Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

#1

Αγαπητοί φίλοι,
Στο θέμα αυτό αποκλειστικά θα συζητήσουμε τα αυριανά θέματα των Μαθηματικών Κατεύθυνσης.

Αμέσως μόλις τα θέματα αναρτηθούν στο διαδίκτυο από το Υπουργείο Παιδείας, θα τα αναρτήσουμε κι εδώ και θα ξεκλειδωθεί το θέμα ώστε να αρχίσει ο σχολιασμός τους.

#2

them_mat_kat_c_hmer_no_1206.pdf: (208.1 KiB) Μεταφορτώθηκε 855 φορές

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Να ξεκινήσουμε με τα Σωστά - Λάθος

Σ, Σ, Λ, Λ, Λ

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{\left| w \right|}$ την θέλουν με Γεωμετρική εποπτεία (ότι είναι ο μικρός άξονας) ή με μελέτη; Είναι γνωστό ότι οι κορυφές $\displaystyle{B\left( {0,\beta } \right),\,B'\left( {0, - \beta } \right)}$ απέχουν ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων;

tsalikdimd · #5

Πιστεύω πως και η γεωμετρική ερμηνεία είναι δεκτή. Άλλωστε το έχουμε ξαναδεί το έργο. Την γεωμετρική λύση σε παλιότερα θέματα την κάναν δεκτή

Christos.N · #6

Το θέμα Δ είναι αρκετά ".......".

dopfev · #7

Το θέμα Γ) 3. λύνεται με Rolle; Δεν βγαίνει το θεώρημα Rolle...

Μάκης Χατζόπουλος · #8

dopfev έγραψε:Το θέμα Γ) 3. λύνεται με Rolle; Δεν βγαίνει το θεώρημα Rolle...

Με θεώρημα Bolzano

dopfev · #9

Λάθος...βγαίνει και παραβγαίνει

#10

Με θεώρημα Rolle στην H(x)=e^xf(x)-2012e^x

.

Αλέξανδρος

pastavr · #11

βγαίνει με Rolle στην $\displaystyle{h(x) = (f(x) - 2012){e^x}}$

vikidario · #12

και bolzano

perpant · #13

Για το Γ3 Θ. Rolle για την $\displaystyle{ h\left( x \right) = f\left( x \right)e^x - 2012e^x }$
στο $\displaystyle{ \left[ {x_1 ,x_2 } \right] }$

mathfinder · #14

Το Δ1 μου φαίνεται κακοδιατυπωμένο . Μπορούμε να βγάλουμε την

χωρίς να δείξουμε ότι είναι παραγωγίσιμη . Ή μου ξεφεύγει κάτι ;
Από την ανισοτική σχέση με Θ.Fermat βρίσκω $f(1)=-\frac{1}{e}$ και επειδή η

διατηρεί πρόσημο , είναι f(x)<0

.
Οπότε στην άλλη δεδομένη σχέση αν θέσω $G(x)=\frac{lnx-x}{f(x)}$ βγίνει εύκολα η

.

Αθ. Μπεληγιάννης

john.kastoris · #15

ναι βγαινει χωρίς να αποδείξουμε οτι είναι παραγωγίσιμη!!
Εκτός αν κατι δεν βλέπω
το Δ3 με jensen
και το Δ4 με bolzano

#16

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{\left| w \right|}$ την θέλουν με Γεωμετρική εποπτεία (ότι είναι ο μικρός άξονας) ή με μελέτη; Είναι γνωστό ότι οι κορυφές $\displaystyle{B\left( {0,\beta } \right),\,B'\left( {0, - \beta } \right)}$ απέχουν ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων;

Μάκη, δεν ξέρω αν θα μπορούσαμε "αναίμακτα" να ισχυριστούμε κάτι τέτοιο.

(Edit: ή τουλάχιστον να αναφέρουμε ότι το μήκος κάθε διαμέτρου έλλειψης είναι μεταξύ μικρού και μεγάλου άξονα (ιδιότητες έλλειψης στο βιβλίο κατεύθυνσης σελ. 104)).

Φαντάζομαι μια προσέγγιση θα μπορούσε να είναι

Έστω $\displaystyle w = x + yi,\;\;x,y \in R$

Είναι $\displaystyle \frac{{x^2 }}{9} + \frac{{y^2 }}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x^2 + 9y^2 = 36$

Είναι $\displaystyle \left| w \right| = \sqrt {x^2 + y^2 }$

Είναι $\displaystyle x^2 + y^2 = \frac{1}{4}\left( {4x^2 + 4y^2 } \right) = \frac{{4x^2 + 9y^2 - 5y^2 }}{4} = 9 - \frac{5}{4}y^2 \le 9$
με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle y = 0 \Rightarrow w = \pm 3$

Όταν το υπόριζο παίρνει τη μέγιστη τιμή και η τετραγωνική ρίζα παίρνει τη μέγιστη τιμή.
Οπότε το μέτρο του

παίρνει τη μέγιστη τιμή $\displaystyle \left| w \right| = 3$ όταν $\displaystyle w = 3\;\; \vee \;\;w = - 3$

Επίσης $\displaystyle x^2 + y^2 = \frac{1}{9}\left( {9x^2 + 9y^2 } \right) = \frac{{4x^2 + 9y^2 + 5x^2 }}{9} = 4 + \frac{5}{9}x^2 \ge 4$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle x = 0 \Rightarrow w = \pm 2i$

Όταν το υπόριζο παίρνει την ελάχιστη τιμή και η τετραγωνική ρίζα παίρνει την ελάχιστη τιμή.
Οπότε το μέτρο του

παίρνει την ελάχιστη τιμή $\displaystyle \left| w \right| = 2$ όταν $\displaystyle w = 2i\;\; \vee \;\;w = - 2i$

tsalikdimd · #17

Αφού δείξεις ότι η

είναι αρνητική βγάζεις το απόλυτο. Κατόπιν λόγω της συνέχειας της

το ολοκλήρωμα είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση. Επειδή και το 1ο μέλος της δοθείσας εξίσωσης είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση έπεται ότι και η

είναι παραγωγίσιμη

perpant · #18

Το Δ3 με 2 ΘΜΤ στα $\displaystyle{\left[ {x,2x} \right]}$ και $\displaystyle{\left[ {2x,3x} \right]}$ και μονοτονία της $\displaystyle{F'}$

parmenides51 · #19

μερικές υποδείξεις

Δ2. με αλλαγή μεταβλητης $\displaystyle{\frac{1}{f(x)}=y}$ , και del'hospital στο μηδέν αφού γίνουν ομώνυμα τα κλάσματα
Δ3. $\displaystyle{\frac{F(3x)-F(2x)}{3x-2x}>\frac{F(2x)-F(x)}{2x-x}}$ και 2 ΘΜΤ στα $\displaystyle{[x,2x],[2x,3x]}$ για την κυρτή $\displaystyle{F(x)}$
Δ4. η ύπαρξη με Θ.Bolzano στην $\displaystyle{g(x)=F(\beta)+F(3\beta)-2F(x)}$ στο $\displaystyle{(\beta,2\beta)}$

διορθώθηκε από εδω και κάτω, ήταν αναποδα όλες οι φορές

$\displaystyle{g(\beta)<0}$
$\displaystyle{g(2\beta)=F(\beta)-F(2\beta)+F(3\beta)-F(2\beta)=-f(\xi_1)(2\beta-\beta)+f(\xi_2)(3\beta-2\beta)>0}$ από ΘΜΤ στα $\displaystyle{[\beta,2\beta],[2\beta,3\beta]}$ για την κυρτή $\displaystyle{F(x)}$ (ή από το Δ3 πιο σύντομα)

η μοναδικότητα με μονοτονία της $\displaystyle{g}$ αφού $\displaystyle{g'(x)>0}$

ξέχασα να βάλω αρχικά το κλάσμα στο Δ2

Μάκης Χατζόπουλος · #20

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{\left| w \right|}$ την θέλουν με Γεωμετρική εποπτεία (ότι είναι ο μικρός άξονας) ή με μελέτη; Είναι γνωστό ότι οι κορυφές $\displaystyle{B\left( {0,\beta } \right),\,B'\left( {0, - \beta } \right)}$ απέχουν ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων;
Μάκη, δεν ξέρω αν θα μπορούσαμε "αναίμακτα" να ισχυριστούμε κάτι τέτοιο.

Φαντάζομαι μια προσέγγιση θα μπορούσε να είναι

Έστω $\displaystyle w = x + yi,\;\;x,y \in R$

Είναι $\displaystyle \frac{{x^2 }}{9} + \frac{{y^2 }}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x^2 + 9y^2 = 36$

Είναι $\displaystyle \left| w \right| = \sqrt {x^2 + y^2 }$

Είναι $\displaystyle x^2 + y^2 = \frac{1}{4}\left( {4x^2 + 4y^2 } \right) = \frac{{4x^2 + 9y^2 - 5y^2 }}{4} = 9 - \frac{5}{4}y^2 \le 9$
με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle y = 0 \Rightarrow w = \pm 3$

Όταν το υπόριζο παίρνει τη μέγιστη τιμή και η τετραγωνική ρίζα παίρνει τη μέγιστη τιμή.
Οπότε το μέτρο του παίρνει τη μέγιστη τιμή $\displaystyle \left| w \right| = 3$ όταν $\displaystyle w = 3\;\; \vee \;\;w = - 3$

Επίσης $\displaystyle x^2 + y^2 = \frac{1}{9}\left( {9x^2 + 9y^2 } \right) = \frac{{4x^2 + 9y^2 + 5x^2 }}{9} = 4 + \frac{5}{9}x^2 \ge 4$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle x = 0 \Rightarrow w = \pm 2i$

Όταν το υπόριζο παίρνει την ελάχιστη τιμή και η τετραγωνική ρίζα παίρνει την ελάχιστη τιμή.
Οπότε το μέτρο του παίρνει την ελάχιστη τιμή $\displaystyle \left| w \right| = 2$ όταν $\displaystyle w = 2i\;\; \vee \;\;w = - 2i$

Γιώργο για αυτό ρώτησα, αν θέλανε αυτή την απόδειξη (υπάρχει και άλλη, με μελέτη συνάρτηση της απόστασης) τότε έχει ξεφύγει το θέμα, αλλιώς καλά πάει...

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Μέλη σε σύνδεση