Μονοτονία

#1

Σύμφωνα με τον ορισμό του σχολικού βιβλίου :
Μια συνάρτηση f λέγεται : γνησίως αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της , όταν για οποιαδήποτε χ1, χ2 με χ1 < χ2 ισχύει : f(χ1)<f(χ2)

Οπως είναι διατυπωμένος είναι συνεπαγωγή .
ΕΡΩΤΗΣΗ : Το αντίστροφο ( αν χρειαστεί σε άσκηση ) , πρέπει να αποδεικνύεται ;

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #2

exdx έγραψε:Σύμφωνα με τον ορισμό του σχολικού βιβλίου :
Μια συνάρτηση f λέγεται : γνησίως αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της , όταν για οποιαδήποτε χ1, χ2 με χ1 < χ2 ισχύει : f(χ1)<f(χ2)

Οπως είναι διατυπωμένος είναι συνεπαγωγή .
ΕΡΩΤΗΣΗ : Το αντίστροφο ( αν χρειαστεί σε άσκηση ) , πρέπει να αποδεικνύεται ;

Γιώργο καλησπέρα.

Η άποψή μου είναι η εξής:
Ο ορισμός είναι ορισμός.

Η πρόταση τώρα:
Έστω η γνήσια αύξουσα συνάρτηση $\displaystyle{f:A \to R}$ .
Αν για κάθε $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in A}$ με $\displaystyle{f({x_1}) < f({x_2})}$ , τότε ισχύει και $\displaystyle{{x_1} < {x_2}}$ , θέλει απόδειξη, η οποία λόγω του νόμου της τριχοτομίας για τα $\displaystyle{{x_1},{x_2}}$ είναι πολύ εύκολο να δειχθεί.

Αν εννοείς ότι αν ξεκινήσουμε με την υπόθεση
έστω $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in A}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{f({x_1}) < f({x_2})}$ και καταλήξουμε ότι $\displaystyle{{x_1} < {x_2}}$ , χωρίς να έχουμε διατηρήσει τις ισοδυναμίες τότε δεν έχουμε δείξει ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα.

Ο ορισμός μας καλύπτει στο εξής:

Αφού f γνήσια αύξουσα τότε για κάθε $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in A}$ με $\displaystyle{{x_1} < {x_2}}$ τότε $\displaystyle{f({x_1}) < f({x_2})}$ , οπότε για

κάθε $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in A}$ με $\displaystyle{f({x_1}) \ge f({x_2})}$ τότε θα είναι $\displaystyle{{x_1} \ge {x_2}}$ .

Θωμάς

#3

Ευχαριστώ για το χρόνο σου Θωμά .
Το θέμα μου δεν αφορά τη δυσκολία της απόδειξης . Απλά ρώτησα αν ο μαθητής κάθε φορά που συναντά μια ανισότητα της μορφής : f(......)< f(.......) , με f γνησίως μονότονη θα πρέπει να γράφει και το συλλογισμό που αναφέρεις ( κι αν δεν το κάνει αν χάνει μόρια από ένα σχετικό θέμα ).

mathxl · #4

Όπως είπε και ο Θωμάς, δεν υπάρχει η πρόταση που αναφέρεις στο βιβλίο οπότε τυπικά πρέπει να χάνει μόρια.

Στην πράξη όμως,δεν χάνει τίποτα (δεν ξέρω ούτε ένα συνάδελφο που να κόβει μόρια για αυτό το πράγμα...)

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #5

Γιώργο και πάλι καλησπέρα.

Είναι αναγκαίο ο μαθητής να κάνει την απόδειξη.

Είμαι σίγουρος ότι θα υπάρξουν καθηγητές που θα κόψουν τουλάχιστον ένα μόριο.
Όλοι οι καθηγητές δεν βαθμολογούν με τον ίδιο τρόπο.

Πάντως πολύ καλό το ερώτημά σου για τους μαθητές που μας παρακολουθούν.

Πρέπει να μάθουν να τεκμηριώνουν κάθε άποψή τους όταν το σχολικό βιβλίο δεν τους καλύπτει.

Καλό βράδυ
Θωμάς

#6

Γειά σας
Για το θέμα που έθεσε ο Γιώργης η γνώμη μου είναι (όπως και του Θωμά) ότι αν ο μαθητής χρησιμοποιήσει (για

γνησίως αύξουσα) την συνεπαγωγή $f\left( x_{1}\right) <f\left( x_{2}\right) \Rightarrow x_{1}<x_{2}$ οφείλει να πεί κάποιο επιχείρημα γιατί ισχύει. Αν όχι δεν πρέπει να βαθμολογηθεί με το σύνολο της βαθμολογίας. Και μπορεί να υπάρχει και σχετική πρόβλεψη και οδηγία γι' αυτό. Κάποιοι λεπτολόγοι μαθητές θα δώσουν εξηγήσεις και είναι λογικό η άψογη επιχειρηματολογία να ξεχωρίζει.
Επιπλέον όταν ο μαθητής χρησιμοποιήσει την αντίστροφη συνεπαγωγή από εκείνη του ορισμού δεν είναι καθόλου βέβαιον ότι το κάνει μετά γνώσεως ή μηχανικά. Παλαιότερα σε εξετάσεις της Δ' Δέσμης είχαν ζητηθεί οι ορισμοί της γνησίως αύξουσας, γνησίως φθίνουσας, αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης. Υπήρχαν μαθητές που μηχανικά έγραφαν:
Η

είναι γνησίως αύξουσα αν ισχύει: $x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow f\left( x_{1}\right) <f\left( x_{2}\right)$
Εδώ έχαναν απλώς ένα μέρος των μονάδων.
και, πάντα μηχανικά, συνέχιζαν:
Η

είναι αύξουσα αν ισχύει: $x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow f\left( x_{1}\right) \leq f\left( x_{2}\right)$
και εδώ έχαναν το σύνολο των μονάδων.
Προσωπικά απαιτώ από τους μαθητές μου αυτή την μικροαπόδειξη (μαζί με κάποιες άλλες) να την γνωρίζουν και να την έχουν στο ρεπερτόριο τους
Εξ' άλλου σε ανάλογες περιπτώσεις λ.χ. $\alpha ^{2}<\beta ^{2}+\gamma ^{2}\Rightarrow A<1^{\lfloor }$ ζητάμε απόδειξη.

Μαυρογιάννης

mathxl · #7

Θωμά και Νίκο δεν αντιλέγω ως προς το μαθηματικό μέρος και την παράδοση της συγκεκριμένης σχολικής παραγράφου!

Αν είναι π.χ. φ γνησίως αύξουσα και φ(χ)>φ(2)<->χ>2 κόβουμε μόρια??!!!!!.....

Αν ναι, τότε γιατί να μην κόβουμε μόρια και στο limg=+oo και f>g ->limf=+00 ? Πρόχειρο παράδειγμα...

Πάλι με το σκεπτικό ότι μπορεί να υπάρξει κατάλληλη οδηγία... Για τον λόγο αυτό όπως έχω ξαναγράψει καλό θα ήταν να ξέρουμε από την αρχή της χρονιάς, τι επιτρέπεται και τι όχι. Είναι απαράδεκτο να έρχεται στο βαθμολογικό, μήνυμα του τύπου "σωστή η αντιμετώπιση με DLH" . Απαράδεκτο γιατί είναι μήνυμα της τελευταίας στιγμής=αλλαγή κανόνων "παιχνιδιού"

Φιλικά Βασίλης

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #8

mathxl έγραψε:Θωμά και Νίκο δεν αντιλέγω ως προς το μαθηματικό μέρος και την παράδοση της συγκεκριμένης σχολικής παραγράφου!

Αν είναι π.χ. φ γνησίως αύξουσα και φ(χ)>φ(2)<->χ>2 κόβουμε μόρια??!!!!!.....

Αν ναι, τότε γιατί να μην κόβουμε μόρια και στο limg=+oo και f>g ->limf=+00 ? Πρόχειρο παράδειγμα...

Πάλι με το σκεπτικό ότι μπορεί να υπάρξει κατάλληλη οδηγία... Για τον λόγο αυτό όπως έχω ξαναγράψει καλό θα ήταν να ξέρουμε από την αρχή της χρονιάς, τι επιτρέπεται και τι όχι. Είναι απαράδεκτο να έρχεται στο βαθμολογικό, μήνυμα του τύπου "σωστή η αντιμετώπιση με DLH" . Απαράδεκτο γιατί είναι μήνυμα της τελευταίας στιγμής=αλλαγή κανόνων "παιχνιδιού"

Φιλικά Βασίλης

Βασίλη μου, συγχώρεσέ με αλλά θα σου πω ότι όταν

γράφουμε $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } g(x) = + \infty }$ το σύμβολο $\displaystyle{ + \infty }$ δείχνει τη συμπεριφορά των τιμών της συνάρτησης g καθώς το x αυξάνει απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο και όχι ότι το όριο της f υπάρχει, οπότε αν $\displaystyle{f(x) > g(x)}$ προφανώς το ίδιο θα συμβαίνει και για την f, άρα
και $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty }$ και δεν κόβουμε μόρια.

Στο παράδειγμα σου, αν είναι φ γνησίως αύξουσα και φ(χ)>φ(2) τότε χ>2 σου λέμε ότι κάποιος ή κάποιοι θα κόψουν μόρια.

Για τα άλλα που γράφεις έχεις δίκιο, αλλά καλόν είναι και εμείς οι δάσκαλοί τους, αφενός να λέμε στους μαθητές μας όπως είναι οι έννοιες αλλά ταυτόχρονα να τους προφυλάσσουμε από τις κακοτοπιές.

Υ.Γ
Βάζω μια ερώτηση:

Όταν γράφουμε $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty }$
έχει την ίδια σημασία με το $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to {x_o}} f(x) = \ell \in R}$ ;

Φιλικά
Θωμάς

giannisn1990 · #9

Συμφωνώ με τον Θωμά,το θέμα έχει να κάνει με τον ορισμό της συνεπαγωγής η οποία δεν διδάσκεται πλήρως στο λύκειο .Η έννοια της συνεπαγωγής είναι διαφορετική από αυτή που έχει η έκφραση στην καθημερινή μας ζωή. Στην καθημερινότητά μας, όταν για παράδειγμα λέμε "αν έχει καλό καιρό, τότε θα πάω βόλτα", παίρνουμε ως αναγκαία συνθήκη ότι θα έχει καλό καιρό. Στη συνεπαγωγή όμως η έκφραση "αν p, τότε q" δεν έχει αυτή την έννοια.Ο πίνακας αληθείας της συνεπαγωγής είναι ο ακόλουθος:

http://img6.imageshack.us/img6/3520/96874663.jpg
Νομίζω πως αν υπήρχε στο σχολικό αυτό το πινακάκι τότε δεν θα υπήρχε σύγχυση :Εστω λοιπόν οι προτάσεις

$p : x_{1}<x_{2}$

$q : f(x_{1})<f(x_{2})$

Αν έχουμε από υπόθεση ότι

1) η

είναι γνησίως αύξουσα τότε έχουμε την αλήθεια της πρότασης $p \Rightarrow q$

2) $f(x_{1})<f(x_{2})$ τότε έχουμε την αλήθεια της πρότασης

οπότε βλέπωντας την 1η στήλη του πίνακα αυτό θα έχει σαν συνέπεια την αλήθεια της προτάσης

δηλαδή θα ισχύει $x_{1}<x_{2}$

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #10

Φίλοι μου

1. Ο ορισμός είναι ορισμός, δεν είναι πρόταση.

2. Κάθε πρότασης η αλήθεια πρέπει να αποδεικνύεται.

3. Ο μαθητής είναι υποχρεωμένος οτιδήποτε δεν αναφέρει το βιβλίο του με κάποιον τρόπο να το τεκμηριώνει, ώστε να πείσει τον βαθμολογητή του, ότι οτιδήποτε γράφει το κατέχει σαν γνώση και όχι σαν διαίσθηση ή κουτοπονηράδα.

4. Τους μαθητές μας πρέπει να τους προφυλάσσουμε από παγίδες και κακοτοπιές.

Θωμάς

mathxl · #11

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Βασίλη μου, συγχώρεσέ με αλλά θα σου πω ότι όταν

γράφουμε $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } g(x) = + \infty }$ το σύμβολο $\displaystyle{ + \infty }$ δείχνει τη συμπεριφορά των τιμών της συνάρτησης g καθώς το x αυξάνει απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο και όχι ότι το όριο της f υπάρχει, οπότε αν $\displaystyle{f(x) > g(x)}$ προφανώς το ίδιο θα συμβαίνει και για την f, άρα
και $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty }$ και δεν κόβουμε μόρια.

Αυτό ακριβώς λέω Θωμά(δες το κόκκινο). Δεν υπάρχει στο σχολικό τέτοιο θεώρημα -ορισμός εντός ύλης . Στην σελίδα 177 όπου υπάρχει αυτό που λες (το είχε αναφέρει και ο Νίκος σε παλαιότερη συζήτηση) ακολουθεί ο ορισμός που είναι εκτός ύλης. Αν και κάποιοι από μας μπαίνουν στην διαδικασία να εξηγήσουν την έννοια, οι περισσότεροι μαθητές διαγράφουν την σελίδα. Αυτό που υπάρχει στην συγκεκριμένη σελίδα είναι μια περιγραφική εξήγηση που σε καμία περίπτωση δεν αποτελεί πρόταση που μπορεί να χρησιμοποιήσει για απόδειξη ο οποιοσδήποτε μαθητής.

Αν λοιπόν μπορούσε να χρησιμοποιήσει τα παραπάνω ως πρόταση τότε γιατί το βιβλίο έχει στην επόμενη σελίδα το εξής:
Αν limf=+oo τότε lim(1/f)=0. Θα έπρεπε κα αυτό να είναι προφανές...

Φιλικά πάντα, δεν θα απαντήσω άλλο σε αυτό το τόπικ. Νομίζω είναι σαφής η θέση μου
Πάω να πιω ένα ποτάκι στην υγειά σου

Θωμάς Ποδηματάς · #12

Καλημέρα σας. Είμαι ένα νέο μέλος της Κοινότητας και είμαι ενθουσιασμένος με ότι βρήκα εδώ!

Κατάγομαι από το Βόλο, είμαι 47 ετών, είμαι απόφοιτος του Μαθηματικού στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων το 1986 και διατηρώ στο Βόλο ένα Σπουδαστήριο Μαθηματικών μαζί με τη σύζυγό μου - επίσης απόφοιτη του ίδιου τμήματος - από το 1988.
Θα ήθελα να πω και εγώ την άποψή μου για το θέμα με το αντίστροφο του ορισμού της μονοτονίας που συζητείται εδώ.
Όλα αυτά τα χρόνια που διδάσκω Μαθηματικά στην Γ' Τάξη του Λυκείου κυρίως, έχω διαπιστώσει ότι ένα τεράστιο ποσοστό μαθητών - πάνω από το 95%(!) - θεωρεί ότι το αν θα "μείνει" ή θα "αλλάξει" μια φορά ανισότητας μετά από κάποια ενέργεια, είναι αποτέλεσμα που εξαρτάται από το πρόσημο (!!!) και όχι από την μονοτονία της ενέργειας θεωρούμενης βέβαια ως συνάρτησης...Τώρα :
Συμφωνώ απόλυτα με τους συναδέλφους Θωμά και Νίκο ως προς την αναγκαιότητα της αιτιολόγησης της σχέσης $f(x_1)>f(x_2)\Rightarrow x_1>x_2$ σε μία γνήσια αύξουσα συνάρτηση

. Η τελευταία συνεπαγωγή μπορεί να προκύψει από την αρχή της τριχοτομίας βέβαια, αλλά νομίζω και από το θεώρημα μονοτονίας της αντίστροφης συνάρτησης $f^{-1}$ , που στην πράξη είναι ακριβώς ίδια.
Για λόγους πληρότητας την παραθέτω :
Θεώρημα
Αν $f:A\rightarrow f(A)$ , όπου

διάστημα γνήσια μονότονη συνάρτηση στο διάστημα

, τότε και η αντίστροφή της $f^{-1}$ είναι επίσης γνήσια μονότονη στο f(A)

και μάλιστα με το ίδιο είδος μονοτονίας με τη συνάρτηση

.
Απόδειξη
Θα δώσω την απόδειξη για γνήσια αύξουσα συνάρτηση. Για την περίπτωση της γνησίως φθίνουσας αλλάζουν μόνο οι φορές.
Έστω ότι υπάρχουν $y_1,y_2 \in f(A) : y_1<y_2$ (1), αλλά $f^{-1}(y_1)\geq f^{-1}(y_2)$ (2). Τότε επειδή η συνάρτηση

είναι γνήσια αύξουσα, θα έχουμε :
$(2)\Rightarrow f\left(f^{-1}(y_1)\right)\geq f\left(f^{-1}(y_2)\right)$ ,δηλαδή $y_1\geq y_2$ σχέση που αντίκειται στην (1). Συνεπώς, $\forall y_1,y_2 \in f(A) : y_1<y_2$ ισχύει ότι $f^{-1}(y_1)< f^{-1}(y_2)$ δηλαδή η αντίστροφη $f^{-1}$ είναι επίσης γνήσια αύξουσα. (ο.ε.δ.)
Έτσι εύκολα πια από μία σχέση της μορφής $f(a)<f(b) \Rightarrow f^{-1}\left(f(a)\right)<f^{-1}\left(f(b)\right) \Rightarrow a<b$ . Τώρα, αυτά είναι από Μαθηματικής σκοπιάς. Όσον αφορά τις Γενικές Εξετάσεις - αν και προσωπικά είμαι φανατικός υπέρμαχος της άρτιας διατύπωσης προκειμένου να βαθμολογηθεί κάποιος με το σύνολο των μορίων ενός ερωτήματος - θεωρώ ότι αν ετίθετο τέτοιο θέμα στις Εξετάσεις, θα έρχονταν κατόπιν βαθμολογική οδηγία, ώστε να ΜΗΝ ΚΟΠΟΥΝ ΜΟΡΙΑ, όπως άλλωστε έγινε ήδη (δεδικασμένο !!!) το 2005, στα σημεία :
1. Να θεωρηθούν γνωστά τα επόμενα $z \in \mathbb R \Leftrightarrow z=\bar{z}$ και $z \in \mathbb I \Leftrightarrow z=-\bar{z}$ .
2. Οι απαντήσεις που χρησιμοποιούν το ότι υπάρχει άλλη συνάρτηση (ΖΗΤ 3ο) $g(\lambda)$ τέτοια ώστε $\displaystyle{g(\lambda) \leq \frac{\lambda^2E(\lambda)}{2+\eta \mu\lambda }}$ και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}{g(\lambda)}=+\infty}$ , να θεωρηθούν σωστές. (Αντιγράφω τις οδηγίες !)
Η Νο 2 οδηγία, αφορά το θέμα που ενέσκηψε στη συζήτηση αυτή από το συνάδελφο Βασίλη, νομίζω ότι ενισχύει την άποψή μου περί του τρόπου βαθμολόγησης. Θεωρώ, ασχολούμενος περισσότερο από δύο δεκαετίες με τις Γενικές Εξετάσεις, ότι μάλλον δεν απαιτούν μαθηματική αυστηρότητα οι διορθωτές, θέση με την οποία προσωπικά είμαι αντίθετος. Τα δύο αυτά θεωρήματα, δεν περιέχονται στη Σχολική ύλη και καλό θα ήταν, κατά την άποψή μου, να τα αποδείκνυε κάποιος πριν τα χρησιμοποιήσει, όπως άλλωστε και κάθε τι παρόμοιο, ώστε να είναι "επιστημονικά τεκμηριωμένη" η απάντησή του, που γράφουν και τα θέματα.
Σας ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σας, συγχωρέστε με για τα όποια λάθη στη LaTex - πρώτη φορά γράφω εκτός Word και EquationEditor ή MathType - και πιστεύω να τα ξαναπούμε σύντομα.

Με χαρά και τιμή
Θωμάς Ποδηματάς

Νασιούλας Αντώνης · #13

Επιτρέψτε μου να καλωσορίσω το Θωμά στην παρέα μας.

Πρόκειται για εξαιρετικό μαθηματικό, με πολλή διάθεση και βαθύτατες γνώσεις.
Θεωρώ πως έχει να προσφέρει και θα προσφέρει -όσο προλαβαίνει- πολλά, ιδιαίτερα στον τομέα της Γ Λυκείου.

Θωμά, καλώς ήλθες, καλή αρχή

...

#14

Έχουμε κάνει εκτενή κουβέντα και στο

viewtopic.php?f=61&t=3511

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#15

Μια και ξανάνοιξε η ωραία αυτή συζήτηση που βοηθάει στο να γνωριζόμαστε καλύτερα , ανταλλάσσοντας απόψεις και εκτιμήσεις, χωρίς να διαφωνούμε σε κάποιο μαθηματικό σημείο, ας μου επιτραπεί να φρεσκάρω λίγο το σκεπτικό με το οποίο βλέπω το θέμα, χωρίς να σημαίνει ότι έχω περισσότερο ή λιγότερο δίκαιο από τις άλλες εξαίρετες εκτιμήσεις ή θέσεις των συνομιλητών μας .Άλλωστε ο διάλογος μπορεί να βοηθήσει στο να επισημανθούν ορισμένα σπουδαία σημεία που αφορούν τη διδασκαλία και τη συγγραφή των σχολικών βιβλίων, κάτι που ίσως φανεί χρήσιμο κατά τη σύνταξη των επόμενων σχολικών βιβλίων.

Ο καθηγητής , όπως υποχρεούται από το ρόλο του , ερμηνεύει , ζωντανεύει και συμπληρώνει όπου κρίνει απαραίτητο σε ορισμένα βασικά σημεία το σχολικό βιβλίο.Αν δεν μπορεί να το κάνει ή δεν το κάνει, τότε δεν είναι καλός δάσκαλος.
Δεν προσθέτει βέβαια θεωρήματα ούτε άλλες προτάσεις , όμως συμπληρώνει αυτά που αναγράφονται στο βιβλίο με σχόλια ή αποσαφηνίσεις που πηγάζουν άμεσα σχεδόν από τα αναφερόμενα σε αυτό. Το σχολικό βιβλίο είναι οδηγός για τη μελέτη, δεν είναι το απόλυτο μαθηματικό σύγγραμμα ούτε η Βίβλος των μαθηματικών, στην οποία δεν έχει κανένας δικαίωμα να προσθέσει ή να αφαιρέσει ούτε ένα γράμμα.

Το νέο σχολικό βιβλίο , γραμμένο στο πνεύμα των βιβλίων της αλλαγής του 1993(κάπου εκεί) ήρθε να αντικαταστήσει ένα πολύ αυστηρό βιβλίο (Βαρουχάκης κλπ), το οποίο θυμάμαι πολλοί το κατηγορούσαν ακριβώς σε αυτό το σημείο :ότι δηλαδή ανάγκαζε το διδάσκοντα να αναλλωθεί σε ανούσιες λεπτομέρειες και να χάνει συχνά την ουσία.΄

Στη μεταρύθμιση Αρσένη, όσοι ενθυμούνται, έγινε προσπάθεια να περάσουμε στην πραγματική ουσία της διδασκαλίας των μαθηματικών και την ανάδειξη της πολλαπλής αξίας τους.Το βιβλίο που κρατάμε είναι αποτέλεσμα αυτής ακριβώς της αντίληψης για τα μαθηματικά. Σκόπιμα οι συγγραφείς δεν επεισήλθαν σε περιττές λεπτομέρειες, όπως με τα αντίστροφα κάποιων συνεπαγωγών που παρουσιάζονται σε μερικούς ορισμούς.Ούτε το έκαναν για να αφαιρούμε εμείς μονάδες από γραπτά που βασίζονται στο πνεύμα και όχι στο απόλυτο γράμμα του βιβλίου.Ούτε το έκαναν γιατί δεν ήξεραν να προσθέσουν μερικά σχόλια, αφού αυτά υπήρχαν σε προηγούμενα πολύ πιο αυστηρά θεμελιωμένα βιβλία.Το έκαναν όμως για να κάνουν το έργο του εκπαιδευτικού πιο ουσιαστικό,πιο αποδοτικό και πιο ευχάριστο.Το έκαναν γιατί ήξεραν ότι ο δάσκαλος στο σχολείο θα πει αυτά που παραλήφθηκαν στο βιβλίο, ως ....ευκόλως ενοούμενα.
Θυμίζω αυτό που έχω αναγράψει σε παλιότερο μήνυμά μου :

Ποιος καθηγητής απαιτεί από τους μαθητές του να αποδείξουν την ισοδυναμία ,

$f(a)=f(b)\Leftrightarrow a=b$ , για μια 1-1

συνάρτηση

,

κάθε φορά του τη χρησιμοποιούν στη λύση εξισώσεων ή άλλων θεμάτων;Και για να πάω πιο πέρα : Πόσοι από μας την έχουμε αποδείξει ; Μη μου πείτε ότι η απόδειξη είναι εύκολη, διότι θα επιμείνω ότι δεν είναι πιο εύκολη από όλες τις άλλες αποδείξεις που οι εκλεκτοί φίλοι και συνάδελφοι θεωρούν ότι πρέπει να γίνονται από τους μαθητές, όπως πχ αυτή που συζητάμε εδώ για τη μονοτονία !¨η μήπως αφαιρέθηκαν μονάδες από γραπτά μαθητών όσες φορές χρησιμοποιήθηκε μέχρι τώρα αυτή η ισοδυναμία στις εξετάσεις (όχι λίγες !) ;

Εξακολουθώ λοιπόν να μένω στην ίδια θέση που διατύπωσα τόσο στο παρακάτω μήνυμα, όσο και σε όσα ακολούθησαν στο σύνδεσμο που έδωσε παραπάνω ο συνάδελφος, μια και μέχρι τώρα τίποτα δεν έχει αλλάξει .Κατανοώ την επιμονή όλων των συναδέλφων στην αναγκαιότητα της μαθηματικής αυστηρότητας, όπου και όσο αυτή μπορεί να υπάρχει στα σχολικά μαθηματικά(αυτή την ασπάζομαι πλήρως το ίδιο με αυτούς), αλλά το γεγονός ότι διδάσκουμε στο σχολείο και όχι σε τμήματα μαθηματικών σχολών, επιβάλλει να βλέπουμε τη σύνδεση ανάμεσα στη διδασκαλία , το σχολικό βιβλίο και τις εξετάσεις με τη σωστή παιδαγωγική και επιστημονική συγχρόνως οπτική διάσταση και όχι απλά με κριτήριο τι αναφέρει στο κάθε σημείο ή όχι το σχολικό βιβλίο.
(Σε καμιά περίπτωση δεν αμφισβητούμε ούτε υπερβαίνουμε το βιβλίο όσον αφορά τα θεωρήματα και τις προτάσεις, μια και μόνο πάνω σε αυτά εξετάζονται συνολικά οι μαθητές με δίκαιο και ισότιμο τρόπο.Αυτό που συζητάμε είναι άλλο θέμα προφανώς !)

Διαφορετικά , αν κάθε τι που προσθέτει ο δάσκαλος στην τάξη και που απορρέει από τα γραφόμενα στο σχολικό βιβλίο ,χρειάζεται από το μαθητή απόδειξη (σε περίπτωση που το χρησιμοποιεί) ,τότε κακώς το αναφέρει ο δάσκαλος και κακώς τίθενται θέματα πάνω σε αυτή τη συγκεκριμένη γνώση.

Είναι όμως και το άλλο : Αφού όλοι μας ισχυριζόμαστε ότι αυτά τα σημεία(ισοδυναμίες κλπ) τα σχολιάζουμε επαρκώς στο μάθημά μας και τα θεωρούμε αναπόσπαστο τμήμα μιας καλής διδασκαλίας , για ποιο λόγο να απαιτήσουμε από το μαθητή να τα αποδείξει εκ νέου στη γραπτή δοκιμασία ; Δεν μας αρκεί το γεγονός ότι ο μαθητής χρησιμοποίησε σωστά αυτά που έμαθε από τον καθηγητή του στην τάξη ; Φοβάμαι ότι διαφορετικά είναι ως να αμφισβητούμε ο ένας τον άλλο και τελικά χωρίς να το αντιλαμβανόμαστε οδηγούμαστε σε μια χωρίς λόγο ανούσια και βασανιστική περιπέτεια.
Η λύση είναι βέβαια να συγκεντρωθούν όλα αυτά τα σημεία από τους σχολικούς συμβούλους(τα έχουμε όλα μαζέψει και στο mathematica, τα έχει γράψει όμως ωραία και ο Νίκος Μαυρογιάννης ), να δοθούν στο Υπουργείο και να αποσταλεί μια εγκύκλιος στα σχολεία όπου να δίνεται στον καθηγητή η ευθύνη να τα διδάξει και να το σχολιάσει , ώστε οι μαθητές να μπορούν να μπορούν να τα χρησιμοποιούν χωρίς το άγχος της απώλειας μονάδων στις εξετάσεις !
Απλά και δίκαια πράγματα !

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Συνάδελφοι, ασπάζομαι τους ωραίους προβληματισμούς σας , αλλά απορώ γιατί θέλετε να ακυρώνουμε το ρόλο μας ως δάσκαλοι. Αναφέρομαι κυρίως στους συναδέλφους που διδάσκουν σε σχολεία, διότι έχουν την ευκαιρία να ακούνε και ορισμένα άλλα πράγματα που δυστυχώς δεν φτάνουν σε όλον τον κλάδο :

α) Όταν διδάσκεται η μονοτονία και γράφεται ο ορισμός, δεν ξεκινάμε πρώτα με μια γραφική παράσταση , όπου συγκρίνονται τα με τα , όπου φυσικά είναι ;
Μετά τη διατύπωση των σχετικών ορισμών(με μορφή συνεπαγωγής , όπως στο σχολικό ), δεν τονίζουμε ότι οι μεν γνησίως αύξουσες διατηρούν τη φορά των χ (το λέω χονδρικά για τη μεταξύ μας κουβέντα) ενώ οι φθίνουσες την αλλάζουν ;

β) Στο μάθημα της μονοτονίας, δεν δίνουμε ως πρώτο σχεδόν παράδειγμα μια ανίσωση στη μορφή που μας έδωσε ο Λευτέρης και μάλιστα με γν.φθίνουσα συνάρτηση ; Εκεί δεν λέμε και δεν τονίζουμε έμμεσα ή άμεσα ότι στις γν.αύξουσες συναρτήσεις από άνισα y παίρνουμε ομοίως άνισα χ , ενώ στις γνησίως φθίνουσες , από άνισα y παίρνουμε ''ανομοίως '' άνισα χ ;Εκεί εξηγούμε επίσης την αντίθετη συνεπαγωγή, είτε με άτοπο απαγωγή, είτε με άλλο τρόπο.

γ) Όταν λύνουμε την ανίσωση δεν γράφουμε
$e^x>e^2 \Leftrightarrow x>2$ ; Αν δείτε μάλιστα το βιβλίο της Β΄Λυκείου , στο αντίστοιχο μάθημα, οι ανισώσεις λύνονται με ισοδυναμία και στο πλάϊ γράφεται η αιτιολόγηση (πχ e > 1 κλπ).Επομένως και εδώ, αφού πρόκειται για το ίδιο ακριβώς πράγμα, δεν βλέπω το λόγο να προβούμε σε διαφοροποίηση, μόνο και μόνο επειδή έχουμε f και όχι μια ''αριθμητική'' ανίσωση.

Επομένως στο μυαλό του μαθητή , με όλες αυτές τις παρατηρήσεις του διδάσκοντα αλλά και τις σχετικές ασκήσεις, έχει αποτυπωθεί - και πολύ ορθά μάλιστα - η εξής ισοδυναμία:

'' Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, αν και μόνο αν για κάθε $x_1,x_2 \in \Delta$ ισχύει ότι :
$x_1<x_2 \Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)$ ''

δ) Όταν λύνουμε την εξίσωση και η f είναι
δεν γράφουμε κατευθείαν :
$f(x)=f(1) \Leftrightarrow x=1$ ,
αν και το σχολικό βιβλίο έχει μόνο την συνεπαγωγή ; Εκεί δηλαδή τι αλλάζει; Τίποτα! Φυσικά , σωστά βάζουμε ''ισοδυναμία'' , διότι το αντίστροφο είναι προφανές. Αυτό το εξηγούμε όμως εμείς οι δάσκαλοι και για το μαθητή γίνεται νόμος και πρότυπο ! Αν λοιπόν οι ανισώσεις θέλουν αιτιολόγηση - πέραν της απλής αναφοράς ότι '' αφού η f είναι γνησίως ..., η ανίσωση ισοδύναμα γίνεται '', τότε θέλουν και οι εξισώσεις.

ε) Στο σχολικό βιβλίο που έχουμε και χρησιμοποιούμε τόσα χρόνια , όλοι έχουμε καταλάβει ότι αυτό που μετράει είναι να μπει ο μαθητής στην ουσία, έστω και με διαίσθηση πολλές φορές.Και ποιος απο μας δεν χαίρεται όταν βλέπει τους μαθητές του να πηγαίνουν στο σωστό δρόμο, απλά και μόνο επειδή κατάλαβαν την ουσία του μαθήματος και όχι επειδή τους τονίσαμε με συμβολική γλώσσα όλες τις λεπτομέρειες με μορφή καταλόγου ;

Για να κλείσω αυτό το θέμα, σας λέω απερίφραστα ότι για μένα δεν χρειάζεται καμία απολύτως απόδειξη (με άτοπο κλπ) της αντίστροφης συνεπαγωγής στον ορισμό της μονοτονίας(σε σχετικά θέματα , όπως στη λύση ανισώσεων κλπ), διότι αυτό έχει γίνει έμμεσα και με απόλυτη σαφήνεια και από το διδάσκοντα -κυρίως- αλλά και από τις αντίστοιχες ασκήσεις που λύνονται στη σχολική(αλλά και σε κάθε άλλη) αίθουσα.
Δεν μιλάμε δε για τις εξετάσεις , όπου είναι αδιανόητο να θέσει κάποιος ζήτημα αφαίρεσης μονάδων για το συγκεκριμένο θέμα.Θα τον φάνε οι συνάδελφοι και καλά θα κάνουν ! Οι βαθμολογητές είναι πολύ καλοί συνάδελφοι και έχουν επίγνωση του έργου τους.Ας τους έχουμε εμπιστοσύνη και ας μην αφήνουμε τις αγωνίες ή τις αμφιβολίες μας , να δυσχεραίνουν το ήδη πολύπλοκο και δύσκολο έργο μας.Άλλωστε έχει δοθεί και στις πανελλήνιες ίδιο ακριβώς θέμα και δεν άκουσα να έχει τεθεί τέτοιο ζήτημα για αφαίρεση μονάδων.
Θυμηθείτε ότι δεχτήκαμε με οδηγία της ΚΕΓΕ το κριτήριο πραγματικού - φανταστικού , αν και στο σχολικό βιβλίο αυτό είναι άσκηση.Το ίδιο έχει έμμεσα και σε άλλες περιπτώσεις για προτάσεις που προκύπτουν από την εποπτεία ή τη διδασκαλία(κριτήριο περεμβολής για άπειρο όριο, συνέχεια της αντίστροφης σε διάστημα κλπ).
Για μένα πολύ σωστά δόθηκε αυτή η οδηγία(για το άπειρο όριο) και καλώς δεχόμαστε ως πλήρεις τέτοιες αιτιολογήσεις των μαθητών, μου δημιούργησε όμως απορία η άλλη οδηγία για το κριτήριο του μιγαδικού, διότι αυτό είναι άσκηση !Εκεί σίγουρα η ΚΕΓΕ παρέβη τη σχετική εγκύκλιο για τη χρήση μη διδαγμένων προτάσεων ως θεωρία και έκανε λάθος, αλλά μπορεί να δικαιολογήσει κανείς την αποφαση από το γεγονός ότι στο προηγούμενο βιβλίο ήταν πρόταση και έτσι πολλοί συνάδελφοι την δίδασκαν στην τάξη.
Λοιπον , σχολείο δεν είναι μόνο το σχολικό βιβλίο , αλλά και ο δάσκαλος. Και γω δίνω πολύ μεγάλη σημασία στο σωστό δάσκαλο και στον τρόπο που αυτός θα συλλάβει και υπεύθυνα θα συμπληρώσει κατάλληλα αυτά που αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο ή που απορρέουν από τον τρόπο που το βιβλίο προσεγγίζει το μάθημα, χωρίς - το τονίζω αυτό - να προσθέτει τελείως επιπλέον θεωρήματα, για τα οποία αν χρησιμοποιηθούν δεν υπάρχει καμιά αμφιβολία ότι πρέπει να αποδειχθούν από το μαθητή στις εξετάσεις.
Το βιβλίο είναι απλά ένας οδηγός και ο δάσκαλος οφείλει και να το ζωντανέψει αλλά και να το ερμηνέψει σωστά, όπου χρειάζεται και όπου οι μαθητές εγείρουν απορία.Η σωστή και πλήρης ανάλυση της θεωρίας θεωρείται πολύ σημαντική και δεν διαφωνώ καθόλου με την ανάπτυξή της από το διδάσκοντα μέχρις εξαντλήσεως, αν χρειαστεί. Αλλά για τις εξετάσεις , για το Θεό ! Τώρα ανακαλύψαμε την Αμερική ;

Αυτό λοιπον που συζητάμε , εντάσσεται ακριβώς σε αυτά που περιέγραψα . Δεν έχω κάποιο λόγο να υπερασπίσω τη μία ή την άλλη άποψη. Ξέρετε άλλωστε ότι μου αρέσουν και τα αυστηρά και τα δύσκολα μαθηματικά. Άπλά επικαλούμαι την κοινή λογική και εκφράζω και γω τους προβληματισμούς μου για το αν αυτή η συζήτηση πρέπει αξίζει να αγγίξει τις εξετάσεις ή να μείνει μόνο στα πλαίσια της καλής και ολοκληρωμένης διδασκαλίας . Αν ωστόσο νομίζει η πλειοψηφία των συναδέλφων ότι πρέπει να γίνουμε πιο σχολαστικοί και τυπικά αυστηροί , να ξανακουβεντάσουμε το θέμα σε ένα συνέδριο και να αποφασίσουμε. Να ξέρετε όμως ότι με αυτό τον τρόπο η δουλειά μας θα γίνει πιο δύσκολη και οι μαθητές μαζί με την κοινωνία θα μας γυρίσουν την πλάτη.

Αυτή είναι η ταπεινή γνώμη μου ,αλλά σέβομαι κάθε αντίθετη άποψη !

Μπάμπης