Όριο αθροίσματος (20)

#1

Έστω $f:[0,1]\to(0,+\infty)$ συνεχής. Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right)^{1/n}\right)^n}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Επαναφορά

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω $f:[0,1]\to(0,+\infty)$ συνεχής. Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right)^{1/n}\right)^n}$ .

Κάπως συνοπτικά .. με τον πρωινό καφέ ..

Επειδή $\displaystyle{n \cdot \ln \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {f\left( {\frac{k}{n}} \right)} \right)}^{1/n}}} } \right) \approx n \cdot \ln \left( {\int\limits_0^1 {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^{1/n}}} dx} \right)}$ , θα έχουμε

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n \cdot \ln \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {f\left( {\frac{k}{n}} \right)} \right)}^{1/n}}} } \right) \approx \mathop {\lim }\limits_{y \to \infty } y \cdot \ln \left( {\int\limits_0^1 {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^{1/y}}} dx} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\ln \left( {\int\limits_0^1 {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^y}} dx} \right)}}{y} = }$

$\displaystyle{ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\int\limits_0^1 {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^y}\ln } \left( {f\left( x \right)} \right)dx}}{{\int\limits_0^1 {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^y}} dx}} = \int\limits_0^1 {\ln } \left( {f\left( x \right)} \right)dx}$ . Οπότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {f\left( {\frac{k}{n}} \right)} \right)}^{1/n}}} } \right)^n} = {e^\big{\int\limits_0^1 {\ln \left( {f\left( x \right)} \right)dx} }}}}$

Παραδείγματα

$\displaystyle{f\left( x \right) = {x^a}\xrightarrow{{}}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {f\left( {\frac{k}{n}} \right)} \right)}^{1/n}}} } \right)^n} = {e^\big{{\int\limits_0^1 {\ln \left( {{x^a}} \right)dx} }}} = {e^\big{{a\int\limits_0^1 {\ln \left( x \right)dx} }} = {e^\big{{ - a}}}}}$

$\displaystyle{f\left( x \right) = {e^x}\xrightarrow{{}}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {f\left( {\frac{k}{n}} \right)} \right)}^{1/n}}} } \right)^n} = {e^\big{{\int\limits_0^1 {\ln \left( {{e^x}} \right)dx} }}} = {e^\big{{\int\limits_0^1 {xdx} }}} = \sqrt e }$ ..

$\displaystyle{f\left( x \right) = 1 + {x^2}\xrightarrow{{}}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {f\left( {\frac{k}{n}} \right)} \right)}^{1/n}}} } \right)^n} = {e^\big{{\int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + {x^2}} \right)dx} }}} = .. = \frac{{2{e^{\pi /2}}}}{{{e^2}}}}$ .

#4

Η δημοσιευμένη λύση εδώ σελ.12 πρόβλημα 5187.

Όριο αθροίσματος (20)

Όριο αθροίσματος (20)

Re: Όριο αθροίσματος (20)

Re: Όριο αθροίσματος (20)

Re: Όριο αθροίσματος (20)

Μέλη σε σύνδεση