Μια συνδυαστική!

#1

Πόσοι εξαψήφιοι αριθμοί έχουν γινόμενο ψηφίων ίσο με 24;

#2

Μέχρι να διορθώσω την απροσεξία μου, είδα ότι με πρόλαβαν τρεις πιο κάτω!!!

Οπότε , ....

Anagnostakia · #3

Παρατηρούμε ότι: $\displaystyle{24=2\times2\times 2\times 3\times 1\times 1=1\times1\times 1\times 4\times 2\times 3=1\times1\times 1\times 1\times 6\times 4=1\times1\times 1\times 1\times 3\times 8=1\times1\times 1\times 2\times 2\times 6}$ ,ως γινόμενο μονοψήφιων αριθμών.Άρα για να υπολογίσουμε το πλήθος των εξαψήφιων αρκεί να υπολογίσουμε τον αριθμό των αναδιατάξεων των παραπάνω εξάδων.Δηλαδή τελικά το πλήθος Π είναι:
$\displaystyle{Π=\frac{6!}{3!\times 2!}+\frac{6!}{3!}+\frac{6!}{4!}+\frac{6!}{4!}+\frac{6!}{3!\times 2!}=300}$ .Άρα Π=300.Ελπίζουμε να μην κάναμε λάθος!

#4

Θα βρούμε αρχικά πόσες διαφορετικές αύξουσες ακολουθίες 6ψήφιων υπάρχουν που έχουν γινόμενο 24 και μετά θα βρούμε όλες τις δυνατές αναδιατάξεις τους.

Αρχικά οι θετικοί διαιρέτες του 24 είναι οι 1,2,3,4,6,12,24. Οι αριθμοί 12 και 24 δε μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως ψηφία. Επειδή το 24 στην ανάλυσή του σε πρώτους περιέχει το 3 άρα ο κάθε 6 ψήφιος θα περιέχει υποχρεωτικά μόνο το 3 ή μόνο το 6.

Αν περιέχει το 3 τότε οι αύξουσες ακολουθίες είναι οι: $112223, \ 111234, \ 111138$

Αν περιέχει το 6 τότε είναι οι: $111226, \ 111146$

Οι δυνατές αναδιατάξεις του 112223

είναι σε πλήθος $\dfrac{6!}{2!\cdot 3!}=60$
Οι δυνατές αναδιατάξεις του 111234

είναι σε πλήθος $\dfrac{6!}{3!}=120$
Οι δυνατές αναδιατάξεις του 111146

είναι σε πλήθος $\dfrac{6!}{4!}=30$

Οι δυνατές αναδιατάξεις του 111226

είναι σε πλήθος $\dfrac{6!}{2!\cdot 3!}=60$
Οι δυνατές αναδιατάξεις του 111146

είναι σε πλήθος $\dfrac{6!}{4!}=30$

Συνολικά λοιπόν υπάρχουν 60+120+30+60+30=300

6-ψήφιοι αριθμοί με γινόμενο ψηφίων το 24.

Edit: Είδα ότι με πρόλαβαν τα παιδιά από τα Τρίκαλα έχοντας την ίδια προσέγγιση. Αφήνω την απάντησή μου μόνο για τον κόπο.

Αλέξανδρος

#5

Το 24 γράφεται ως γινόμενο ψηφίων μόνο με τους εξής τρόπους:

α) $24=3\cdot8\cdot1^4$

Για να σχηματίσουμε έναν εξαψήφιο χρησιμοποιώντας ένα τριάρι, ένα οχτάρι και 4 άσσους ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Διαλέγουμε πρώτα μια από τις 6 θέσεις για να τοποθετήσουμε το 8. Υπάρχουν 6 τρόποι.
Κατόπιν μία από τις υπόλοιπες 5 θέσεις επιλέγεται για το 3. Υπάρχουν 4 τρόποι.
Στις υπόλοιπες 4 θέσεις τοποθετούνται 4 άσσοι. Γίνεται με έναν τρόπο.
Υπάρχουν λοιπόν 30 τέτοιοι εξαψήφιοι.

β) $24=4\cdot6\cdot1^4$

Για να σχηματίσουμε έναν εξαψήφιο χρησιμοποιώντας ένα τεσσάρι, ένα εξάρι και 4 άσσους υπάρχουν ομοίως 30 τρόποι.

γ) $24=2^2\cdot6\cdot1^3$

Για να σχηματίσουμε έναν εξαψήφιο χρησιμοποιώντας δύο δυάρια, ένα εξάρι και 3 άσσους ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Διαλέγουμε πρώτα δύο από τις 6 θέσεις για να τοποθετήσουμε τα δύο δυάρια. Υπάρχουν

τρόποι.
Κατόπιν μία από τις υπόλοιπες 4 θέσεις επιλέγεται για το 6. Υπάρχουν 4 τρόποι.
Στις υπόλοιπες 3 θέσεις τοποθετούνται 3 άσσοι. Γίνεται με έναν τρόπο.
Υπάρχουν λοιπόν 60 τέτοιοι εξαψήφιοι.

δ) $24=2^3\cdot3\cdot1^2$

Για να σχηματίσουμε έναν εξαψήφιο χρησιμοποιώντας τρία δυάρια, ένα τριάρι και 2 άσσους ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Διαλέγουμε πρώτα τρεις από τις 6 θέσεις για να τοποθετήσουμε τα τρία δυάρια. Υπάρχουν

τρόποι.
Κατόπιν μία από τις υπόλοιπες 3 θέσεις επιλέγεται για το 3. Υπάρχουν 3 τρόποι.
Στις υπόλοιπες 2 θέσεις τοποθετούνται 2 άσσοι. Γίνεται με έναν τρόπο.
Υπάρχουν λοιπόν 60 τέτοιοι εξαψήφιοι.

ε) $24=2\cdot3\cdot4\cdot1^3$

Για να σχηματίσουμε έναν εξαψήφιο χρησιμοποιώντας ένα δυάρι, ένα τριάρι και 1 τεσσάρι ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Διαλέγουμε πρώτα τρεις από τις 6 θέσεις για να τοποθετήσουμε τους τρεις άσσους. Υπάρχουν

τρόποι.
Κατόπιν μία από τις υπόλοιπες 3 θέσεις επιλέγεται για το 2. Υπάρχουν 3 τρόποι.
Στις υπόλοιπες 2 θέσεις τοποθετούνται το τριάρι και το τεσσάρι. Γίνεται με 2 τρόπους.
Υπάρχουν λοιπόν 120 τέτοιοι εξαψήφιοι.

Συνολικά υπάρχουν 30+30+60+60+120=300

εξαψήφιοι.

Μια συνδυαστική!

Μια συνδυαστική!

Re: Μια συνδυαστική!

Re: Μια συνδυαστική!

Re: Μια συνδυαστική!

Re: Μια συνδυαστική!

Μέλη σε σύνδεση