Μήκος το υπνοφόρον ( Β' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

KARKAR · #1

Στο τραπέζιο του σχήματος , το

είναι το μέσο της βάσης

, ενώ είναι : (AB)=a , (DC) = b

.

Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

, μέχρι τέλος Αυγούστου .

Η δυσκολία της άσκησης έγκειται κυρίως στην ανεύρεση μαθητή-λύτη !

vakan · #2

Έχουμε ότι $AB\parallel DC$ οπότε τα τρίγωνα $\bigtriangleup ABT,\bigtriangleup CMT$ είναι όμοια,άρα:

$\frac{MT}{TB} = \frac{MC}{AB}\Rightarrow \frac{MT}{TB} = \frac{b}{2a}(1)$

Επίσης τα τρίγωνα $\bigtriangleup SAB,\bigtriangleup SMD$ είναι όμοια,οπότε:

$\frac{MS}{SA} = \frac{DM}{AB}\Rightarrow \frac{MS}{SA} = \frac{b}{2a}(2)$

Από (1),(2)

προκύπτει ότι $\frac{MT}{TB} = \frac{MS}{SA}$ , οπότε από το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή έχουμε $ST\parallel AB$ ,άρα τελικά $AB\parallel ST\parallel CD$ .

Οπότε τα τρίγωνα $\bigtriangleup SAT,\bigtriangleup MAC$ είναι όμοια,άρα:

$\frac{MC}{ST} = \frac{AM}{AS}\Rightarrow \frac{\frac{b}{2}}{ST} = \frac{AS + MS}{AS}\Rightarrow \frac{b}{2ST} = \frac{MS}{AS} + 1\overset{(2)}\Rightarrow \frac{b}{2ST} = \frac{b}{2a} + 1\Rightarrow \frac{b}{2ST} = \frac{2a + b}{2a}\Rightarrow ST = \frac{ab}{2a + b}$

Μήκος το υπνοφόρον ( Β' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Μήκος το υπνοφόρον ( Β' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Re: Μήκος το υπνοφόρον ( Β' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Μέλη σε σύνδεση