 αποδεικνύεται εύκολα, ως άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Pascal στο εγγεγραμμένο εξάγωνο.

Πολικές - Πρόταση 4 - Απόδειξη με το θεώρημα Pascal.

f=112_t=25962(e).PNG (28.7 KiB) Προβλήθηκε 5169 φορές

Πράγματι, στον κύκλο εάν θεωρήσουμε το εκφυλισμένο εγγεγραμμένο μη κυρτό εξάγωνο όπου με και παραδοχή ως των εφαπτομένων του στα σημεία αντιστοίχως, σύμφωνα με το Θεώρημα Pascal, συμπεραίνεται ότι τα σημεία και και , είναι συνευθειακά.

Έχει αποδειχθεί όμως με τα προηγούμενα ( Πρόταση 2 ), ότι τα σημεία ανήκουν στην ευθεία και το ζητούμενο έπεται.

Με όσα έχουν αναφερθεί μέχρι τώρα, προκύπτει άμεσα το παρακάτω βασικό θεώρημα στις Πολικές.

ΘΕΩΡΗΜΑ. - Εάν η Πολική ευθεία σημείου ως προς δοσμένο κύκλο , περνάει από σημείο έστω τότε και η Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον ίδιο κύκλο, περνάει από το σημείο

Πράγματι, η ευθεία στο σχήμα, είναι η Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο αφού συνδέει τα σημεία επαφής των εφαπτομένων του από το σημείο και περνάει από το . Το ίδιο προφανώς ισχύει, για κάθε σημείο της ευθείας , της Πολικής ευθείας του ως προς τον κύκλο

Οι ευθείες και που η κάθε μία περνάει από τον Πόλο της άλλης, ονομάζονται Συζυγείς ευθείες ως προς τον κύκλο και οι Πόλοι τους προφανώς, είναι Συζυγή σημεία ως προς τον ίδιο κύκλο = ο κύκλος με διάμετρο τα σημεία αυτά, τέμνει ορθογωνίως τον

ΣΧΟΛΙΟ. - Τονίζεται ότι στα στοιχειώδη μέσα με τα οποία προσεγγίζονται μέχρι τώρα, διάφορα αποτελέσματα της θεωρίας των Πολικών, περιλαμβάνονται τα Θεωρήματα Μενελάου και Ceva, μέχρι και τα Αρμονικά συζυγή.

Νομίζω όμως ότι και πιο πέρα από αυτά, όπως για παράδειγμα, τα Θεωρήματα Desarques, Pascal και τα άλλα γνωστά "επώνυμα" θεωρήματα, θα πρέπει να θεωρούνται ως στοιχείωδη μέσα, για την απόδειξη πιο σύνθετων προτάσεων.

Κώστας Βήττας.

[Ζήνων Λυγάτσικας]

Αν αλλάξουμε τον κύκλο με έλλειψη στο αρχικό πρόβλημα, ισχύουν τα ίδια συμπεράσματα.

[rek2]

Αν αλλάξουμε τον κύκλο με έλλειψη στο αρχικό πρόβλημα, ισχύουν τα ίδια συμπεράσματα.

... και με έλειψη, και με κάθε κωνική. Ισχύουν και για τη πολική σημείου ως προς δύο ευθείες.

[vittasko]

Εξετάσαμε μέχρι τώρα την Πολική του σημείου ως προς δοσμένο κύκλο όταν το βρίσκεται στο εξωτερικό μέρος του

Για τυχόν σημείο στο εσωτερικό μέρος του εργαζόμαστε με παρόμοιο τρόπο και οι αποδείξεις είναι το ίδιο απλές.

Πράγματι, έστω τυχόν σημείο στο εσωτερικό του και ας είναι η διάμετρος του που περνάει από το και έστω το μεταξύ των όπου είναι το κέντρο του

Η δια του κάθετη ευθεία επί την τέμνει τον κύκλο στα σημεία έστω και έστω το σημείο τομής των εφαπτομένων του , στα σημεία

Το σημείο ανήκει στην ευθεία και σύμφωνα με την Πρόταση 1, η σημειοσειρά είναι αρμονική και άρα ( Θεώρημα Newton ), ισχύει

Πολικές - Πολική ευθεία σημείου Q, στο εσωτερικό του δοσμένου κύκλου (O).

f=112_t=25962(f).PNG (34.29 KiB) Προβλήθηκε 5032 φορές

Φέρνουμε τυχούσα ευθεία δια του σημείου η οποία τέμνει τον στα σημεία έστω και έστω το αρμονικό συζυγές του ως προ τα το μεταξύ των

Φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου από το σημείο και έστω τα σημεία επαφής.

Η ευθεία τέμνει κάθετα την στο σημείο έστω και σύμφωνα με την Πρόταση 1, η σημειοσειρά είναι αρμονική

και ισχύει όπου είναι τα σημεία τομής του από την ευθεία και ας είναι το μεταξύ των

Η ευθεία τώρα, σύμφωνα με την Πρόταση 2, περνάει από το σημείο ως το αρμονικό συζυγές του ως προς τα

Από και άρα, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω με διάμετρο το

γιατί ισχύει από και συμπεραίνεται έτσι, ότι .

Το σημείο δηλαδή, ως το αρμονικό συζυγές του ως προς τα σημεία τομής του δοσμένου κύκλου από τυχούσα ευθεία δια του ανήκει στην κάθετη ευθεία έστω επί την στο σημείο , που προσδιορίζεται ως το αρμονικό συζυγές του ως προς τα σημεία τομής του από την ευθεία

Η είναι η Πολική ευθεία του ( εσωτερικού ) σημείου ως προς τον κύκλο

Για το σημείο λόγω της αρμονικής σημειοσειράς ισχύει επίσης το ότι ο κύκλος με διάμετρο το τέμνει ορθογώνια τον

Οι Πολικές ευθείες των σημείων της ευθείας ως προς τον κύκλο περνάνε από το σημείο = το αρμονικό συζυγές του ως προς τα όπου είναι η προβολή του κέντρου του επί της και τα σημεία τομής του από την ευθεία

Αντιστρόφως, οι Πόλοι των ευθειών που συντρέχουν στο σημείο ανήκουν στην Πολική ευθεία του ως προς τον κύκλο

Αυτό είναι ένα κριτήριο της θεωρίας των Πολικών, για την απόδειξη προτάσεων όπου το ζητούμενο είναι τρία συνευθειακά σημεία ή τρεις συντρέχουσες ευθείες.

Δείτε Εδώ μία εμπνευσμένη εφαρμογή αυτού του κριτηρίου, από τον Παναγιώτη Λώλα.

Κώστας Βήττας.

[vittasko]

ΠΡΟΤΑΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ 1. - Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο, η ευθεία που συνδέει το περίκεντρο με το σημείο τομής των διαγωνίων του, είναι κάθετη στην ευθεία που συνδέει τα σημεία τομής των απέναντι πλερών του.

Πολικές - Πρόταση εφαρμογής 1.

f=112_t=25962(g).PNG (26.41 KiB) Προβλήθηκε 4956 φορές

Απόδειξη. Έστω το τετράπλευρο , εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω τα σημεία και και .

Η είναι η Πολική ευθεία του ως προς τον και ομοίως, η είναι η Πολική ευθεία του ως προς τον

Επειδή τώρα, οι ευθείες αυτές περνάνε από το συμπεραίνεται ότι τα σημεία = οι Πόλοι των ευθείών αντιστοίχως ανήκουν στην Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο και άρα, κάθετη επί την ευθεία που είναι το ζητούμενο.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Η ομορφιά της θεωρίας των Πολικών, είναι στο ότι δεν απαιτούνται μετρικές σχέσεις για την τεκμηρίωση αρκετών ενδιάμεσων συμπερασμάτων, με αποτέλεσμα σύντομες και κομψές αποδείξεις.

[vittasko]

ΠΡΟΤΑΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ 2. - Σε κάθε περιγράψιμο τετράπλευρο, η ευθεία που συνδέει το έγκεντρο με το σημείο τομής των διαγωνίων του, είναι κάθετη στην ευθεία που συνδέει τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών του.

Πολικές - Πρόταση εφαρμογής 2.

f=112_t=25962(ga).PNG (29.91 KiB) Προβλήθηκε 4890 φορές

Απόδειξη. Έστω το τετράπλευρο περιγεγραμμένο περί τον κύκλο έστω και έστω τα σημεία και και

Έστω τα σημεία επαφής του κύκλου στις πλευρές αντιστοίχως και τα σημεία επαφής του στις πλευρές αντιστοίχως.

Σύμφωνα με το Θεώρημα Newton (a), οι χορδές του περνάνε από το σημείο και επειδή ταυτίζονται με τις Πολικές ευθείες των σημείων αντιστοίχως, ως προς τον κύκλο , συμπεραίνεται ότι τα σημεία = οι Πόλοι των αντιστοίχως ανήκουν στην Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο , κάθετη επί την ευθεία που είναι και το ζητούμενο.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. - Άμεσο συμπέρασμα των Προτάσεων εφαρμογής 1 και 2, είναι το παρακάτω γνωστό θεώρημα :

ΘΕΩΡΗΜΑ. - Έάν ένα τετράπλευρο έχει εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο κύκλο, τότε τα κέντρα των δύο κύκλων και το σημείο τομής των διαγωνίων του, είναι συνευθειακά.

Κώστας Βήττας.