Συναρτησιακή

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ που να ικανοποιούν xf(y) + yf(x) = (x+y)f(x+y)

για κάθε $x,y \in \mathbb{N}$ .

lefteris mastoris · #2

μηπως ειναι σταθερη???γιατι αν θεσουμε x=y

εκει καταληγω..

#3

lefteris mastoris έγραψε:μηπως ειναι σταθερη???γιατι αν θεσουμε εκει καταληγω..

Λευτέρη έκανα όντως ένα λάθος στην διατύπωση που ίσως να κάνει την άσκηση πιο εύκολη. Δεν βλέπω όμως πως καταλήγεις πως η

είναι σταθερή. Θέτοντας x=y

βρίσκεις ότι f(x) = f(2x)

για κάθε $x \in \mathbb{N}$ . Μετά πως συνεχίζεις;

Την αφήνω έτσι λοιπόν διατυπωμένη (αφού ακόμη δεν βλέπω πως λύθηκε) και μετά θα βάλω και την άσκηση που είχα υπόψη μου.

lefteris mastoris · #4

βασικα δεν ειμαι πολυ σιγουρος γιατι ηταν βραδυ οταν την σκεφτηκα!αν βαλουμε οπου

to

βρισκουμε πως f(x)=f(2^2x)

και επαγωγικα βγαζουμε πως f(x)=f(2^nx)

.Αρα η f παιρνει την ιδια τιμη απειρες φορες.Αυτο δεν ειναι ατοπο??αν και νομιζω πως αυτο ισχυει μονο για συνεχεις συναρτησεις...επειδη κατι εχω στο μυαλο μου σχετικα με αυτο θα συνεχισω σε λιγο..

k-ser · #5

Δημήτρη, για y=0

προκύπτει

για κάθε $x \in \mathbb{N}$ !
Κάνω λάθος;

lefteris mastoris · #6

μπορουμε επισης ,αν δουμε τη σχεση αυτη σαν υποασκηση ,να βγαλουμε συμπερασματα με orizontal stretching του γραφηματος της f στο [0,1] κατα 2^n

και παιρνουμε το γραφημα της f στο [2^n,2^n^+^1]

κλπ αλλα και παλι δεν βγαζω πολλα..

Στέλιος Μαρίνης · #7

Καλημέρα!
Με τη δοσμένη εκφώνηση βγαίνει επαγωγικά ότι είναι σταθερή κι ύστερα κάθε σταθερή επαληθεύει τη σχέση.
Για 1,0 έχουμε φ(0)=φ(1)
Αν φ(ν)=φ(0)=φ(1), για ν,1 έχουμε νφ(1)+φ(ν)=(ν+1)φ(ν+1), άρα φ(ν+1)=φ(1)=φ(0)
Αντίστροφα ...
Έγραψα τη λύση γιατί είμαι περίεργος για την κανονική εκφώνηση, κι εσύ μας εκβιάζεις ότι δε θα τη δώσεις αν δε λυθεί αυτή, εκβιαστή

lefteris mastoris · #8

k-ser έγραψε:Δημήτρη, για προκύπτει για κάθε $x \in \mathbb{N}$ !
Κάνω λάθος;

επειδη συχνα αντιμετωπιζω προβληματα με το 0 και το Ν οποτε γραφω στο ξενο mathlinks νομιζω οτι πρεπει να διευκρινισει ο συγγραφεας αν το 0 το θεωρει στοιχειο του Ν η οχι....

#9

Η άσκηση που έπρεπε να γράψω ήταν

Demetres έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ που να ικανοποιούν $xf(y) + yf(x) = (x+y)f(x{\color{red}^2}+y{\color{red}^2})$ για κάθε $x,y \in \mathbb{N}$ . (Όπου $\color{red}\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}$ )

Στέλιος Μαρίνης έγραψε: Έγραψα τη λύση γιατί είμαι περίεργος για την κανονική εκφώνηση, κι εσύ μας εκβιάζεις ότι δε θα τη δώσεις αν δε λυθεί αυτή, εκβιαστή

Επίσης $\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}$ άρα ακόμη δεν έχετε λύσει την πρώτη άσκηση. Αλλά με εκβιάζετε να βάλω και την άλλη άσκηση. Εκβιαστές!

lefteris mastoris έγραψε: επειδη συχνα αντιμετωπιζω προβληματα με το 0 και το Ν οποτε γραφω στο ξενο mathlinks νομιζω οτι πρεπει να διευκρινισει ο συγγραφεας αν το 0 το θεωρει στοιχειο του Ν η οχι....

Λευτέρη, έχεις απόλυτο δίκιο. Έκανα την διευκρίνηση.

k-ser · #10

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ που να ικανοποιούν xf(y) + yf(x) = (x+y)f(x+y)

για κάθε $x,y \in \mathbb{N}$ .

Αν το 0 δεν είναι στο $\mathbb{N}$ τότε:
Για x=y

έχουμε: $f(x)=f(2x) \color{red}(1)$
Για y=1

και

έχουμε:
$2xf(1)+f(2x)=(2x+1)f(2x+1) \Rightarrow^{\color{red}(1)}\\2xf(1)+f(x)=(2x+1)f(2x+1)\color{red}(2)$
Για y=x+1

έχουμε: $xf(x+1)+(x+1)f(x)=(2x+1)f(2x+1)\color{red}(3)$
Από τις (2),(3) προκύπτει: f(x+1)=2f(1)-f(x)

Επαγωγικά από την τελευταία έχουμε ότι f(x)=f(1)

#11

Κώστα πολύ ωραία! Συγνώμη που σας ταλαιπώρησα με τον ορισμό του $\mathbb{N}$ . Μένει τώρα να λυθεί και η αρχική άσκηση που ήθελα να βάλω.

k-ser · #12

Γράφω μια "απλή" απόδειξη, χωρίς να είμαι και πολύ... σίγουρος - περίμενα κάτι πιο δύσκολο!
Αν διαπιστώσετε κάποιο χαζό λάθος

να μου το πείτε ήρεμα! (π.χ.: Μα τι κάνεις;; χαζός είσαι;)

Έχουμε:
για οποιουσδήποτε θετικούς ακεραίους x,y

είναι:

και οι τιμές της

είναι θετικοί ακέραιοι.
Για y=x

:

Επαγωγικά: $\displaystyle f\left(\frac{\left(2x\right)^{2^n}}{2}\right)=f(x)$ για κάθε θετικό ακέραιο

.

Για

προκύπτει: |f(x)-f(1)|=(x+1)k

με

μη αρνητικός ακέραιος.

Αν υποθέσουμε ότι για κάποιο

είναι

τότε: $|f(x)-f(1)|\geq x+1$ .
Για $x: \displaystyle \frac{\left(2x\right)^{2^n}}{2}$ και εφόσον $\displaystyle f\left(\frac{\left(2x\right)^{2^n}}{2}\right)=f(x)$
έχουμε: $|f(x)-f(1)|\geq \displaystyle \frac{\left(2x\right)^{2^n}}{2}+1$ για κάθε θετικό ακέραιο

, το οποίο είναι άτοπο.
Άρα πρέπει: k=0

και έτσι το σύνολο των συναρτήσεων

προσδιορίζεται από την:
f(x)=f(1)

, $x \in \mathbb{N}$ και f(1)

κάποιον θετικό ακέραιο.

#13

Κώστα σωστά είναι. Είχα δει ένα διαφορετικό τρόπο για να καταλήξουμε σε άτοπο ο οποίος μου άρεσε πάρα πολύ και γι'αυτό έβαλα την άσκηση. Βάζω λοιπόν και την λύση που είχα δει:

Ας υποθέσουμε πως η

δεν είναι σταθερή. Έστω f(x) < f(y)

. Τότε

και

. Άρα υπάρχει y_1 >x,y

ώστε

. Ομοίως υπάρχει y_2>y_1>x

ώστε

κτλ. Αυτή η διαδικασία όμως δεν μπορεί να συνεχιστεί επ'άπειρο αφού η

παίρνει τιμές στο $\mathbb{N}$ .

k-ser · #14

Δημήτρη, πολύ καλή απόδειξη: Μεταξύ δύο διαφορετικών τιμών της

,

, υπάρχει πάντα η f(x^2+y^2)

και συνεπώς θα υπάρχουν άπειρες τιμές - πράγμα αδύνατο αν $f(x), f(y) \in \mathbb{N}$ .
Μάλιστα!

#15

Να μια ακόμα, που βασίζεται κι αυτή στην ιδέα του Δημήτρη και μου άρεσε.

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε $2f(n+3)f(n+2)=f(n+1)+f(n)+1, \forall n \in \mathbb{N}$ .

Ilias_Zad · #16

Αν δεν εχω κανει λαθος βρηκα τα εξης,
Θετουμε oπου

το

, και εχουμε, 2f(n+4)f(n+3)=f(n+2)+f(n+1)+1

Aφαιρωντας την απο την αρχικη εχουμε,
f(n+2)-f(n)=2f(n+3)(f(n+4)-f(n+2))

Aρα, $(f(n+2)-f(n))(f(n+4)-f(n+2)) \geq 0$ που σημαινει οτι η διαφορα

εχει σταθερο προσημο για καθε

.
Eστω οτι ειναι θετικη ή μηδεν
Θεωρουμε 2 ακολουθιες a_n,b_n

με συνολο αφιξεως τους φυσικους(με το μηδεν

)
και τις οριζουμε ως εξης,
1) a_0=f(3)-f(1), a_n=f(2n+3)-f(2n+1)

2)

Παρατηρουμε ομως οτι για την a_n

ισχυει
$a_n=2f(2n+4)a_{n+1}(1) > a_{n+1} \geq 0$
Αρα θα υπαρχει

, ωστε για καθε n>m, a_n=0

και λογω της (1) a_n=0

για καθε

δηλαδη

, για καθε

περιττο.
ομοια χρησιμοποιωντας την b_n

,

, για καθε n αρτιο.
Αντικαθιστωντας στην αρχικη ευκολα (c_1,c_2)=(1,2)

ή

mathematica.gr

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Ποια είναι η κανονική εκφώνηση;

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση