ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

parmenides51 · #21

ΑΣΚΗΣΗ 15

Δίνεται στον παρακάτω πίνακα ένα ομαδοποιημένο δείγμα τιμών.

$\begin{tabular}{|c| c|} \hline \kappa \lambda\dot \alpha \sigma \varepsilon \iota \varsigma [ \; -\;)& \greektext \;\;n_{i} \\ \hline 0 \;- \; 2 & 1 \ \\ \hline 2 \;- \; 4 & 2 \\ \hline 4 \;- \; 6 & 1 \\ \hline 6 \;- \; 8 & 4 \\\hline \end{tabular}$

α. Να υπολογίσετε την διάμεσο $\displaystyle{\delta }$
β. Να αποδείξετε ότι έχει μέση τιμή $\overline x = 5$
γ. Να αποδείξετε ότι έχει διακύμανση ${S^2} = \overline x$
δ. Να εξετάσετε εαν το δείγμα είναι ομοιογενές

Δίνεται ότι ${2,24^2} \cong 5$

parmenides51 · #22

ΑΣΚΗΣΗ 16

Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή συχνοτήτων των βαθμών εξετάσεων φοιτητών στο μάθημα της Στατιστικής σε μια σχολή ΤΕΙ.

$\begin{tabular}{|c||c|c|c| c|} \hline \kappa \lambda\dot \alpha \sigma \varepsilon \iota \varsigma [\;- \;)& \varphi o\iota \tau \eta \tau\dot \epsilon \varsigma \nu_{i} \\ \hline 1,5\; - \; 2,5 &10 \\ \hline 2,5\; - \; 3,5& 30 \\ \hline 3,5\; - \; 4,5 & 10\\ \hline 4,5\; - \; 5,5 & 10 \\ \hline 5,5\; - \; 6,5 & 20 \\\hline \end{tabular}$

α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{M_o<\delta}$ όπου $\displaystyle{M_o,\delta }$ η επικρατούσα τιμή και η διάμεσος του δείγματος αντίστοιχα

β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{S^2} = \frac{{\overline x }}{2}}$ όπου $\displaystyle{S^2,\overline x }}$ η διασπορά και η μέση τιμή του δείγματος αντίστοιχα

γ) Να εξετάσετε εαν το παραπάνω δείγμα είναι ομοιογενές

δ) Αν ο καθηγητής για να βοηθήσει κάποιους φοιτητές κάνει τους βαθμούς από $\displaystyle{4}$ έως $\displaystyle{5}$ ίσους με $\displaystyle{5}$ , να βρείτε το πλήθος των μαθητών που πέρασαν το μάθημα

Δίνεται ότι $\displaystyle{{1,41^2} \cong 2}$ και πως στις σχολές βάση θεωρείται το $\displaystyle{5}$ και άριστα το $\displaystyle{10}$ .

parmenides51 · #23

ΑΣΚΗΣΗ 17

Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ταχύτητες $\displaystyle{400}$ οδηγών αυτοκινήτων ομαδοποιημένες σε κλάσεις που κατέγραψε ένα περιπολικό της τροχαίας σε διάστημα ενός μηνά σε σημείο του δρόμου με ανώτατο επιτρεπόμενο όριο ταχύτητας τα $\displaystyle{110}$ χιλιόμετρα την ώρα.

$\displaystyle \begin{tabular} {|l||c l|} \hline \greektext taquthta [\;-\;) & \greektext odhgoi\;\;n_{i}&\ \\ \hline \; \;80\;-\;100 & 136-12\alpha &\ \\ \hline \; 100\;-\;120 & 200 &\ \\ \hline \; 120\;-\;140 & 20\alpha +10 &\ \\ \hline \; 140\;-\;160 & 10\alpha -4 &\ \\ \hline \; 160\;-\;180 & \alpha +1 & \\\hline \end{tabular}$ όπου $\displaystyle{\alpha \in\mathbb{R}}$

α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\alpha =3}$ .

β) Να βρείτε το ποσοστό των οδηγών που έκαναν παράβαση.

γ) Η τροχαία συμπεριφέρεται στους παραβάτες έως εξής:
Όσοι καταγράφονται να κινούνται με ταχύτητα από $\displaystyle{110}$ έως $\displaystyle{120}$ χιλιόμετρα την ώρα με παρατήρηση,
όσοι κινούνται με ταχύτητα από $\displaystyle{120}$ έως $\displaystyle{140}$ χιλιόμετρα την ώρα με πρόστιμο $\displaystyle{100}$ ευρώ,
όσοι κινούνται με ταχύτητα από $\displaystyle{140}$ έως $\displaystyle{160}$ χιλιόμετρα την ώρα με πρόστιμο $\displaystyle{200}$ ευρώ
και όσοι κινούνται με ταχύτητα από $\displaystyle{160}$ έως $\displaystyle{180}$ χιλιόμετρα την ώρα με αφαίρεση πινακίδων και πρόστιμο $\displaystyle{500}$ ευρώ.
Αν στους παραπάνω παραβάτες, $\displaystyle{3}$ οδηγοί κινούμενοι με ταχύτητες $\displaystyle{157,144}$ και $\displaystyle{166}$ χιλιόμετρα την ώρα απαλλαγούν για διαφόρους λόγους, να βρείτε τα έσοδα από τις εισπράξεις των προστίμων, θεωρώντας ότι όλα τα υπόλοιπα πρόστιμα θα πληρωθούν κανονικά.

edit: η λύση βρίσκεται εδώ

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

pana1333 · #24

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9

Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι 50 μαθητές της τρίτης τάξης ενός Λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών. Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν, συντάχθηκε ο παρακάτω πίνακας:

$\begin{tabular}{|c||c|c|c| c|c|} \hline \alpha \rho \iota \theta \mu\dot \o \varsigma \;\ \beta \iota \beta \lambda\dot \iota \omega \nu &0&1 &2&3&4 \\ \hline \alpha \rho \iota \theta \mu\dot\o \varsigma \;\ \mu \alpha \theta \eta \tau \dot \omega \nu&\alpha + 4 &5\alpha + 8 & 4\alpha & \alpha - 1 & 2\alpha\ \\\hline \end{tabular}$

α. Να υπολογίσετε την τιμή του α.
Στη συνέχεια για α=3 να βρείτε:
β. Τη μέση τιμή του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές.
γ. Τη διάμεσο του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές.
δ. Πόσοι μαθητές διάβασαν τουλάχιστον 3 βιβλία
ε. Τι ποσοστό των μαθητών διάβασε το πολύ 1 βιβλίο

Λύση από τον συνήθη ύποπτο!

α) Είναι $\alpha +4+5\alpha +8+4\alpha +\alpha -1+2\alpha =50\Leftrightarrow 13\alpha =39\Leftrightarrow \alpha =\frac{39}{13}\Leftrightarrow \alpha =3$

Άρα ο πίνακας συχνοτήτων γίνεται

$\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \mu \alpha \theta \eta \tau \epsilon \varsigma \, x_{i} & \beta \iota \beta \lambda \iota \alpha \, \nu _{i}& \ N _{i} \\ \hline 0 & 7 & 7 \\ \hline 1 & 23 & 30 \\ \hline 2 & 12 & 42 \\ \hline 3 & 2 & 44 \\ \hline 4 & 6 & 50\\ \hline \Sigma\dot \upsilon \nu o\lambda o& 50& \\\hline \end{tabular}$

β) Η μέση τιμή είναι $\bar{x}=\frac{0\cdot7+1\cdot23+2\cdot12+3\cdot2+4\cdot6}{50}\Leftrightarrow \bar{x}=\frac{77}{50}\Leftrightarrow \bar{x}=1,54$

γ) Αφού έχουμε άρτιο πλήθος παρατηρήσεων, η διάμεσος ισούται με το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων δηλαδή $\delta =\frac{t_{25}+t_{26}}{2}=\frac{1+1}{2}=1$

δ) Τουλάχιστον τρία βιβλία διάβασαν 2+6=8

μαθητές.

ε) Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε το πολύ ένα βιβλίο είναι το άθροισμα αυτών που δε διάβασαν κανένα βιβλίο και αυτών που διάβασαν ένα. Δηλαδή $\frac{7}{50}+\frac{23}{50}=\frac{30}{50}=0,6$ ή 60%

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #25

ΑΣΚΗΣΗ 18

Εξετάσαμε ένα δείγμα συνδρομητών κινητής τηλεφωνίας σχετικά με τον αριθμό των κλήσεων που πραγματοποίησαν κατά τη διάρκεια μιας ημέρας και προέκυψαν τα παρακάτω:

$\bullet$ Oι συνδρομητές πραγματοποίησαν $\displaystyle{0,1,2,3, \dot \eta\;\;\ 4}$ κλήσεις.

$\bullet$ $\displaystyle{10}$ συνδρομητές πραγματοποίησαν $\displaystyle{1}$ μόνο κλήση.

$\bullet$ Οι συνδρομητές που πραγματοποίησαν $\displaystyle{2}$ κλήσεις είναι τετραπλάσιοι από εκείνους που δεν πραγματοποίησαν κλήση.

$\bullet$ Το πολύ $\displaystyle{2}$ κλήσεις πραγματοποίησαν $\displaystyle{30}$ συνδρομητές.

$\bullet$ Η γωνία του κυκλικού διαγράμματος που αντιστοιχεί στην τιμή $\displaystyle{x_1 = 0}$ , είναι $\displaystyle{36^0 }$

$\bullet$ Το ποσοστό των συνδρομητών που πραγματοποίησαν $\displaystyle{4}$ κλήσεις είναι $\displaystyle{10\% }$

α. Να βρείτε το μέγεθος του δείγματος $\displaystyle{v}$ και να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων,
σχετικών συχνοτήτων $\displaystyle{f_i }$ καθώς και όλων των αντίστοιχων αθροιστικών συχνοτήτων.
β. Να βρείτε τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή του δείγματος των κλήσεων.
γ. Να βρείτε τον μέσο αριθμό κλήσεων που πραγματοποίησαν οι συνδρομητές.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #26

ΑΣΚΗΣΗ 19

Η κατανομή του βάρους (σε κιλά) των 270 μαθητών ενός σχολείου παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα:

$\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \ \rm B\dot \alpha \rho o\varsigma & \kappa \varepsilon \nu .\kappa \lambda \alpha \sigma \eta\varsigma \;\ x_i \ & M\alpha \theta \eta \tau\dot \varepsilon \varsigma \;\ v_i \\ \hline [54,60) & & 18 \\ \hline [60,66) & & 46 \\ \hline [66,72) & & 71 \\ \hline [72,78) & & 73 \\ \hline [78,84) & & \alpha \\ \hline [84,90) & & 20\\ \hline \Sigma\dot \upsilon \nu o\lambda o& -&270 \\\hline \end{tabular}$

α. Να βρεθεί το $\displaystyle{\alpha }$
β. Να αποδείξετε ότι το μέσο βάρος των μαθητών είναι 72 κιλά
γ. Πόσοι μαθητές είχαν βάρος τουλάχιστον 72 κιλά
δ. Τι ποσοστό των μαθητών είχε βάρος μικρότερο από 66 κιλά;
ε. Αν καθένα από τα 150 κορίτσια του σχολείου χάσει 3 κιλά και καθένα από τα αγόρια του σχολείου πάρει 1,5 κιλό , ποιό αναμένετε να είναι το νέο μέσο βάρος των μαθητών;

parmenides51 · #27

ΑΣΚΗΣΗ 20 (τελευταία)

Οι ώρες μελέτης

φοιτητών στη βιβλιοθήκη ανά εβδομάδα δίνονται από το παρακάτω κυκλικό διάγραμμα.

α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα κατανομής συχνοτήτων.

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \omega \rho \epsilon \varsigma \mu \epsilon \lambda \epsilon \tau \eta \varsigma \, x_i & \varphi o\iota \tau \eta \tau \epsilon \varsigma \, v_i \ & \gamma \omega \nu \iota \alpha \, \omega _i & x_iv_i \\ \hline \, 6 & & & \\ \hline \, 8 & & & \\ \hline 10 & && \\ \hline 12 & && \\ \hline 14 & & & \\ \hline 16 & & & \\ \hline \Sigma\dot \upsilon \nu o\lambda o & 60 & 360 ^o& \\\hline \end{tabular}$

β) Να υπολογίσετε την διάμεσο και την μέση τιμή του δείγματος.

γ) Στην περίοδο των εξετάσεων, κάθε μαθητής που διάβαζε μέχρι και

ώρες αυξάνει το εβδομαδιαίο διάβασμά του κατά

ώρες, ενώ οι υπόλοιποι κατά

ώρες. Ποία θα είναι τότε η διάμεσος και ποια η μέση τιμή;

: wres.png (14.62 KiB) Προβλήθηκε 2821 φορές

Υ.Γ. Το ερώτημα (γ) καθώς και το σχήμα από τον συνήθη ύποπτο στις συλλογές Δημήτρη.

edit: η αρίθμηση συνεχίζεται στην συλλογή όρια - συνέχεια εδώ

pana1333 · #28

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 12

Το παρακάτω δείγμα μαθητών έχει μέσο όρο απουσιών $\displaystyle{\overline x = 4}$ απουσίες σε διάστημα μιας εβδομάδας.

$\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \alpha \pi o\upsilon \sigma \iota \epsilon \varsigma \, x_{i} & \mu \alpha \theta \eta \tau \epsilon \varsigma \, \nu _{i} & x_{i}\nu _{i} \\ \hline 2 & 2\alpha +2 & \\ \hline 4 & 6-\alpha & \\ \hline 5 & \alpha +2 & \\ \hline 6 & 3\alpha-2 & \\ \hline \Sigma\dot \upsilon \nu o\lambda o& & \\\hline \end{tabular}$

α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\alpha}$
Για $\displaystyle{\alpha=2}$ , να βρείτε:
β. τη επικρατούσα τιμή του δείγματος
γ. τη διάμεσο του δείγματος
δ. τον μέσο όρο απουσιών αν στο δείγμα προστεθεί ο Μάκης που δεν απουσιάζει ποτέ από τα μαθήματα

edit:
Άλλαξα τα νούμερα στον πίνακα ώστε η ζητούμενη τιμή του της παραμέτρου να είναι αυτή που δίνεται παρακάτω, κατόπιν παρατήρησης του Θοδωρή.

Ε ας δωθεί και η λύση....λίγο αργοπορημένα μιας και την έχω από την τετάρτη!

α)Το μέγεθος του δείγματος ισούται με $\nu =2\alpha +2+6-\alpha +\alpha +2+3\alpha -2=5\alpha +8$ . Είναι $\bar{x}=\frac{2\left( 2\alpha +2\right)+4\left( 6-\alpha\right) +5\left( \alpha +2\right)+6\left( 3\alpha -2\right)}{5 \alpha +8}$ \displaystyle{\Leftrightarrow 20\alpha +32=4\alpha +4+24-4\alpha +5\alpha +10+18\alpha -12\Leftrightarrow} $-3\alpha =-6\Leftrightarrow \alpha =2$

β) Για $\alpha =2$ ο πίνακας γίνεται

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \alpha \pi o\upsilon \sigma \iota \epsilon \varsigma \, x_{i} & \mu \alpha \theta \eta \tau \epsilon \varsigma \, \nu _{i} & x_{i}\nu _{i} &\ N{i} \\ \hline 2 & 6 & 12 &6\\ \hline 4 & 4 & 16&10 \\ \hline 5 & 4 & 20&14\\ \hline 6 & 4 & 24& 18\\ \hline \Sigma\dot \upsilon \nu o\lambda o&18 &72 & \\\hline \end{tabular}$

Επικρατούσα τιμή το 2 αφού $\nu_{1}=6$ (Έγινε διόρθωση από τον Δημήτρη. Δεν το είχα προσέξει το λάθος.)

γ) Αφού έχουμε δείγμα άρτιου πλήθους, η διάμεσος ισούται με το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων δηλαδή: $\delta =\frac{t_{9}+t_{10}}{2}=\frac{4+4}{2}=4$

δ) Αφού ο Μάκης δεν απουσιάζει ποτέ η νέα μέση τιμή θα είναι $\bar{x'}=\frac{x_{i}\cdot \nu _{i}}{\nu +1}=\frac{72}{19}=3,789$

pana1333 · #29

Άλλη μια από το θοδωρή που καθυστέρησα να δώσω, λόγω έλλειψης χρόνου....

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14

Εξετάσαμε τους πελάτες μιας καφετέριας σχετικά με το χρόνο (σε λεπτά) παραμονής τους σε αυτή.Τα αποτελέσματα ομαδοποιήθηκαν σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους και το πολύγωνο των συχνοτήτων φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

ασκηση 14.png (30.2 KiB) Προβλήθηκε 2804 φορές

α. Να προσδιορίσετε τις κλάσεις και να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνότητων

β. Να κατασκευάσετε πινακά κατανομής συχνοτήτων με τις στήλες $\displaystyle{\nu _i ,N_i ,f_i ,F_i \% }$

γ. Να βρεθεί η μέση τιμή.

δ.Να βρεθεί το ποσοστό των πελατών που μένουν στην καφετέρια χρόνο λιγότερο των 30 λεπτών.

α) Σύμφωνα με το ιστόγραμμα συχνοτήτων οι κλάσεις είναι [10,20), [20,30), [30,40), [40,50), [50,60)

β) Ο πίνακας έχει ως εξής

$\begin{tabular}{|c||c|c|c| c|c|} \hline \kappa \lambda\dot \alpha \sigma \varepsilon \iota \varsigma & x_{i}& \greektext \;\;n_{i} & N_{i} & f_{i} &F{i}\%\\ \hline [10,20) &15& 4 & 4&0,1&10 \\ \hline [20,30)& 25& 12 & 16&0,3&40 \\ \hline [30,40) &35& 16&32 &0,4&80\\ \hline [40,50)&45& 6&38&0,15&95 \\ \hline [50,60)&55& 2&40&0,05&100 \\ \hline \Sigma\dot \upsilon \nu o\lambda o&\ - &40& &1 &\ \\\hline \end{tabular}$

γ) Είναι $\bar{x}=\frac{4\cdot15+12\cdot25+35\cdot16+6\cdot45+2\cdot55}{40}=\frac{1300}{40}=32,5$

δ) Είναι $F_{2}\%=40\%$

orestisgotsis · #30

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #31

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #32

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #33

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #34

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #35

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #36

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #37

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #38

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #39

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #40

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑ.Λ

Μέλη σε σύνδεση