Κανένας

Pla.pa.s · #1

(Ελπίζω να είναι κατάλληλος φάκελος.)

Να βρείτε πόσοι πρώτοι υπάρχουν μεταξύ του 1000!+2

και του

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Pla.pa.s έγραψε:(Ελπίζω να είναι κατάλληλος φάκελος.)

Να βρείτε πόσοι πρώτοι υπάρχουν μεταξύ του και του .

Κανένας, αφού κάθε αριθμός της μορφής 1000!+k

με $2\leq k\leq 1000$ γράφεται ως $k\cdot d_k$ με

$d_k=1+\dfrac{1000!}{k}$ ακέραιο

.

Σχόλιο: Το πρόβλημα είναι πλέον πολύ γνωστό: Να δειχθεί ότι για κάθε n>1

υπάρχουν

διαδοχικοί σύνθετοι φυσικοί αριθμοί.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Pla.pa.s · #3

Ομολογουμένως αφοπλιστικά σύντομη και γρήγορη απάντηση!
Είχα στο νου μου μία εντελώς διαφορετική και πολύ μακροσκελής αντιμετώπιση, που δικαιολογεί γιατί έβαλα την άσκηση εδώ.
Ευχαριστώ πολύ πάντως για την ενασχόληση!

#4

Pla.pa.s έγραψε:(Ελπίζω να είναι κατάλληλος φάκελος.)

....

Πόσο μεγάλο μπορεί να είναι ένα διάστημα φυσικών αριθμών που περιέχει μόνο σύνθετους αριθμούς (και τι μορφή έχει);

Όπως αναφέρει και ο Αχιλλέας παραπάνω, είναι γνωστό ότι υπάρχουν όσο μεγάλα διαστήματα θέλουμε, στα οποία δεν υπάρχει κανένας πρώτος.

π.χ. αν $\displaystyle{n>1}$ είναι φυσικός αριθμός, οι $\displaystyle{n}$ σε πλήθος διαδοχικοί ακέραιοι

$\displaystyle{(n+1)!+2,~(n+1)!+3,...,(n+1)!+n+1}$

είναι σύνθετοι, αφού διαιρούνται με $\displaystyle{2,3,...,n+1,}$ αντίστοιχα

#5

Ας δούμε και κάτι πιο δύσκολο (ίσως όχι για αυτόν τον φάκελο). Να δείξετε ότι υπάρχουν 1000

διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί όλοι μικρότεροι του 1000!

.

Pla.pa.s · #6

Demetres έγραψε:Ας δούμε και κάτι πιο δύσκολο (ίσως όχι για αυτόν τον φάκελο). Να δείξετε ότι υπάρχουν διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί όλοι μικρότεροι του .

Γενικά ο $p_1p_2... p_{\bar n}+k$ (όπου με $p_{\bar n}$ συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο πρώτο, μικρότερο ή ίσο του

) είναι σύνθετος για κάθε $k \in [2, n]$ , αφού θα περιέχει κάποιον από τους προηγούμενους πρώτους.
Προφανώς $p_1p_2...p_{\bar n} <p_{\bar n}!<n!$ και για n=1001

, βλέπουμε ότι $p_{\bar n}<999$ κι άρα $p_1p_2...p_{\bar n}<999!<1000!-1001$ .
Ωστόσο το $p_1p_2...p_{\bar n}$ αν και σαφώς πιο σύντομο από το

, δεν είναι πάντα ο αριθμός που εμφανίζεται η πρώτη διαδοχική

-άδα σύνθετων. Π.χ. η πρώτη πεντάδα είναι στο [24,28]

, ενώ το παραπάνω γινόμενο δίνει την πεντάδα [32,36]

.
Ανοιχτό ερώτημα: Υπάρχει τύπος που να δίνει την πρώτη διαδοχική

-άδα σύνθετων;

#7

Demetres έγραψε:Ας δούμε και κάτι πιο δύσκολο (ίσως όχι για αυτόν τον φάκελο). Να δείξετε ότι υπάρχουν διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί όλοι μικρότεροι του .

Οι $1000!-2, \, 1000! - 3, \, ... , \, 1000!-1000$ είναι 999

διαδοχικοί σύνθετοι. Εξετάζουμε και τον 1000! - 1001

ο οποίος (τι τύχη!) είναι σύνθετος ως πολλαπλάσιο του

(και του

και του

) καθώς ο

διαιρεί και τους δύο εκ των $1000!, \, 1001$ .

Βρήκαμε λοιπόν 1000

διαδοχικούς σύνθετους, όπως ζητά το ερώτημα. Το ενδιαφέρον είναι ότι μπορούμε να βρούμε και λίγους ακόμη (συνολικά 1007

).

Πράγματι, αφού οι

$1002 = 2 \cdot 501, \, 1003=17\cdot 59, \, 1004 = 2 \cdot 502, \, 1005 = 5 \cdot 201,$

$1006 = 2 \cdot 503, \, 1007 = 19 \cdot 53, \, 1008 = 2 \cdot 504$

είναι σύνθετοι, οι 1007

διαδοχικοί αριθμοί $1000! - 2, ... , \, 1000!-1008$ είναι όλοι σύνθετοι (απλό).

Η διαδικασία αυτή σταματά στον 1000! -1009

γιατί τυχαίνει και ο 1009

να είναι πρώτος. Τι ατυχία!

Φυσικό ερώτημα είναι αν οι $1000!-1, \, 1000!-1009$ είναι σύνθετοι ή όχι. Δεν ξέρω την απάντηση.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ. Υποθέτω ότι αυτό που πραγματικά ήθελε να ρωτήσει ο Δημήτρης είναι να αποδειχθεί ότι για κάθε (μεγάλο;)

υπάρχουν

διαδοχικοί σύνθετοι μικρότεροι του

. Δεν ξέρω την απάντηση. Σίγουρα η παραπάνω διαδικασία δεν γενικεύεται. Π.χ. οι

αριθμοί $10!-2, ... , \, 10! -10$ σύνθετοι, όμως ο 10!-11=3628789

είναι (τι ατυχία) πρώτος. Τυχαίνει ο $10!-1= 29\cdot 125131$ να είναι σύνθετος, οπότε για n=10

σωθήκαμε. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με τον n=12

καθώς οι $12!-1= 479001599, \, 12!-13 =479001587$ να είναι πρώτοι! Τάδε έφη το κομπουτεράκι μου που με βοήθησε να κάνω τις παραγοντοποιήσεις.

#8

Pla.pa.s έγραψε:
Demetres έγραψε:Ας δούμε και κάτι πιο δύσκολο (ίσως όχι για αυτόν τον φάκελο). Να δείξετε ότι υπάρχουν διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί όλοι μικρότεροι του .
Γενικά ο $p_1p_2... p_{\bar n}+k$ (όπου με $p_{\bar n}$ συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο πρώτο, μικρότερο ή ίσο του ) είναι σύνθετος για κάθε $k \in [2, n]$ , αφού θα περιέχει κάποιον από τους προηγούμενους πρώτους.
Προφανώς $p_1p_2...p_{\bar n} <p_{\bar n}!<n!$ και για , βλέπουμε ότι $p_{\bar n}<999$ κι άρα $p_1p_2...p_{\bar n}<999!<1000!-1001$ .
Ωστόσο το $p_1p_2...p_{\bar n}$ αν και σαφώς πιο σύντομο από το , δεν είναι πάντα ο αριθμός που εμφανίζεται η πρώτη διαδοχική -άδα σύνθετων. Π.χ. η πρώτη πεντάδα είναι στο , ενώ το παραπάνω γινόμενο δίνει την πεντάδα .
Ανοιχτό ερώτημα: Υπάρχει τύπος που να δίνει την πρώτη διαδοχική -άδα σύνθετων;

Pla.pa.s πολλά δεν καταλαβαίνω από τον συλλογισμό σου. Μπορεί να κάνω λάθος λόγω ώρας, αλλά:

Πρώτα από όλα υποθέτω ότι εκεί που γράφεις $\bar n$ εννοείς σκέτο

. Αλλά τότε ο p_n

μπορεί να είναι αρκετά μικρότερος του

. Π.χ. για n=10

έχουμε μόνο τέσσερις πρώτους, οπότε ο αριθμός $p_1p_2p_3p_4= 2\cdot 3 \cdot 5\cdot 7$ που εξετάζεις , σου δίνει μόνο τέσσερις σύνθετους, τους $2\cdot 3 \cdot 5\cdot 7-2, ..., \, 2\cdot 3 \cdot 5\cdot 7-7$ . Άσε που είναι λίγοι, δεν είναι ούτε διαδοχικοί.

Μ.

Pla.pa.s · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Pla.pa.s έγραψε:
Demetres έγραψε:Ας δούμε και κάτι πιο δύσκολο (ίσως όχι για αυτόν τον φάκελο). Να δείξετε ότι υπάρχουν διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί όλοι μικρότεροι του .
Γενικά ο $p_1p_2... p_{\bar n}+k$ (όπου με $p_{\bar n}$ συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο πρώτο, μικρότερο ή ίσο του ) είναι σύνθετος για κάθε $k \in [2, n]$ , αφού θα περιέχει κάποιον από τους προηγούμενους πρώτους.
Προφανώς $p_1p_2...p_{\bar n} <p_{\bar n}!<n!$ και για , βλέπουμε ότι $p_{\bar n}<999$ κι άρα $p_1p_2...p_{\bar n}<999!<1000!-1001$ .
Ωστόσο το $p_1p_2...p_{\bar n}$ αν και σαφώς πιο σύντομο από το , δεν είναι πάντα ο αριθμός που εμφανίζεται η πρώτη διαδοχική -άδα σύνθετων. Π.χ. η πρώτη πεντάδα είναι στο , ενώ το παραπάνω γινόμενο δίνει την πεντάδα .
Ανοιχτό ερώτημα: Υπάρχει τύπος που να δίνει την πρώτη διαδοχική -άδα σύνθετων;
Pla.pa.s πολλά δεν καταλαβαίνω από τον συλλογισμό σου. Μπορεί να κάνω λάθος λόγω ώρας, αλλά:

Πρώτα από όλα υποθέτω ότι εκεί που γράφεις $\bar n$ εννοείς σκέτο . Αλλά τότε ο μπορεί να είναι αρκετά μικρότερος του . Π.χ. για έχουμε μόνο τέσσερις πρώτους, οπότε ο αριθμός $p_1p_2p_3p_4= 2\cdot 3 \cdot 5\cdot 7$ που εξετάζεις , σου δίνει μόνο τέσσερις σύνθετους, τους $2\cdot 3 \cdot 5\cdot 7-2, ..., \, 2\cdot 3 \cdot 5\cdot 7-7$ . Άσε που είναι λίγοι, δεν είναι ούτε διαδοχικοί.

Μ.

Χμ, κι εγώ λόγω ώρας τα τσαπατσούλεψα λιγάκι, οπότε θα τα βάλω λίγο πιο αναλυτικά εδώ και αν χάνω κάπου βλέπουμε.

Πρώτα από όλα συμβολίζω το μεγαλύτερο πρώτο πριν το

(με αυθαίρετο κι ίσως άστοχο συμβολισμό) ως $p_{\bar n}$ κι όχι ως p_n

καθώς αν θεωρήσουμε την ακολουθία των πρώτων αριθμών θα έχουμε p_4=7

(με

), ενώ $p_{\bar 4}=3$ .

Κατόπιν, αν $k \in [2, n]$ θα έχουμε ότι ο

αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, ένας εκ των οποίων θα είναι αναγκαστικά κάποιος από τους $p_1, p_2, ..., p_{\bar n}$ . Συνεπώς οι αθροιστέοι $p_1p_2...p_{\bar n}$ και

έχουν κάποιο κοινό παράγοντα και το άθροισμα τους είναι σύνθετος αριθμός.
Όσον αφορά το 10, οι 2*3*5*7+2,...,2*3*5*7+10

είναι πράγματι σύνθετοι όπως το ίδιο ισχύει και για τους 2*3*5*7-10,...,2*3*5*7-2

.
(Το

εξασφαλίζει

σύνθετους αριθμούς (με βεβαιότητα).)

Τέλος, βλέποντας ότι οι 999,1000,1001

είναι σύνθετοι καταλήγουμε στη σχέση $p_1p_2...p_{\bar n}<1000!-1001$ θέλοντας να δείξουμε ότι οι 1000 αριθμοί
$p_1p_2...p_{\bar n}+2,...,p_1p_2...p_{\bar n}+1001$ είναι όλοι μικρότεροι του 1000!

.
Βέβαια, αυτή ήταν μια μάλλον περιττή διαδικασία δεδομένου ότι $p_1p_2...p_{\bar n}-1001,...,p_1p_1...p_{\bar n}-2$ δουλεύουν εξίσου καλά, όπως τελικά δουλεύει και το [2*3*5-6,2*3*5-2]

.

(Γενικά αν θέλουμε να βρούμε μια $\nu$ -άδα σύνθετων αριθμών, με την παραπάνω μέθοδο τουλάχιστον, θα πρέπει να θέσουμε $n=\nu+1$ .)

Πάντως η πρώτη

-άδα δεν εμφανίζεται πάντα πριν το

, π.χ.

. Τι γίνεται για μεγαλύτερα

;
Αυτό που θέλουμε εν τέλει να δείξουμε είναι ότι $p_1p_2...p_{\bar {n+1}}<n!$ , n>4

ώστε μετά να έχουμε μια

-άδα σύνθετων αριθμών από το $p_1p_2...p_{\bar {n+1}}-(n+1)$ ως το $p_1p_2...p_{\bar {n+1}}-2$ .
Έχω μια απόδειξη με επαγωγή, αλλά θα περιμένω λίγο καιρό μήπως έχει κάποιος μία πιο κομψή και σύντομη απόδειξη και θέλει να την μοιραστεί.
Πάντως αν δεν έχω κάνει κάπου λάθος, πράγματι υπάρχουν

διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί πριν από το

για κάθε

.

(EDIT: Έκανα πριν μια λάθος επεξεργασία... Συγγνώμη)

Κανένας

Κανένας

Re: Κανένας

Re: Κανένας

Re: Κανένας

Re: Κανένας

Re: Κανένας

Re: Κανένας

Re: Κανένας

Re: Κανένας

Μέλη σε σύνδεση