Βοήθεια σε άσκηση του Nεγρεπόντη

[gtk1994]

Μήπως κάποιος θα μπορούσε να με βοηθήσει στην άσκηση 1-30 από το Απειροστικός Λογισμός Ι
του Νεγρεπόντη ?? 'Η τουλάχιστον να μου δώσει μια παραπομπή ?? Βασικά έχω κολλήσει με το ερώτημα "να δείξετε ότι μπορεί να οριστεί διάταξη ....". Δεν έχω ξανααντιμετωπίσει τέτοιου είδους ερώτημα.(Από ότι κατάλαβα με αυτή την άσκηση προσπαθεί να κάνει εισαγωγή στο διατεταγμένο σώμα)

Γιώργος

[Demetres]

Αν μας έγραφες την άσκηση ίσως να μπορούσαμε να βοηθήσουμε και εμείς που δεν έχουμε το βιβλίο.

[gtk1994]

Συγγνώμη! Δικό μου λάθος
Απλώς δεν την έβαλα επειδή συνδέεται και με άλλο κομμάτι του βιβλίου. Παρ'ολ'αυτά, θα κάνω μια προσπάθεια να την προσαρμόσω.
Η άσκηση λοιπόν είναι η εξής :
Αποδείξτε ότι, αν ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών επαληθεύει τα εξής :
1)Για κάθε έχουμε ή ή ή
2) Αν , τότε ,
τότε μπορεί να ορισθεί μια διάταξη στους πραγματικούς αριθμούς ώστε να ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες :
1)Ιδιότητα της μεταβατικότητας
2)Ιδιότητα της τριχοτομίας
3)Αν a,β είναι πραγματικοί με τότε για κάθε πραγματικό c
4)Αν πραγματικοί με και τότε

Γιώργος

[Demetres]

Γιώργο, ίσως σε μπερδεύει το γεγονός ότι ήδη γνωρίζεις ότι υπάρχει διάταξη στο που να ικανοποιεί τις συνθήκες. Υπέθεσε πως έχεις ένα «άγνωστο» σώμα το οποίο ικανοποιεί τις συνθήκες που έγραψες. Δηλαδή

Υπάρχει υποσύνολο του που επαληθεύει τα εξής :
1)Για κάθε έχουμε ή ή ή .
2) Αν , τότε ,

Καλείσαι τότε να βρεις μια διάταξη στο ώστε να ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες :
1)Ιδιότητα της μεταβατικότητας
2)Ιδιότητα της τριχοτομίας
3)Αν με τότε για κάθε
4)Αν με και τότε

Ο παραλληλισμός με τους πραγματικούς είναι ότι το σύνολο το σκεφτόμαστε σαν το σύνολο των θετικών αριθμών. Για καλούμαστε να διαλέξουμε ένα από τα , , γνωρίζοντας μόνο τo σύνολο και τις ιδιότητες του. Και πρέπει να το κάνουμε αυτό με τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύουν τα (1)-(4).