συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

HoLiC · #281

Άσκηση 87

Δίνεται το ΑΒ με Α $(-\frac{1}{2},0)$ , Β $(\frac{1}{2},0)$ και το μέσον του Κ . Βρείτε το Γεωμετρικό τόπο των Μ ώστε : $\vec{MK}^2-\frac{1}{2}\left|\vec{MA} \right|\left|\vec{MB} \right|(\cos (\vec{MA},\vec{MB})-1)=1$

Σημείωση : Την συγκεκριμένη άσκηση την έχω αναφέρει και σε άλλο thread , απλώς έκρινα σκόπιμο να ενταχθεί και σε αυτή τη συλλογή ασκήσεων

Γιώργος Απόκης · #282

Μένει η

και η

...

ΖΩΗ · #283

HoliC έγραψε:Άσκηση 87
Δίνεται το ΑΒ με Α $(-\frac{1}{2},0)$ , Β $(\frac{1}{2},0)$ και το μέσον του Κ . Βρείτε το Γεωμετρικό τόπο των Μ ώστε : $\vec{MK}^2-\frac{1}{2}\left|\vec{MA} \right|\left|\vec{MB} \right|(\cos (\vec{MA},\vec{MB})-1)=1$

Αφού $\displaystyle{K}$ είναι το μέσο του $\displaystyle{AB}$ είναι $\displaystyle{\vec{MK} =\frac{1}{2}\left(\vec{MA}+\vec{MB} \right)}$ οπότε η δοσμένη σχέση γίνεται:

$\displaystyle{\frac{1}{4}\vec{MA}^2+\frac{1}{2}\vec{MA}\cdot \vec{MB}+\frac{1}{4}\vec{MB}^2-\frac{1}{2}\vec{MA}\cdot \vec{MB}+\frac{1}{2} \left|\vec{MA} \right| \left| \vec{MB} \right|=1 \iff \vec{MA}^2+\vec{MB}^2 +2 \left|\vec{MA} \right| \left| \vec{MB} \right|=4 \iff}$

$\displaystyle{\left( \left|\vec{MA} \right|+ \left| \vec{MB} \right|\right)^2 =4 \iff \left|\vec{MA} \right|+ \left| \vec{MB} \right|=2 }$ , οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{M}$ του επιπέδου είναι η έλλειψη με εστίες $\displaystyle{A,\,B}$ δηλαδή η έλλειψη με εξίσωση $\displaystyle{x^2+\frac{y^2}{\frac{3}{4}}=1}$ - αφού είναι $\displaystyle{2a =2 \implies a=1,\, 2 \gamma = d(A,B) = 1\implies \gamma =\frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{b^2 = a^2 - \gamma ^2 = \frac{3}{4}}$ .

Γιώργος Απόκης · #284

Υπενθυμίζω ότι μένει η

. Όποιος έχει κάποια άσκηση να προτείνει, ας το κάνει...

Χρήστος Λαζαρίδης · #285

Γιώργος Απόκης έγραψε:Άσκηση 86

(Σύντομη εκφώνηση αλλά με αρκετή διερεύνηση)

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού να βρεθεί τι παριστάνει στο επίπεδο η εξίσωση : .

$\displaystyle{k=1}$ Παριστάνει δύο ευθείες, με εξισώσεις, $\displaystyle{y=\pm \sqrt{2}}$

$\displaystyle{k=0}$ Παριστάνει δύο ευθείες, με εξισώσεις, $\displaystyle{x=\pm 1}$

$\displaystyle{k=-1}$ Παριστάνει δύο ευθείες, με εξισώσεις, $\displaystyle{y=\pm x\sqrt{2}}$

$\displaystyle{k<-1 \acute{\eta }-1<k<0\acute{\eta }k>1}$ Παριστάνει υπερβολή.

$\displaystyle{0<k<1}$ Παριστάνει έλλειψη

Φιλικά Χρήστος
*Ένα πινακάκι για τα πρόσημα των $\displaystyle{\frac{k+1}{1-k},\frac{k+1}{k}}$ διευκολύνει την κατανόηση.
* Ευχαριστώ τον Γιώργο για τις διορθώσεις.

KARKAR · #286

Άσκηση 88

Δίνεται ο κύκλος $x^2+y^2= \rho^2$ , τα σημεία του $A(\rho , 0)$ και $A'(-\rho , 0)$ . Σημείο

κινείται επί του κύκλου

και έστω

το συμμετρικό του ως προς τον

άξονα . Οι ευθείες A'S

και

τέμνονται στο

.

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του

.

Γιώργος Απόκης · #287

KARKAR έγραψε:Άσκηση 88
Δίνεται ο κύκλος $x^2+y^2= \rho^2$ , τα σημεία του $A(\rho , 0)$ και $A'(-\rho , 0)$ . Σημείο κινείται επί του κύκλου
και έστω το συμμετρικό του ως προς τον άξονα . Οι ευθείες και τέμνονται στο .
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του .

Έστω ότι το S(x_1,y_1)

δε συμπίπτει με το

. Τότε ορίζεται ο $\displaystyle{\lambda_{A'S}=\frac{y_1}{x_1+\rho}}$ και η ευθεία A'S

έχει εξίσωση : $\displaystyle{y=\frac{y_1}{x_1+\rho}(x+\rho)}$ .

Ομοίως, αν το S(x_1,y_1)

δε συμπίπτει με το

, τότε και το S'(x_1,-y_1)

δε συμπίπτει με το

άρα η ευθεία AS'

έχει εξίσωση : $\displaystyle{y=\frac{y_1}{-x_1+\rho}(x-\rho)}$ .

Λύνοντας το σύστημα, προκύπτει για το $\displaystyle{P\left(\frac{\rho^2}{x_1},\frac{\rho y_1}{x_1}\right)}$ (Iσχύει $x_1\ne 0$ γιατί αν x_1=0

οι

είναι παράλληλες).

Αν P(x,y)

έχουμε : $\displaystyle{\begin{cases}x=\frac{\rho^2}{x_1} \\y=\frac{\rho y_1}{x_1} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_1=\frac{\rho^2}{x} \\y=\frac{\rho x y_1}{\rho^2} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_1=\frac{\rho^2}{x} \\y_1=\frac{\rho y}{x} \end{cases},x\ne 0}$ .

Iσχύει : $\displaystyle{x_1^2+y_1^2=\rho^2}$ άρα με αντικατάσταση έχουμε : $\displaystyle{\left(\frac{\rho^2}{x}\right)^2+\left(\frac{\rho y}{x}\right)^2=\rho^2\Leftrightarrow \frac{\rho^2}{x^2}+\frac{y^2}{x^2}=1\Leftrightarrow \rho^2+y^2=x^2\Leftrightarrow x^2-y^2=\rho^2}$

δηλαδή ισοσκελής υπερβολή με κορυφές τα σημεία A,A'

(τα οποία επαληθεύουν την εξίσωσή της)

ΖΩΗ · #288

Άσκηση 89

Δίνονται τα σημεία του επιπέδου $\displaystyle{A(-1,y), \, B(2x,y),\,M(x,y)}$ με $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ .

1. Αν $\displaystyle{\overrightarrow {OA} \perp \overrightarrow {OB}}$ να δειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{M(x,y)}$ ανήκουν στην παραβολή με εξίσωση $\displaystyle{y^2 = 2x}$ της οποίας να βρεθούν η εστία και η διευθετούσα.

2. Αν $\displaystyle{3\overrightarrow {OA}^2 +\overrightarrow {OB}^2 = 15}$ , να δειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{M(x,y)}$ ανήκουν στον κύκλο με εξίσωση $\displaystyle{x^2+y^2 = 3}$ του οποίου να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα.

3. Αν $\displaystyle{2 \overrightarrow {OA}^2 +\overrightarrow {OB}^2 = 14}$ , να δειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{M(x,y)}$ ανήκουν στην έλλειψη με εξίσωση $\displaystyle{4x^2+3y^2=12}$ της οποίας να βρεθούν η εκκεντρότητα και ο μεγάλος άξονας.

4. Αν $\displaystyle{3\overrightarrow {OA}^2 -\overrightarrow {OB}^2 = 15}$ , να δειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{M(x,y)}$ ανήκουν στην υπερβολή με εξίσωση $\displaystyle{y^2-2x^2 = 6}$ της οποίας να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι ασύμπτωτες.

Γιώργος Απόκης · #289

ΖΩΗ έγραψε:Άσκηση 89
Δίνονται τα σημεία του επιπέδου $\displaystyle{A(-1,y), \, B(2x,y),\,M(x,y)}$ με $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ .
1. Αν $\displaystyle{\overrightarrow {OA} \perp \overrightarrow {OB}}$ να δειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{M(x,y)}$ ανήκουν στην παραβολή με εξίσωση $\displaystyle{y^2 = 2x}$ της οποίας να βρεθούν η εστία και η διευθετούσα.
2. Αν $\displaystyle{3\overrightarrow {OA}^2 +\overrightarrow {OB}^2 = 15}$ , να δειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{M(x,y)}$ ανήκουν στον κύκλο με εξίσωση $\displaystyle{x^2+y^2 = 3}$ του οποίου να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα.
3. Αν $\displaystyle{2 \overrightarrow {OA}^2 +\overrightarrow {OB}^2 = 14}$ , να δειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{M(x,y)}$ ανήκουν στην έλλειψη με εξίσωση $\displaystyle{4x^2+3y^2=12}$ της οποίας να βρεθούν η εκκεντρότητα και ο μεγάλος άξονας.
4. Αν $\displaystyle{3\overrightarrow {OA}^2 -\overrightarrow {OB}^2 = 15}$ , να δειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{M(x,y)}$ ανήκουν στην υπερβολή με εξίσωση $\displaystyle{y^2-2x^2 = 6}$ της οποίας να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι ασύμπτωτες.

Για τα διανύσματα έχουμε : $\displaystyle{\overrightarrow{OA}=(-1,y), \,\overrightarrow{OB}=(2x,y)}$ .

1. $\displaystyle{\overrightarrow {OA} \perp \overrightarrow {OB}\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB}=0\Leftrightarrow -2x+y^2=0\Leftrightarrow y^2=2x}$ . Παραβολή με $\displaystyle{p=1,~E\left(\frac{1}{2},0\right),~(\delta):x=-\frac{1}{2}}$ .

2. $\displaystyle{3\overrightarrow {OA}^2 +\overrightarrow {OB}^2 = 15\Leftrightarrow 3(1+y^2)+(4x^2+y^2)=15\Leftrightarrow 4x^2+4y^2=12\Leftrightarrow x^2+y^2=3}$ . Κύκλος με $K(0,0),~r=\sqrt{3}$ ,

3. $\displaystyle{2 \overrightarrow {OA}^2 +\overrightarrow {OB}^2 = 14\Leftrightarrow 2(1+y^2)+(4x^2+y^2)=14\Leftrightarrow 4x^2+3y^2=12\Leftrightarrow \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1}$ . Έλλειψη με $a=2,~\beta=\sqrt{3},~\gamma=\sqrt{4-3}=1$ ,

μεγάλο άξονα (επί του y'y

) ίσο με

και εκκεντρότητα ίση με $\displaystyle{\epsilon=\frac{\gamma}{a}=\frac{1}{2}}$ .

4. $\displaystyle{3\overrightarrow {OA}^2 -\overrightarrow {OB}^2 = 15\Leftrightarrow 3(1+y^2)-(4x^2+y^2)=15\Leftrightarrow -4x^2+2y^2=12\Leftrightarrow \frac{y^2}{6}-\frac{x^2}{3}=1}$ . Yπερβολή με $a=\sqrt{6},~\beta=\sqrt{3},~\gamma=\sqrt{6+3}=3$ ,

εκκεντρότητα ίση με $\displaystyle{\epsilon=\frac{\gamma}{a}=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}}$ και ασύμπτωτες τις ευθείες : $\displaystyle{y=\pm\frac{a}{b}x~\acute{\eta}~y=\pm \sqrt{2}x}$ .

Γιώργος Απόκης · #290

Άσκηση 90

Δίνεται η έλλειψη C_1:9x^2+25y^2=225

και η υπερβολή C_2:x^2-7y^2=14

. Nα δείξετε ότι :

α) Οι C_1,C_2

έχουν τις ίδιες εστίες.

β) Οι C_1,C_2

τέμνονται σε τέσσερα σημεία, που αποτελούν κορυφές ορθογωνίου.

γ) Οι εφαπτόμενες των C_1,C_2

στα κοινά τους σημεία είναι κάθετες.

Γιώργος Απόκης · #291

Noμίζω ότι οι 90 ασκήσεις είναι αρκετές, ας λυθεί και η τελευταία και "κλείνουμε" τη συλλογή.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #292

Γιώργος Απόκης έγραψε:Άσκηση 90

Δίνεται η έλλειψη και η υπερβολή . Nα δείξετε ότι :

α) Οι έχουν τις ίδιες εστίες.

β) Οι τέμνονται σε τέσσερα σημεία, που αποτελούν κορυφές ορθογωνίου.

γ) Οι εφαπτόμενες των στα κοινά τους σημεία είναι κάθετες.

ΛΥΣΗ

α. Για την $\displaystyle{{C_1}}$ έχουμε $\displaystyle{9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow \frac{{9{x^2}}}{{225}} + \frac{{25{y^2}}}{{225}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1}$ , $\displaystyle{(1)}$

Η $\displaystyle{(1)}$ παριστάνει έλειψη με $\displaystyle{\alpha = 5,\beta = 3,\gamma = 4}$ , εστίες $\displaystyle{{\rm E}( - 4,0)}$ και $\displaystyle{{\rm E}(4,0)}$ .

Για την $\displaystyle{{C_2}}$ έχουμε $\displaystyle{{x^2} - 7{y^2} = 14 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1}$ ,

$\displaystyle{(2)}$ . Η $\displaystyle{(2)}$ παριστάνει υπερβολή με $\displaystyle{\alpha = \sqrt {14} ,\beta = \sqrt 2 ,\gamma = \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} = 4}$ , άρα η υπερβολή έχει εστίες τις $\displaystyle{{\rm E}( - 4,0)}$ και $\displaystyle{{\rm E}(4,0)}$ .

Συνεπώς οι $\displaystyle{{C_1}}$ και $\displaystyle{{C_2}}$ έχουν τις ίδιες εστίες.

β. Λύνουμε το σύστημα των $\displaystyle{{C_1}}$ και $\displaystyle{{C_2}}$

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\ \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1 \displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = \frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2}\\ \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1 \displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{{y^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{9} = \frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{x^2}}}{{25}}\\ \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1 \displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{11{y^2}}}{{18}} = \frac{{11{x^2}}}{{350}}\\ \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1 \displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle18{x^2} = 350{y^2}\\ \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1 \displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle18{x^2} = 350{y^2}\\ \displaystyle\frac{{\frac{{350{y^2}}}{{18}}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1 \displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle18{x^2} = 350{y^2}\\ \displaystyle\frac{{25{y^2}}}{{18}} - \frac{{9{y^2}}}{{18}} = 1 \displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle18{x^2} = 350{y^2}\\ \displaystyle\frac{{16{y^2}}}{{18}} = 1 \displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle18{x^2} = 350{y^2}\\ \displaystyle16{y^2} = 18 \displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle18{x^2} = 350{y^2}\\ \displaystyle{y^2} = \frac{{18}}{{16}} \displaystyle\end{array} \right.}$

Επομένως τα σημεία τομής είναι τα
$\displaystyle\displaystyle{K(\frac{5\sqrt{14}}{4},\frac{3\sqrt{2}}{4})}$ , $\displaystyle\displaystyle{\Lambda (-\frac{5\sqrt{14}}{4},\frac{3\sqrt{2}}{4})}$ ,

$\displaystyle\displaystyle{\text{M}(-\frac{5\sqrt{14}}{4},-\frac{3\sqrt{2}}{4})}$ , $\displaystyle\displaystyle{\text{N}(\frac{5\sqrt{14}}{4},-\frac{3\sqrt{2}}{4})}$ .

Επειδή $\displaystyle{{\rm K}\Lambda //{\rm M}{\rm N}//xx}$ και $\displaystyle{\Lambda {\rm N}//{\rm K}{\rm N}//yy}$ , έχουμε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}}$ είναι ορθογώνιο.

γ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της $\displaystyle{{C_1}}$ στο $\displaystyle{K(\frac{5\sqrt{14}}{4},\frac{3\sqrt{2}}{4})}$
είναι η $\displaystyle{{\varepsilon _1}}$ , $\displaystyle{9\frac{5\sqrt{14}}{4}x+25\frac{3\sqrt{2}}{4}y=225}$

Η εξίσωση της εφαπτομένης της $\displaystyle{{C_2}}$ στο $\displaystyle{K(\frac{5\sqrt{14}}{4},\frac{3\sqrt{2}}{4})}$ είναι η
$\displaystyle{{\varepsilon _2}}$ , $\displaystyle{\frac{5\sqrt{14}}{4}x-7\frac{3\sqrt{2}}{4}y=14}$ .

Εχουμε $\displaystyle{{{\lambda }_{{{\varepsilon }_{1}}}}=-\frac{9\frac{5\sqrt{14}}{4}}{25\frac{3\sqrt{2}}{4}}=-\frac{3\sqrt{14}}{5\sqrt{2}}=-\frac{3\sqrt{7}}{5}}$
και $\displaystyle{{\lambda _{{\varepsilon _2}}} = - \frac{{\frac{{5\sqrt {14} }}{4}}}{{ - 7\frac{{3\sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{5\sqrt {14} }}{{21\sqrt 2 }} = \frac{{5\sqrt 7 }}{{21}}}$

Οπότε $\displaystyle{{\lambda _{{\varepsilon _1}}} \cdot {\lambda _{{\varepsilon _2}}} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{5} \cdot \frac{{5\sqrt 7 }}{{21}} = - 1}$ , άρα οι εφαπτομένες των $\displaystyle{{C_1}}$ και $\displaystyle{{{C}_{2}}}$ στο $\displaystyle{K(\frac{5\sqrt{14}}{4},\frac{3\sqrt{2}}{4})}$ τέμνονται κάθετα. Ομοια για τα άλλα σημεία.

bilstef · #293

Στο http://www.mediafire.com/?4q8kebg0331k81k
μια προσπάθεια μορφοποίησης όλων των ασκήσεων

parmenides51 · #294

Ευχαριστούμε για την απόπειρα.
Κάποια στιγμή θα ανεβάσω κι άλλες λύσεις και θα προσπαθήσω να βελτιώσω το φυλλάδιο μιας και είναι η αδυναμία μου το μάθημα αυτό.
Σαν μια προσπάθεια κριτικής της παρούσας συλλογής υπήρχε αρκετή συμμετοχή στα κεφάλαια διανύσματα - ευθεία - κύκλος,
αλλά στις υπόλοιπες κωνικές τομές μετά βιας πρότεινε κάποιος άσκηση, ίσως να μην δίνουμε την πρέπουσα σημασία σε αυτές.
Όπως και να έχει, σ' ευχαριστώ (αυτό το κατέβασα

)

Χάρης Γ.Λ. · #295

Καλησπέρα

parmenides51 · #296

Christos75 · #297

Εξαιρετική προσφορά, ευχαριστούμε!

συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μέλη σε σύνδεση