Εξάσκηση!

#1

Η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ είναι τέτοια ώστε 4f(f(x)) = 2f(x) + x ,

για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
Να δείξετε ότι $\displaystyle{ f(x) = 0 \iff x=0.}$

kostas136 · #2

Ας δείξουμε πρώτα ότι η συνάρτηση είναι "1-1".
Έστω $x_1, x_2 \in R$ ώστε
$\displaystyle f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow 4f(f(x_1))=4f(f(x_2)) \Rightarrow 2f(x_1)+x_1=2f(x_2)+x_2 \Rightarrow x_1=x_2$

Θέτοντας x=0

στην συναρτησιακή προκύπτει: $\displaystyle 2f(f(0))=f(0) (*)$

Και θέτοντας x=f(0)

προκύπτει: $\displaystyle 4f(f(f(0)))=2f(f(0))+f(0) \Rightarrow f(f(f(0)))=f(f(0)) \Rightarrow f(f(0))=f(0)$

Χρησιμοποιώντας το τελευταίο συμπέρασμα στην (*) προκύπτει $\displaystyle f(0)=0$

Άρα το μηδέν είναι σημείο μηδενισμού της $\displaystyle f(x)=0$ και λόγω της "1-1" είναι μοναδικό.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=235981

Εξάσκηση!

Εξάσκηση!

Re: Εξάσκηση!

Re: Εξάσκηση!

Μέλη σε σύνδεση