Εύρεση τύπου συνάρτησης

themiskant · #1

Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση

για την οποία ισχύει ότι $2f\left(x \right)+xf'\left(x \right)\ln x=0$

#2

Υποθέτω πως μιλάμε για x>0.

Τότε η δοθείσα γίνεται και:
$\displaystyle{ \frac{2}{x}f(x) + f'(x)\ln x = 0 }$
Εύκολα f(1)=0.

Αν πολλαπλασιάσουμε με το lnx

τότε γίνεται:
$\displaystyle{ \frac{2}{x}\ln xf(x) + f'(x)\ln ^2 x = 0 \Rightarrow \left( {f(x)\ln ^2 x} \right)' = 0,\forall x > 0 \Rightarrow f(x)\ln ^2 x = c,\forall x > 0 }$
Χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη, έχω c=0

$\displaystyle{ f(x)\ln ^2 x = 0,\forall x > 0 }$
Για $\displaystyle{ 0 < x < 1\mathop \Rightarrow \limits^{\ln x \ne 0} f(x) = 0 }$
Για
$\displaystyle{ x > 1\mathop \Rightarrow \limits^{\ln x \ne 0} f(x) = 0 }$
και λόγω συνέχειας και αρχικής συνθήκης:
$\displaystyle{ f(x) = 0,\forall x > 0 }$
Η συνάρτηση επαληθεύει φανερά τη δοθείσα επομένως είναι δεκτή.

#3

νομίζω ότι βρίσκεται η f χωρίς να δίνεται το f(1)

parmenides51 · #4

themiskant έγραψε:Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι $2f\left(x \right)+xf'\left(x \right)\ln x=0$

Για $\displaystyle{x=1}$ έχουμε πως $\displaystyle{f(1)=0}$

Για $\displaystyle{0<x\ne 1 \Rightarrow x\ln x\ne 0}$ έχουμε πως

$\displaystyle{f'\left(x \right)+\frac{2}{x\ln x}f\left(x \right)=0\Leftrightarrow f'\left(x \right)+2\left(\ln\left(\ln x}\right)\right)'f\left(x \right)=0 \Leftrightarrow \left(f(x)e^{2\ln\left(\ln x}\right)}\right)'=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow f(x)e^{2\ln\left(\ln x}\right)}=c \in\Mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)e^{\ln\left(\ln x}\right)^{2}}=c\Leftrightarrow f(x)\ln^2 x}}=c}$

$\displaystyle{\Rightarrow \lim_{x \to 1 }\left(f(x)\ln^2 x}}\right)=\lim_{x \to 1 }c }$

κι επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{1}$ ως παραγωγίσιμη θα ισχύει πως $\displaystyle{\lim_{x \to 1 }f(x)=f(1)}$

οπότε $\displaystyle{f(1)\cdot 0=c \Rightarrow c=0}$

Άρα $\displaystyle{f(x)\ln^2 x}}=0 \Rightarrow f(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{0<x\ne 1}$ αφού τότε ισχύει πως $\displaystyle{\ln^2 x\ne 0}$

κι επειδή $\displaystyle{f(1)=0}$

θα ισχύει πως $\displaystyle{f(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ , που επαληθεύει την αρχική εξίσωση.

Η παρούσα λύση είναι λανθασμένη. Την πάτησα. Την αφήνω σαν άσκηση του στυλ ''βρείτε το λάθος''.

#5

R BORIS έγραψε:νομίζω ότι βρίσκεται η f χωρίς να δίνεται το f(1)

Καλημέρα Ροδόλφε!
Το f(1)

δε μου δόθηκε, εγώ το επινόησα γιατί με βόλευε στη λύση.Και για να είμαι πιό ακριβής δε μου άρεσε που στο

μηδενίζεται και ο λογάριθμος.Τώρα θα μου πεις η συνάρτηση δεν είναι συνεχής;Οκ έχεις δίκιο, απλά για πληρέστερη(κατά τη γνώμη μου πάντα) δικαιολόγηση.

Christos.N · #6

parmenides51 έγραψε:
themiskant έγραψε:Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι $2f\left(x \right)+xf'\left(x \right)\ln x=0$
Για $\displaystyle{x=1}$ έχουμε πως $\displaystyle{f(1)=0}$

Για $\displaystyle{0<x\ne 1 \Rightarrow x\ln x\ne 0}$ έχουμε πως

$\displaystyle{....\Leftrightarrow f'\left(x \right)+2\left(\ln\left(\ln x}\right)\right)'f\left(x \right)=0 \Leftrightarrow .....}$

Η παρούσα λύση είναι λανθασμένη. Την πάτησα. Την αφήνω σαν άσκηση του στυλ ''βρείτε το λάθος''.

Εδώ.
$\displaystyle{ 0 < x < 1 \Rightarrow \ln x < 0 \Rightarrow \ln (\ln x)??????? }$

#7

parmenides51 έγραψε:
themiskant έγραψε:Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι $2f\left(x \right)+xf'\left(x \right)\ln x=0$
Για $\displaystyle{x=1}$ έχουμε πως $\displaystyle{f(1)=0}$

Για $\displaystyle{0<x\ne 1 \Rightarrow x\ln x\ne 0}$ έχουμε πως

$\displaystyle{f'\left(x \right)+\frac{2}{x\ln x}f\left(x \right)=0\Leftrightarrow f'\left(x \right)+2\left(\ln\left(\ln x}\right)\right)'f\left(x \right)=0 \Leftrightarrow \left(f(x)e^{2\ln\left(\ln x}\right)}\right)'=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow f(x)e^{2\ln\left(\ln x}\right)}=c \in\Mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)e^{\ln\left(\ln x}\right)^{2}}=c\Leftrightarrow f(x)\ln^2 x}}=c}$

$\displaystyle{\Rightarrow \lim_{x \to 1 }\left(f(x)\ln^2 x}}\right)=\lim_{x \to 1 }c }$

κι επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{1}$ ως παραγωγίσιμη θα ισχύει πως $\displaystyle{\lim_{x \to 1 }f(x)=f(1)}$

οπότε $\displaystyle{f(1)\cdot 0=c \Rightarrow c=0}$

Άρα $\displaystyle{f(x)\ln^2 x}}=0 \Rightarrow f(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{0<x\ne 1}$ αφού τότε ισχύει πως $\displaystyle{\ln^2 x\ne 0}$

κι επειδή $\displaystyle{f(1)=0}$

θα ισχύει πως $\displaystyle{f(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ , που επαληθεύει την αρχική εξίσωση.

Η παρούσα λύση είναι λανθασμένη. Την πάτησα. Την αφήνω σαν άσκηση του στυλ ''βρείτε το λάθος''.

Βάλε απόλυτο ή αμέσως ln(ln^2x)

και με τις σταθερές σώζεται...

parmenides51 · #8

Με διακριτική επισήμανση έμαθα το λάθος μου παραπάνω αρχικά, έκανα απλώς edit γιατί το θεώρησα καθαρά διδακτικό,
πως αν δηλαδή μείνει και το δουν κι άλλοι ενδεχομένως να έχουν να κερδίσουν περισσότερα από μια επιπλέον λύση,
την οποία παραθέτω παρακάτω.

themiskant έγραψε:Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι $2f\left(x \right)+xf'\left(x \right)\ln x=0$

Για $\displaystyle{x=1}$ έχουμε πως $\displaystyle{f(1)=0}$

Για $\displaystyle{0<x\ne 1 \Rightarrow x\ln x\ne 0}$ έχουμε πως

$\displaystyle{f'\left(x \right)+\frac{2}{x\ln x}f\left(x \right)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in(0,1)\cup(1,+\infty)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow f'\left(x \right)+2\left(\ln\left|\ln x}\right|\right)'f\left(x \right)=0 \Leftrightarrow \left(f(x)e^{2\ln\left|\ln x}\right|}\right)'=0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left(f(x)e^{\ln\left|\ln x}\right|^2}\right)'=0 \Leftrightarrow \left(f(x)\ln^2 x)'=0}$

οπότε $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(x)\ln^2 x=c_1 & , x\in (0,1)\\ f(x)\ln^2 x=c_2 & , x\in (1,+\infty) \end{matrix}\right.}}$ $\displaystyle{\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle\lim_{x \to 1^- }\left(f(x)\ln^2 x\right)=\lim_{x \to 1^- }c_1\\ \displaystyle\lim_{x \to 1^+ }\left(f(x)\ln^2 x\right)=\lim_{x \to 1^+ }c_2 \end{matrix}\right.}}$

κι επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{1}$ ως παραγωγίσιμη θα ισχύει πως $\displaystyle{\lim_{x \to 1^- }f(x)=\lim_{x \to 1^+ }f(x)=f(1)=0}$

θα ισχύει πως $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(1)\cdot 0=c_1\\ f(1)\cdot 0=c_2 \end{matrix}\right.} \Rightarrow c_1=c_2=0}$

οπότε $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(x)\ln^2 x=0 & , x\in (0,1)\\ f(x)\ln^2 x=0 & , x\in (1,+\infty) \end{matrix}\right.} \Rightarrow f(x)\ln^2 x=0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in(0,1)\cup(1,+\infty)}$

$\displaystyle{\Rightarrow f(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in(0,1)\cup(1,+\infty)}$ αφού τότε ισχύει πως $\displaystyle{\ln^2 x\ne 0}$

κι επειδή $\displaystyle{f(1)=0}$

θα ισχύει πως $\displaystyle{f(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ , που επαληθεύει την αρχική εξίσωση.

Υ.Γ. Ευχαριστώ όσους ασχολήθηκαν.

Εύρεση τύπου συνάρτησης

Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση