Πυκνό σύνολο κατασκευασμένο από πρώτους αριθμούς.

#1

Να αποδειχθεί ότι το σύνολο $\displaystyle{A = \left\{ {\frac{p}{q}\;/\;p,q:\pi \rho \omega \tau o\iota \;\alpha \rho \iota \theta \mu o\iota } \right\}}$ είναι πυκνό στο διάστημα $\displaystyle{\Delta = \left[ {0\;,\; + \infty } \right)}$ .

#2

Αφού $x \in A \Rightarrow 1/x \in A$ αρκεί να δείξουμε ότι το

είναι πυκνό στο $[1,+\infty)$ . Επίσης, επειδή οι ρητοί είναι πυκνοί στους πραγματικούς αρκεί να δείξουμε ότι το

είναι πυκνό στο $\mathbb{Q} \cap [1,+\infty)$ και για αυτό αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ρητό $r = a/b \in [1,+\infty)$ και κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχουν πρώτοι p,q

με $(1+\varepsilon)r < p/q < (1+\varepsilon)r$ .

Από το θεώρημα των πρώτων αριθμών, αν συμβολίσουμε με p_n

τον

-οστό πρώτο ισχύει ότι $p_n \sim n \log{n}$ . Άρα για κάθε $\delta > 0$ και κάθε

αρκετά μεγάλο ισχύει ότι $(1-\delta)n \log{n} < p_n < (1+\delta)n\log{n}$ . Επομένως για

αρκετά μεγάλο, αν πάρουμε $p = p_{an}$ και $q = p_{bn}$ έχουμε

$\displaystyle{ \frac{(1-\delta)}{(1+\delta)}\frac{a}{b}\left(1 + \frac{\log(a/b)}{\log(bn)} \right) < \frac{p}{q} < \frac{(1+\delta)}{(1-\delta)}\frac{a}{b}\left(1 + \frac{\log(a/b)}{\log(bn)} \right).}$

Το ζητούμενο έπεται αν επιλέξουμε

αρκετά μεγάλο.

#3

Μια άλλη σκέψη «πατάει» σε γνωστό λήμμα που λέει ότι $\displaystyle{\forall \,\varepsilon > 0:\exists \,{n_0} \in N:\forall \,n > {n_0}}$ υπάρχει πρώτος αριθμός $\displaystyle{p}$ στο διάστημα $\displaystyle{{\left( {n\,,\,\left( {1 + \varepsilon } \right)n} \right)}}$ .
(Δημήτρη, νομίζω ότι το έχεις αποδείξει κάπου, με το θεώρημα των πρώτων αριθμών, αλλά είναι αδύνατο να το εντοπίσω)
Στο θέμα μας, αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\forall \,0 < a < b \in R:}$ υπάρχουν πρώτοι $\displaystyle{p\;\& \;q:a < \frac{p}{q} < b}$ , ισοδύναμα $\displaystyle{a < \frac{p}{q} < b \Leftrightarrow aq < p < bq \Leftrightarrow aq < p < \left( {1 + \frac{{b - a}}{a}} \right)aq}$ , που προκύπτει απ’ το παραπάνω λήμμα για $\displaystyle{\varepsilon = \frac{{b - a}}{a}}$ .

Μια άλλη σπουδαία πρόταση λέει ότι, δοθέντος ενός φυσικού αριθμού $\displaystyle{n}$ με $\displaystyle{k_n}$ ψηφία (στην δεκαδική του γραφή), υπάρχει πρώτος $\displaystyle{p}$ που τα πρώτα $\displaystyle{k_n}$ ψηφία του, είναι αυτά του αριθμού $\displaystyle{n}$ !!.

#4

Σεραφείμ έγραψε:Μια άλλη σκέψη «πατάει» σε γνωστό λήμμα που λέει ότι $\displaystyle{\forall \,\varepsilon > 0:\exists \,{n_0} \in N:\forall \,n > {n_0}}$ υπάρχει πρώτος αριθμός $\displaystyle{p}$ στο διάστημα $\displaystyle{{\left( {n\,,\,\left( {1 + \varepsilon } \right)n} \right)}}$ .
(Δημήτρη, νομίζω ότι το έχεις αποδείξει κάπου, με το θεώρημα των πρώτων αριθμών, αλλά είναι αδύνατο να το εντοπίσω)
.....

Σεραφείμ, μάλλον εννοείς το θέμα viewtopic.php?f=50&t=3177&start=0#p17193

Φιλικά,

Αχιλλέας

#5

achilleas έγραψε:
Σεραφείμ έγραψε:Μια άλλη σκέψη «πατάει» σε γνωστό λήμμα που λέει ότι $\displaystyle{\forall \,\varepsilon > 0:\exists \,{n_0} \in N:\forall \,n > {n_0}}$ υπάρχει πρώτος αριθμός $\displaystyle{p}$ στο διάστημα $\displaystyle{{\left( {n\,,\,\left( {1 + \varepsilon } \right)n} \right)}}$ .
(Δημήτρη, νομίζω ότι το έχεις αποδείξει κάπου, με το θεώρημα των πρώτων αριθμών, αλλά είναι αδύνατο να το εντοπίσω)
.....

Σεραφείμ, μάλλον εννοείς το θέμα viewtopic.php?f=50&t=3177&start=0#p17193

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ακριβώς Αχιλλέα, σ' ευχαριστώ .. χμ .. δεν θυμόμουν πως ήταν δικό μου θέμα ..

#6

Αν επιτρέπεται η χρησιμοποίηση του θεωρήματως των πρώτων αριθμών τότε η απόδειξη του λήμματος είναι πιο απλή: Παίρνουμε

αρκετά μεγάλο ώστε $(1 - \varepsilon/3) \frac{n}{\log{n}} \pi(n) < (1 + \varepsilon/3) \frac{n}{\log{n}}$ για κάθε $n \geqslant N$ . Τότε όμως για $n \geqslant N$ έχουμε

$\displaystyle{\pi((1+\varepsilon)n) - \pi(n) \geqslant (1-\varepsilon/3)(1+\varepsilon) \frac{n}{\log{((1+\varepsilon) n)}} - (1 + \varepsilon/3) \frac{n}{\log{n}} \geqslant (\varepsilon - \varepsilon^2) \frac{n}{3\log{((1+\varepsilon) n)}}.}$

Το τελευταίο είναι μεγαλύτερο του 1 αρκεί επιπλέον να ισχύει ότι $0 < \varepsilon < 1$ (που μπορούμε να υποθέσουμε εξ' αρχής) και ότι το

είναι αρκετά μεγάλο. Αλλά τότε θα υπάρχει πρώτος στο διάστημα $[n,(1+\varepsilon)n]$ .

Πυκνό σύνολο κατασκευασμένο από πρώτους αριθμούς.

Πυκνό σύνολο κατασκευασμένο από πρώτους αριθμούς.

Re: Πυκνό σύνολο κατασκευασμένο από πρώτους αριθμούς.

Re: Πυκνό σύνολο κατασκευασμένο από πρώτους αριθμούς.

Re: Πυκνό σύνολο κατασκευασμένο από πρώτους αριθμούς.

Re: Πυκνό σύνολο κατασκευασμένο από πρώτους αριθμούς.

Re: Πυκνό σύνολο κατασκευασμένο από πρώτους αριθμούς.

Μέλη σε σύνδεση