ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ*.

#141

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $11\left(49 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους και κυρίως στον φίλο Κώστα Βήττα [που έχει ασχοληθεί και με την σχετική Κατασκευή $11\left(49 \right)$ ], να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής $11\left(49 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(49 \right)$ από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(50 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία αξιόλογη Κατασκευή.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(50 \right)$ . Δίνεται κύκλος $\left(\kappa \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία του $A, \Delta, E, B$ . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθούν τα σημεία $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία να είναι:
$\left(A\Delta \Gamma B \right)=\left(BE\Gamma A \right), \left(1 \right)$ ,
$\left(A\Delta \Gamma ' B \right)=\left(BE\Gamma ' A \right), \left(2 \right)$ ,
$\left(A\Delta Z B \right)=\left(BEZ A \right), \left(3 \right)$ ,
$\left(A\Delta Z' B \right)=\left(BEZ' A \right), \left(4 \right)$ ,

ή με άλλη διατύπωση:
Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $A\Delta EB$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left(\kappa \right)$ . Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , υπάρχουν σημεία $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία αληθεύουν οι παραπάνω σχέσεις $\left(1 \right)$ μέχρι $\left(4 \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(50 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής $11\left(50 \right)$ .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#142

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
δίνω παρακάτω, για λύση, μία άλλη πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω, Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω λύση, θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή έχει ως εξής:
10ι(190). Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ , με $AE<B\Delta$ . Στην ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι:
$\frac{A\Gamma }{\Gamma B}.\frac{BE}{E\Gamma }.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta A}=1$ . (1).
Σχόλιο.
Την Κατασκευή αυτή έχω καταχωρίσει στην παράγραφο 10ι(190) του τόμου 10 του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

6η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Επέκταση της παραπάνω Κατασκευής $10\iota \left(190 \right)$ . Λύση με την Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(51 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.

Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$11\left(51 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ . Στην ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί τετράδα σημείων $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία να είναι:
$\frac{A\Gamma }{\Gamma B}.\frac{BE}{E\Gamma }.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta A}=1$ ,
$\frac{A\Gamma' }{\Gamma' B}.\frac{BE}{E\Gamma' }.\frac{\Gamma' \Delta }{\Delta A}=1$ ,
$\frac{AZ}{Z\Delta }.\frac{\Delta B}{BZ}.\frac{ZE}{EA}=1$ ,
$\frac{AZ'}{Z'\Delta }.\frac{\Delta B}{BZ'}.\frac{Z'E}{EA}=1$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή μου με τη λύση της, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(51 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#143

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
δίνω παρακάτω, για λύση, μία άλλη πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω, Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω λύση, θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή έχει ως εξής:
10ι(190). Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ , με $AE<B\Delta$ . Στην ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι:
$\frac{A\Gamma }{\Gamma B}.\frac{BE}{E\Gamma }.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta A}=1$ . (1).
Σχόλιο.
Την Κατασκευή αυτή έχω καταχωρίσει στην παράγραφο 10ι(190) του τόμου 10 του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

6η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Επέκταση της παραπάνω Κατασκευής $10\iota \left(190 \right)$ . Λύση με την Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(51 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.

Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$11\left(51 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ . Στην ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί τετράδα σημείων $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία να είναι:
$\frac{A\Gamma }{\Gamma B}.\frac{BE}{E\Gamma }.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta A}=1$ ,
$\frac{A\Gamma' }{\Gamma' B}.\frac{BE}{E\Gamma' }.\frac{\Gamma' \Delta }{\Delta A}=1$ ,
$\frac{AZ}{Z\Delta }.\frac{\Delta B}{BZ}.\frac{ZE}{EA}=1$ ,
$\frac{AZ'}{Z'\Delta }.\frac{\Delta B}{BZ'}.\frac{Z'E}{EA}=1$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή μου με τη λύση της, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(51 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής $11\left(51 \right)$ .

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#144

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
επειδή πολύ συχνά, στην εργασία αυτή, μας χρειάστηκαν, αλλά και θα μας χρειαστούν, ορισμένες βοηθητικές Προτάσεις (Λήμματα), θα τις αναρτήσω κι εδώ, όταν μου δίνεται η ευκαιρία, αν και πολλές από αυτές τις έχω αναρτήσει και άλλοτε στo mathematica.

Επειδή, τα Λήμματα αυτά προέρχονται από το νέο βιβλίο μου που τώρα εδώ κτίζω, με το υλικό που αναρτώ στην εργασία μου αυτή εδώ και όχι μόνο και επειδή από την αιτία αυτή στα Λήμματα αυτά, αναγράφονται και κάποιες παραπομπές και αριθμήσεις, άσχετες με την εδώ εργασία, οι αναγνώστες φίλοι, θα πρέπει να τις παρακάμπτουν.

Πιστεύω ότι , έστω και έτσι, τα Λήμματα αυτά θα λύσουν απορίες και θα ικανοποιούν την ουσία του λόγου που αναρτώνται εδώ και που είναι η βοήθεια των ενδιαφερομένων φίλων, ώστε να μην τους παραπέμπουμε σε βιβλία, τα οποία δεν διαθέτουν όλοι.

Έτσι με την έννοια αυτή, παρακάτω με το συνημμένο μου , δίνω τη βοηθητική Πρόταση $1\alpha \left(17 \right)$ (Λήμμα).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
σύμφωνα με όσα σας έχω υποσχεθεί παραπάνω, με το παρακάτω συνημμένο μου , σας δίνω την βοηθητική Πρόταση (Λήμμα) $2\alpha \left(43 \right)$ .

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#145

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

6η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Επέκταση της παραπάνω Κατασκευής $10\iota \left(190 \right)$ . Λύση με την Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(51 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.

Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$11\left(51 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ . Στην ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί τετράδα σημείων $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία να είναι:
$\frac{A\Gamma }{\Gamma B}.\frac{BE}{E\Gamma }.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta A}=1$ ,
$\frac{A\Gamma' }{\Gamma' B}.\frac{BE}{E\Gamma' }.\frac{\Gamma' \Delta }{\Delta A}=1$ ,
$\frac{AZ}{Z\Delta }.\frac{\Delta B}{BZ}.\frac{ZE}{EA}=1$ ,
$\frac{AZ'}{Z'\Delta }.\frac{\Delta B}{BZ'}.\frac{Z'E}{EA}=1$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή μου με τη λύση της, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(51 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $11\left(51 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου 148

, αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους , να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την επέκταση της παραπάνω Κατασκευής $11\left(51 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#146

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $11\left(51 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου 148

, αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους , να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την επέκταση της παραπάνω Κατασκευής $11\left(51 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(51 \right)$ από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνουμε παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(52 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία σημαντική Κατασκευή.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:

$11\left(52 \right)$ . Δίνεται κύκλος $\left(\kappa \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία του $A, \Delta , E, B$ . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθούν τα σημεία $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία να είναι:
$\frac{A\Gamma }{\Gamma B}.\frac{BE}{E\Gamma }.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta A}=1$ $\left(1 \right)$ , $\frac{A\Gamma' }{\Gamma' B}.\frac{BE}{E\Gamma' }.\frac{\Gamma' \Delta }{\Delta A}=1$ $\left(2 \right)$ ,
$\frac{AZ}{Z\Delta}.\frac{\Delta E}{EZ}.\frac{ZB}{BA}=1$ $\left(3 \right)$ , $\frac{AZ'}{Z'\Delta}.\frac{\Delta E}{EZ'}.\frac{Z'B}{BA}=1$ $\left(4 \right)$ .
ή με άλλη διατύπωση:
Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $A \Delta E B$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left(\kappa \right)$ . Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , υπάρχουν σημεία $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία αληθεύουν οι παραπάνω σχέσεις $\left(1 \right)$ μέχρι $\left(4 \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(52 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#147

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $11\left(51 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους , να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την επέκταση της παραπάνω Κατασκευής $11\left(51 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(51 \right)$ από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνουμε παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(52 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία σημαντική Κατασκευή.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:

$11\left(52 \right)$ . Δίνεται κύκλος $\left(\kappa \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία του $A, \Delta , E, B$ . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθούν τα σημεία $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία να είναι:
$\frac{A\Gamma }{\Gamma B}.\frac{BE}{E\Gamma }.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta A}=1$ $\left(1 \right)$ , $\frac{A\Gamma' }{\Gamma' B}.\frac{BE}{E\Gamma' }.\frac{\Gamma' \Delta }{\Delta A}=1$ $\left(2 \right)$ ,
$\frac{AZ}{Z\Delta}.\frac{\Delta E}{EZ}.\frac{ZB}{BA}=1$ $\left(3 \right)$ , $\frac{AZ'}{Z'\Delta}.\frac{\Delta E}{EZ'}.\frac{Z'B}{BA}=1$ $\left(4 \right)$ .
ή με άλλη διατύπωση:
Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $A \Delta E B$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left(\kappa \right)$ . Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , υπάρχουν σημεία $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία αληθεύουν οι παραπάνω σχέσεις $\left(1 \right)$ μέχρι $\left(4 \right)$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(52 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής $11\left(52 \right)$ .

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#148

Σημαντική αλλά Απλή Επέκταση Γνωστής Πρότασης Αρμονικών Τετράπλευρων και σε Αρμονική Τετράδα Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
είναι πολύ γνωστή και πολύ χρησιμοποιούμενη η παρακάτω Πρόταση που αφορά στα Αρμονικά Τετράπλευρα ή τετράδα ομοκυκλικών αρμονικών σημείων (Γεωμετρία Ν.Κισκύρα § παρατήρηση ).
Μετά από μελέτη διαπίστωσα και απέδειξα ότι η Πρόταση αυτή αληθεύει και σε Αρμονική Τετράδα Συνευθειακών Σημείων.

Η γνωστή αυτή Πρόταση είναι η ακόλουθη:
«Σε κάθε αρμονικό τετράπλευρο, τα δύο γινόμενα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα μεταξύ τους και ίσα με το μισό γινόμενο των διαγώνιών του».

Προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν, να επεκτείνουν την παραπάνω Πρόταση και για τετράδα συνευθειακών αρμονικών σημείων.

Για την επέκταση αυτή να μας δώσουν την διατύπωσή της και την απόδειξή της.
Δική μου σχετική διατύπωση της επέκτασης αυτής όπως και δύο αποδείξεις της, θα αναρτήσω εδώ σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#149

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Σημαντική αλλά Απλή Επέκταση Γνωστής Πρότασης Αρμονικών Τετράπλευρων και σε Αρμονική Τετράδα Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
είναι πολύ γνωστή και πολύ χρησιμοποιούμενη η παρακάτω Πρόταση που αφορά στα Αρμονικά Τετράπλευρα ή τετράδα ομοκυκλικών αρμονικών σημείων (Γεωμετρία Ν.Κισκύρα § παρατήρηση ).
Μετά από μελέτη διαπίστωσα και απέδειξα ότι η Πρόταση αυτή αληθεύει και σε Αρμονική Τετράδα Συνευθειακών Σημείων.

Η γνωστή αυτή Πρόταση είναι η ακόλουθη:
«Σε κάθε αρμονικό τετράπλευρο, τα δύο γινόμενα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα μεταξύ τους και ίσα με το μισό γινόμενο των διαγώνιών του».

Προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν, να επεκτείνουν την παραπάνω Πρόταση και για τετράδα συνευθειακών αρμονικών σημείων.

Για την επέκταση αυτή να μας δώσουν την διατύπωσή της και την απόδειξή της.
Δική μου σχετική διατύπωση της επέκτασης αυτής όπως και δύο αποδείξεις της, θα αναρτήσω εδώ σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Επέκταση Γνωστής Πρότασης Αρμονικών Τετράπλευρων και σε Αρμονική Τετράδα Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνουμε παρακάτω για απόδειξη την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Πρότασης $11\left(53 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία σημαντική επέκταση γνωστής Πρότασης.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δύο δικές μου αποδείξεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:

$11\left(53 \right)$ . Αν η τετράδα των συνευθεικών σημείων $A, B, \Gamma , \Delta$ , είναι αρμονική, τότε θα είναι :
$A\Delta .B\Gamma =A\Gamma .B\Delta =\frac{AB.\Gamma \Delta }{2}$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(53 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#150

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Σημαντική αλλά Απλή Επέκταση Γνωστής Πρότασης Αρμονικών Τετράπλευρων και σε Αρμονική Τετράδα Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
είναι πολύ γνωστή και πολύ χρησιμοποιούμενη η παρακάτω Πρόταση που αφορά στα Αρμονικά Τετράπλευρα ή τετράδα ομοκυκλικών αρμονικών σημείων (Γεωμετρία Ν.Κισκύρα § παρατήρηση ).
Μετά από μελέτη διαπίστωσα και απέδειξα ότι η Πρόταση αυτή αληθεύει και σε Αρμονική Τετράδα Συνευθειακών Σημείων.

Η γνωστή αυτή Πρόταση είναι η ακόλουθη:
«Σε κάθε αρμονικό τετράπλευρο, τα δύο γινόμενα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα μεταξύ τους και ίσα με το μισό γινόμενο των διαγώνιών του».

Προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν, να επεκτείνουν την παραπάνω Πρόταση και για τετράδα συνευθειακών αρμονικών σημείων.

Για την επέκταση αυτή να μας δώσουν την διατύπωσή της και την απόδειξή της.
Δική μου σχετική διατύπωση της επέκτασης αυτής όπως και δύο αποδείξεις της, θα αναρτήσω εδώ σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Επέκταση Γνωστής Πρότασης Αρμονικών Τετράπλευρων και σε Αρμονική Τετράδα Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνουμε παρακάτω για απόδειξη την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Πρότασης $11\left(53 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία σημαντική επέκταση γνωστής Πρότασης.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δύο δικές μου αποδείξεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:

$11\left(53 \right)$ . Αν η τετράδα των συνευθεικών σημείων $A, B, \Gamma , \Delta$ , είναι αρμονική, τότε θα είναι :
$A\Delta .B\Gamma =A\Gamma .B\Delta =\frac{AB.\Gamma \Delta }{2}$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(53 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω τις δύο αποδείξεις μου της παραπάνω Πρότασης $11\left(53 \right)$ .

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#151

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΙΑΣ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ «ΣΟΔΕΙΑ» ΜΟΥ, ΠΟΥ ΕΓΙΝΕ ΤΟ «ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ»

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
το περιεχόμενο της εργασίας (έρευνας) αυτής, που στο πέρασμα του χρόνου προέκυψε, με ανάγκασε να αλλάξω την ονομασία της.
Την ανάγκη αυτή διαπιστώνει όποιος μελετήσει σε βάθος, όλα αυτά που απαρτίζουν την εργασία αυτή.

Συγκεκριμένα, ο μελετητής θα διαπιστώσει και θα νιώσει ότι εδώ έχουν προκύψει για τη Γεωμετρία Νέα, πολύ φρέσκα και πρωτοεμφανιζόμενα πιστεύω στοιχεία, τα οποία είναι δυνατό άνετα να χαρακτηρισθούν, άλλα συναρπαστικά, άλλα θαυμάσια, άλλα περίφημα, άλλα κομψά, άλλα έξοχα, άλλα αλλόκοτα και άλλα καταπληκτικά θα έλεγα, τα οποία ξεσκεπάζουν όλη τη μεγαλοπρέπεια, την αρχοντιά και λαμπρότητά της Γεωμετρίας. Με άλλα λόγια εδώ αποκαλύπτεται όλο το Μεγαλείο της Γεωμετρίας, εξ ου και η νέα ονομασία της εργασίας (μελέτης) αυτής:

«ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#152

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
επειδή πολύ συχνά, στην εργασία αυτή, μας χρειάστηκαν, αλλά και θα μας χρειαστούν, ορισμένες βοηθητικές Προτάσεις (Λήμματα), θα τις αναρτήσω κι εδώ, όταν μου δίνεται η ευκαιρία, αν και πολλές από αυτές τις έχω αναρτήσει και άλλοτε στo mathematica.

Επειδή, τα Λήμματα αυτά προέρχονται από το νέο βιβλίο μου που τώρα εδώ κτίζω, με το υλικό που αναρτώ στην εργασία μου αυτή εδώ και όχι μόνο και επειδή από την αιτία αυτή στα Λήμματα αυτά, αναγράφονται και κάποιες παραπομπές και αριθμήσεις, άσχετες με την εδώ εργασία, οι αναγνώστες φίλοι, θα πρέπει να τις παρακάμπτουν.

Πιστεύω ότι , έστω και έτσι, τα Λήμματα αυτά θα λύσουν απορίες και θα ικανοποιούν την ουσία του λόγου που αναρτώνται εδώ και που είναι η βοήθεια των ενδιαφερομένων φίλων, ώστε να μην τους παραπέμπουμε σε βιβλία, τα οποία δεν διαθέτουν όλοι.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
σύμφωνα με όσα σας έχω υποσχεθεί παραπάνω, με το παρακάτω συνημμένο μου 59, σας δίνω την βοηθητική Πρόταση (Λήμμα ) $2\alpha \left(45 \right)$ .

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#153

7η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»

Εύκολη Γεωμετρική Κατασκευή, με την παραπάνω Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(22 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.

Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε πολύ εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει (Τουλάχιστον εγώ δεν έχω επιτύχει).

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$11\left(22 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ . Στην $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι:
$\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω δική μου κατασκευή, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(22 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#154

ΝΙΚΟΣ έγραψε:7η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»

Εύκολη Γεωμετρική Κατασκευή, με την παραπάνω Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(22 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.

Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε πολύ εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει (Τουλάχιστον εγώ δεν έχω επιτύχει).

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$11\left(22 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ . Στην $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι:
$\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω δική μου κατασκευή, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(22 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής $11\left(22 \right)$ .

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#155

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
επειδή πολύ συχνά, στην εργασία αυτή, μας χρειάστηκαν, αλλά και θα μας χρειαστούν, ορισμένες βοηθητικές Προτάσεις (Λήμματα), θα τις αναρτήσω κι εδώ, όταν μου δίνεται η ευκαιρία, αν και πολλές από αυτές τις έχω αναρτήσει και άλλοτε στo mathematica.

Επειδή, τα Λήμματα αυτά προέρχονται από το νέο βιβλίο μου που τώρα εδώ κτίζω, με το υλικό που αναρτώ στην εργασία μου αυτή εδώ και όχι μόνο και επειδή από την αιτία αυτή στα Λήμματα αυτά, αναγράφονται και κάποιες παραπομπές και αριθμήσεις, άσχετες με την εδώ εργασία, οι αναγνώστες φίλοι, θα πρέπει να τις παρακάμπτουν.

Πιστεύω ότι , έστω και έτσι, τα Λήμματα αυτά θα λύσουν απορίες και θα ικανοποιούν την ουσία του λόγου που αναρτώνται εδώ και που είναι η βοήθεια των ενδιαφερομένων φίλων, ώστε να μην τους παραπέμπουμε σε βιβλία, τα οποία δεν διαθέτουν όλοι.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
σύμφωνα με όσα σας έχω υποσχεθεί παραπάνω, με το παρακάτω συνημμένο μου

, σας δίνω την βοηθητική Πρόταση (Λήμμα

) $2\alpha \left(48 \right)$ .

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#156

η ΠΟΛΥΠΛΟΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Επέκταση της παραπάνω Κατασκευής $11\left(22 \right)$ . Λύση με την Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση πολύπλοκης Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(54 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της Νέας Μεθόδου, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.

Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή λύση, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$11\left(54 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ . Στην ίδια ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί τετράδα σημείων $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία να είναι:
$\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Gamma '^{2}}{\Gamma 'B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ , $\frac{AZ^{2}}{Z\Delta ^{2}}=\frac{AZ'^{2}}{Z'\Delta^{2}}=\frac{AE}{E\Delta }.\frac{AB}{B\Delta }$ , $\frac{\Delta \Gamma ^{2}}{\Gamma E^{2}}=\frac{\Delta \Gamma '^{2}}{\Gamma 'E^{2}}=\frac{\Delta A}{AE}.\frac{\Delta B}{BE}$ , $\frac{EZ^{2}}{ZB^{2}}=\frac{EZ'^{2}}{Z'B^{2}}=\frac{EA}{AB}.\frac{E\Delta }{\Delta B}$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή μου με τη λύση της, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(54 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#157

ΝΙΚΟΣ έγραψε:η ΠΟΛΥΠΛΟΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»
Επέκταση της παραπάνω Κατασκευής $11\left(22 \right)$ . Λύση με την Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση πολύπλοκης Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(54 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της Νέας Μεθόδου, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.

Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή λύση, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$11\left(54 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ . Στην ίδια ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί τετράδα σημείων $\Gamma , \Gamma ', Z, Z'$ , για τα οποία να είναι:
$\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Gamma '^{2}}{\Gamma 'B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ , $\frac{AZ^{2}}{Z\Delta ^{2}}=\frac{AZ'^{2}}{Z'\Delta^{2}}=\frac{AE}{E\Delta }.\frac{AB}{B\Delta }$ , $\frac{\Delta \Gamma ^{2}}{\Gamma E^{2}}=\frac{\Delta \Gamma '^{2}}{\Gamma 'E^{2}}=\frac{\Delta A}{AE}.\frac{\Delta B}{BE}$ , $\frac{EZ^{2}}{ZB^{2}}=\frac{EZ'^{2}}{Z'B^{2}}=\frac{EA}{AB}.\frac{E\Delta }{\Delta B}$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή μου με τη λύση της, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(54 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής $11\left(54 \right)$ .

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#158

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
επειδή πολύ συχνά, στην εργασία αυτή, μας χρειάστηκαν, αλλά και θα μας χρειαστούν, ορισμένες βοηθητικές Προτάσεις (Λήμματα), θα τις αναρτήσω κι εδώ, όταν μου δίνεται η ευκαιρία, αν και πολλές από αυτές τις έχω αναρτήσει και άλλοτε στo mathematica.

Επειδή, τα Λήμματα αυτά προέρχονται από το νέο βιβλίο μου που τώρα εδώ κτίζω, με το υλικό που αναρτώ στην εργασία μου αυτή εδώ και όχι μόνο και επειδή από την αιτία αυτή στα Λήμματα αυτά, αναγράφονται και κάποιες παραπομπές και αριθμήσεις, άσχετες με την εδώ εργασία, οι αναγνώστες φίλοι, θα πρέπει να τις παρακάμπτουν.

Πιστεύω ότι , έστω και έτσι, τα Λήμματα αυτά θα λύσουν απορίες και θα ικανοποιούν την ουσία του λόγου που αναρτώνται εδώ και που είναι η βοήθεια των ενδιαφερομένων φίλων, ώστε να μην τους παραπέμπουμε σε βιβλία, τα οποία δεν διαθέτουν όλοι.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
σύμφωνα με όσα σας έχω υποσχεθεί παραπάνω, με το παρακάτω συνημμένο μου , σας δίνω την βοηθητική Πρόταση (Λήμμα ) $2\alpha \left(53 \right)$ .

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#159

ΝΙΚΟΣ έγραψε:7η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»

Εύκολη Γεωμετρική Κατασκευή, με την παραπάνω Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(22 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.

Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε πολύ εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει (Τουλάχιστον εγώ δεν έχω επιτύχει).

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$11\left(22 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ . Στην $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι:
$\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω δική μου κατασκευή, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(22 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $11\left(22 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής $11\left(22 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#160

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:7η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ»

Εύκολη Γεωμετρική Κατασκευή, με την παραπάνω Νέα Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(22 \right)$ , που αφορά τετράδα συνευθειακών σημείων, προκειμένου η Κατασκευή αυτή να γίνει από τους ενδιαφερόμενους φίλους.

Δική μου λύση, με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας λύσεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της μεθόδου.

Με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, όπως θα διαπιστωθεί, παίρνουμε πολύ εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη, ενώ με άλλο τρόπο είναι αμφίβολο αν μπορεί να γίνει (Τουλάχιστον εγώ δεν έχω επιτύχει).

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
$11\left(22 \right)$ . Δίνεται ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία της $A, \Delta , E, B$ . Στην $\left(\varepsilon \right)$ να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι:
$\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ .

Σχόλιο.
Την παραπάνω δική μου κατασκευή, που έχει γίνει με απλή εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(22 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή $11\left(22 \right)$ , διατύπωση και αποδείξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.

Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής $11\left(22 \right)$ και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής $11\left(22 \right)$ από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής $11\left(24 \right)$ , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για ένα αξιόλογο Πρόβλημα, που αποτελεί επέκταση της Κατασκευής $11\left(22 \right)$ , από Ευθεία και σε Κύκλο.

Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
$11\left(24 \right)$ . Δίνεται κύκλος $\left(\kappa \right)$ και τα διατεταγμένα σημεία του $A, \Delta , E, B$ . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να είναι: $\frac{A\Gamma ^{2}}{\Gamma B^{2}}=\frac{A\Delta }{\Delta B}.\frac{AE}{EB}$ .
ή με άλλη διατύπωση:
Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $A\Delta EB$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left(\kappa \right)$ . Στον ίδιο κύκλο $\left(\kappa \right)$ , να ορισθεί σημείο $\Gamma$ , για το οποίο να αληθεύει η παραπάνω σχέση.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο $11\left(24 \right)$ τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ*.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ*.

Μέλη σε σύνδεση