Ολοκλήρωμα συνέλιξης

MANOLISMATHS · #1

Σε ένα πρόβλημα μου εμφανίζεται το εξής:
Ξέρουμε ότι έχουμε μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί τυπική κανονική κατανομή και μια ανεξάρτητη αυτής που ακολουθεί Rayleigh με απόκλιση 1 θέλω να βρω την κατανομή του αθροίσματος και ανάγομαι αναγκαστικά στον υπολογισμό του ολοκληρώματος της συνέλιξης και θα ήθελα να μάθω πως υπολογίζεται

$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}xe^{-x^2/2}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(k-x)^2/2}\mathrm{dx}$
Πάλεψα την κλασσική μέθοδο των πολλαπλών μεταβλητών όπως υπολογίζεται το $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm{dx}$ αλλά εμφανίζονται και άλλα άσχημα πραγματάκια μέσα

#2

Το ολοκλήρωμα γράφεται σαν $\displaystyle{ \int_0^{\infty} Cxe^{-(ax+b)^2} \, dx.}$ Κάνε τώρα την αλλαγή μεταβλητής y=ax+b

. (Για την τελική απάντηση θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσεις την συνάρτηση erf.)

#3

Τελικό αποτέλεσμα:

$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}x\,e^{-x^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-(k-x)^2/2}\,dx=\frac{\sqrt{2}\,e^{-{k^2}/{4}}}{8}\,\Bigl({\frac{2\,e^{-{k^2}/{4}}}{\sqrt{\pi}}+k\,{\rm {erf}}\bigl({\tfrac{k}{2}}\bigr)+k}\Bigr)$

Ολοκλήρωμα συνέλιξης

Ολοκλήρωμα συνέλιξης

Re: Ολοκλήρωμα συνέλιξης

Re: Ολοκλήρωμα συνέλιξης

Μέλη σε σύνδεση