Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

kleovoulos · #21

Απαντώ για την 10, μου φαίνεται ότι είναι ώρα να φρεσκάρω τη Γεωμετρία μου.

Μην ξεχνάτε ότι μένουνε οι 6,7,9,11,12,13,14.

Ξεκινάμε....

Από το πρώτο τρίγωνο παίρνουμε ότι:

3x+4x=180-C

Από το δεύτερο τρίγωνο παίρνουμε ότι:

5x=180-C-E

Kαι από το τρίτο τρίγωνο, ισχύει ότι:

6x+2x=180-E

Άρα: $5x+C=180-E \Leftrightarrow 6x+2x=5x+C\Leftrightarrow 8x=5x+C \Leftrightarrow 8x-5x=C\Leftrightarrow C=3x$

Και για να βρούμε το Ε ισχύει ότι: $5x=180-C-E \Leftrightarrow 5x+E=180-C$
Άρα: $5x+E=3x+4x \Leftrightarrow E=3x+4x-5x \Leftrightarrow E=2x$

Τέλος, αντικαθιστούμε τις σχέσεις και βρίσκουμε ότι:

$3x+4x=180-C \Leftrightarrow 3x+4x+C=180 \Leftrightarrow 3x+4x+3x=180 \Leftrightarrow 10x=180 \Leftrightarrow x=18$

Άρα η μόνη τιμή που μπορεί να πάρει το χ είναι ο αριθμός 18.

#22

κάποιοι έχουν βαλθεί να με τρέχουν

καλοκαιριάτικα

#23

Άλλη μια καλή ασκησούλα ,επιπέδου Θαλή Β' Γυμνασίου ,για τη συλλογή των φίλων Δημήτρη και Γιώργου.

ΑΣΚΗΣΗ 15

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί :

1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 , 11, 12 , 13 , 14, 16, 17, 18, 19, 21, .........

α) Να αποδείξετε ότι στην παραπάνω σειρά αριθμών (ακολουθία) δεν ανήκει ο αριθμός 2010

β) Ποιος αριθμός βρίσκεται στη 2010

η θέση της ακολουθίας αυτής.

γ) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 2010

αριθμών της παραπάνω ακολουθίας.

Μπάμπης

freyia · #24

Για την άσηση 11.

(Αναφέρομαι στο σχήμα του κ. Ρίζου)

Επειδή η $\displaystyle{\Gamma \Delta}$ είναι κάθετη στην $\displaystyle{\epsilon _3}$ , θα είναι κάθετη και στην $\displaystyle{\epsilon _1}$ . Επομένως το τρίγωνο $\displaystyle{A\Delta E}$ , είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Επομένως η γωνία $\displaystyle{A\Delta E}$ θα είναι ίση με $\displaystyle{45^o}$ , και τόσο θα είναι και η γωνία $\displaystyle{\Delta AE}$ .

H γωνία $\displaystyle{\Delta \Gamma B}$ , είναι ίση με $\displaystyle{90^o -30^o=60^o}$

H γωνία $\displaystyle{\Gamma BA}$ , είναι ίση με $\displaystyle{50^o +30^o =80^o}$

Τέλος, η γωνία $\displaystyle{\Delta AB}$ είναι ίση με $\displaystyle{\Delta AE+EAB=45^o +(180^o -50^o )=175^0}$

kleovoulos · #25

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Άσκηση 11

13-8-2012 Διαγωνισμοί 3.jpg
Θαλής 1999-2000 Β΄ Γυμνασίου

Αρχικά, πρέπει να ομολογήσω πως μου πήρε κανένα μισάωρο για να τη λύσω γιατί έπρεπε να θυμηθώ αργά-αργά τη θεωρία της Α' Γυμνασίου. Μου έλειπε και το βιβλίο οπότε άργησα αρκετά. Τέλος πάντων - αρχίζουμε..

Ας ονομάσουμε την ορθή γωνία δίπλα στη Γ,

. Τότε $\Gamma = 180-x-\omega \Leftrightarrow \Gamma =180-30-90 \Leftrightarrow \Gamma = 60$ .

Ονομάζουμε την ορθή γωνία στα αριστερά της $\epsilon _{2} , y$ . Και τη γωνία

χωρίς το $\varphi , z$ .

$z=180-\Gamma -y \Leftrightarrow z=180-60-90\Leftrightarrow z=30$ και άρα $B=z+\varphi \Leftrightarrow B=30+50 \Leftrightarrow B=80$ .

Η Α ανήκει στο τετράπλευρο και ισούται με: $A=360-90-90-\varphi+D \Leftrightarrow A= 360-90-90-50 +D\Leftrightarrow A=130+D$ .
Στο τρίγωνο, ΑΕ=ΕΔ άρα και αφού είναι ορθωγώνιο και ισοσκελές η D=45

.
Άρα $A=130+D \Leftrightarrow A=130+45 \Leftrightarrow A=175$

gauss1988 · #26

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Άλλη μια καλή ασκησούλα ,επιπέδου Θαλή Β' Γυμνασίου ,για τη συλλογή των φίλων Δημήτρη και Γιώργου.

ΑΣΚΗΣΗ 15

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί :

α) Να αποδείξετε ότι στην παραπάνω σειρά αριθμών (ακολουθία) δεν ανήκει ο αριθμός

β) Ποιος αριθμός βρίσκεται στη η θέση της ακολουθίας αυτής.

γ) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων αριθμών της παραπάνω ακολουθίας.

Μπάμπης

Καλησπέρα κύριε Μπάμπη.

(α) Παρατηρώ ότι από την παραπάνω σειρά των αριθμών, λείπουν όλα τα πολλαπλάσια του

. Αφού ο

είναι πολλαπλάσιο του

, άρα δεν συμπεριλαμβάνεται .

(β)Αν ήσαν γραμμένοι όλοι οι αριθμοί , χωρίς να λείπει κάποιος, τότε θα είχαμε 2010

στο πλήθος αριθμούς. Αφού όμως λείπουν τα πολλαπλάσια του

, που από το

, μέχρι το 2010

έχουν πλήθος 2010

:

=

, αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός που κατέχει την 2010

θέση στην σειρά των αριθμών, θα είναι ο 2010+402=2412

.

(γ). Το άθροισμα που ζητάμε είναι ίσο με

$\displaystyle{(1+2+3+4+5+6+ ... +2412)-(5+10+15+ . . . +2010)}$

Είναι όμως γνωστό, ότι $\displaystyle{1+2+3+4+ . . . +2412=\frac{2412.20413}{2}=1206.2413}$

Και $\displaystyle{5+10+15+ . . . +2010=1.5 + 2.5 + 3.5 + . . . +402.5=5(1+2+3+ . . . +402)=5.\frac{402.403}{2}=201.2015}$

Άρα το άθροισμά μας είναι ίσο με: $\displaystyle{1206.2413-201.2015}$

gauss1988 · #27

Ασκηση 9.

Για την άσκηση αυτή, μπορούμε να βρούμε πάρα πολλές λύσεις. Θα γράψω εγώ μια (όχι την καλύτερη), για να δοκιμάσουν οι μικροί μαθητές κάποια άλλη λύση.
Κοιτώντας το σχήμα του κ. Ρίζου, παίρνω πάνω στην ευθεία $\displaystyle{Ax}$ , ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{Z}$ , και φέρνω από αυτό την κάθετη $\displaystyle{ZE}$ πάνω στην ημιευθεία $\displaystyle{\Delta y}$ . Τότε έχουμε δημιουργήσει ένα εξάγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta EZ}$ . Aν από μια κορυφή αυτού του εξαγώνου φέρουμε΄τις διαγώνιες, τότε εμφανίζονται

τρίγωνα. Άρα το άθροισσμα των γωνιών του εξαγώνου, είναι $\displaystyle{4.180=720^{o}}$ .

Συνεπώς: $\displaystyle{a+\beta +\gamma +\delta=720^{o}-90^{o}-90^{o}=540^{o}}$

#28

Φωτεινή έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Πάμε με μια εύκολη, λοιπόν Κλεόβουλε:
ΑΣΚΗΣΗ-1-

Αν : $\displaystyle{\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=\frac{5-z}{7}}$

κα αν: $\displaystyle{2x -3y +5z =10}$ ,

να βρεθούν οι αριθμοί
Aρχικά αφού όλα τα κλάσματα είναι ίσα μεταξύ τους είναι ίσα με έναν αριθμό .

$\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=\frac{5-z}{7}=k$

Αντιστοιχίζουμε τους με το .

$\frac{x-1}{2}=k \Leftrightarrow 2k=x-1\Leftrightarrow x=2k+1$
$\frac{y+3}{5}=k \Leftrightarrow 5k=y+3 \Leftrightarrow y=5k-3$
$\frac{5-z}{7}=k\Leftrightarrow 7k=5-z \Leftrightarrow z=-7k+5$

Tώρα αντικαθιστούμε τους με το k.

$2x-3y+5z=10 \Leftrightarrow 2(2k+1)-3(5k-3)+5(-7k+5) = 10 \Leftrightarrow 4k+2-15k+9-35k+25=10 \Leftrightarrow 4k-15k-35k=10-2-9-25 \Leftrightarrow -46k = -26 \Leftrightarrow k=\frac{-26}{-46} \Leftrightarrow k=\frac{26}{46}$

Oπότε τώρα μπορούμε να βρούμε τις τιμές τους.

$\frac{x-1}{2} = \frac{26}{46}\Leftrightarrow 46(x-1) = 26 *2\Leftrightarrow 46x-46=52 \Leftrightarrow 46x=52+46 \Leftrightarrow x=\frac{98}{46}=\frac{49}{23}$

$\frac{y+3}{5}=\frac{26}{46}\Leftrightarrow 46(y+3)=5*26\Leftrightarrow 46y+138=130 \Leftrightarrow 46y=130-138\Leftrightarrow 46y=-8 \Leftrightarrow y=\frac{-8}{46}=\frac{-4}{23}$

$\frac{5-z}{7} = \frac{26}{46} \Leftrightarrow 46(5-z) = 7*26 \Leftrightarrow 230-46z=182\Leftrightarrow -46z=182-230\Leftrightarrow -46z=-48\Leftrightarrow z=\frac{-48}{-46}\Leftrightarrow z=\frac{48}{46}=\frac{24}{23}$

Άρα $x=\frac{49}{23}$ , $y=\frac{-4}{23}$ , $z=\frac{24}{23}$ .

ΑΛΛΟΙΩΣ
$\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=\frac{5-z}{7}\Leftrightarrow\frac{2x-2}{4}=\frac{-3y-9}{-15}=\frac{5z-25}{-35}=\frac{2x-2-3y-9+5z-25}{4-15-35}=\frac{2x-3y+5z-36}{-46}=\frac{-26}{-46}=\frac{13}{23}$ .
Έτσι έχουμε
$\frac{2x-2}{4}=\frac{13}{23}\Leftrightarrow x=\frac{49}{23}$
$\frac{-3y-9}{-15}= \frac{13}{23}\Leftrightarrow y=\frac{-4}{23}$
$\frac{5z-25}{-35}=\frac{13}{23}\Leftrightarrow z=\frac{24}{23}$ .

#29

AΣΚΗΣΗ 16: Να λυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{x^2 +4x+3}{x^2 -4x+3}+\frac{x^2 -4x+3}{x^2 +4x+3}=\frac{x^2 +6x+8}{x^2 -6x+8}+\frac{x^2 -6x+8}{x^2 +6x+8}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#30

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 16: Να λυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{x^2 +4x+3}{x^2 -4x+3}+\frac{x^2 -4x+3}{x^2 +4x+3}=\frac{x^2 +6x+8}{x^2 -6x+8}+\frac{x^2 -6x+8}{x^2 +6x+8}}$

Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι :
$\displaystyle{\Re - \left\{ { - 1, - 2, - 3, - 4,1,2,3,4} \right\}}$
$\displaystyle{\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{x^2} - 4x + 3}} + \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} + 4x + 3}} = \frac{{{x^2} + 6x + 8}}{{{x^2} - 6x + 8}} + \frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{{x^2} + 6x + 8}}\,\,\,\,\,(1)}$

Έστω
$\displaystyle{a = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{x^2} - 4x + 3}}\,\,,\,\,\,b = \frac{{{x^2} + 6x + 8}}{{{x^2} - 6x + 8}}\,\,}$
$\displaystyle{(1) \Leftrightarrow \,a + \frac{1}{a} = b + \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + 1}}{a} = \frac{{{b^2} + 1}}{b} \Leftrightarrow b{a^2} + b = a{b^2} + a \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow b{a^2} + b - a{b^2} - a = 0 \Leftrightarrow ab\left( {a - b} \right) - \left( {a - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {ab - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a = b}$ ή $\displaystyle{{\rm{ab = 1}}}$
$\displaystyle{a = b \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{x^2} - 4x + 3}}\, = \frac{{{x^2} + 6x + 8}}{{{x^2} - 6x + 8}}\,\,\,\,\,(2)}$
Θέτουμε $\displaystyle{k = {x^2} + 3\,\,\,\,\,,\,\,\,\,m = {x^2} + 8}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} (2) \Leftrightarrow \left( {k + 4x} \right)\left( {m - 6x} \right) = \left( {k - 4x} \right)\left( {m + 6x} \right) \Leftrightarrow km - 6kx + 4mx - 24{x^2} = km + 6kx - 4mx - 24{x^2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 12kx = 8mx \Leftrightarrow x = 0\,\, \\ \end{array}}$

ή $\displaystyle{3k = 2m \Leftrightarrow 3{x^2} + 9 = 2{x^2} + 16 \Leftrightarrow {x^2} = 7 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 7 }$
$\displaystyle{\begin{array}{l} ab = 1 \Leftrightarrow \left( {\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{x^2} - 4x + 3}}} \right)\,\left( {\frac{{{x^2} + 6x + 8}}{{{x^2} - 6x + 8}}} \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {k + 4x} \right)\left( {m + 6x} \right) = \left( {k - 4x} \right)\left( {m - 6x} \right) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow km + 6kx + 4mx + 24{x^2} = km - 6kx - 4mx + 24{x^2} \Leftrightarrow 12kx + 8mx = 0 \Leftrightarrow \\ x = 0\,\,\, \\ \end{array}}$

ή $\displaystyle{3{\rm{k = - 2m}} \Leftrightarrow 3{x^2} + 9 = - 2{x^2} - 16 \Leftrightarrow {x^2} = - 5 \Leftrightarrow x = \pm i\sqrt 5 }$
(Να λυθεί στο $\displaystyle{\Re }$ ή στο $\displaystyle{C}$ ; )
Όλες οι λύσεις είναι δεκτές

#31

Ναί, Γιώργο, στο

θα αναζητήσουμε λύσεις, μιας και πρόκειται για μαθητές Γυμνασίου.

ΑΣΚΗΣΗ 17: Να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{6x^2 -(x+1)(x+4)=x^2 (x-1)^2}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Antonis_Z · #32

Μου άρεσε η τελευταία του κύριου ΔΗΜΗΤΡΗ.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17: Να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{6x^2 -(x+1)(x+4)=x^2 (x-1)^2}$

Η εξίσωση γράφεται:
$5(x^2-x-1)=(x^2-x)^2-1=(x^2-x-1)(x^2+-x+1)\Leftrightarrow (x^2-x-1)(x^2-x-4)=0$ .
Η άσκηση έχει πρακτικά τελειώσει.

#33

ΑΣΚΗΣΗ 18: Να βρεθεί το σύνολο λύσεων της εξίσωσης: $\displaystyle{5x^2 +2x+3=2sinx}$

(Με $\displaystyle{sinx}$ , συμβολίζουμε το ημίτονo της γωνίας

)

KARKAR · #34

Άσκηση 19 . Να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle 2x^2-4x+\frac{x+1}{\sqrt{x}}=0$

Antonis_Z · #35

KARKAR έγραψε:Άσκηση 19 . Να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle 2x^2-4x+\frac{x+1}{\sqrt{x}}=0$

Πρέπει

.

Η εξίσωση γράφεται: $x^2+x^2+\sqrt{x} +\frac{\sqrt{x}}{x}=4x$ .
Από ΑΜ-ΓΜ στο αριστερό μέλος προκύπτει ότι $L\geq 4x$ ,άρα πρέπει όλοι οι όροι του αριστερού μέλυς να είνα ίσοι.
Αυτό γίνεται για x=1

.Το μηδέν απορρίπτεται,λόγω των περιορισμών.

#36

Άσκηση 20

Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων αριθμών $\displaystyle{\,\,\,\,\left( {x,y,z} \right)}$ που ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{xyz - 2(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) = 7}$

kleovoulos · #37

Προσωπικά προτείνω να βάζετε τα θέματα, αλλά έστω και λίγο, και την αντίστοιχη θεωρία. Αυτό είναι γιατί μαθητές όπως και εγώ δε θα μπορούν να απαντήσουν λόγω έλλειψης γνώσης της θεωρίας. Θέλω να πω πως δε νομίζω να υπάρχει κάποιο παιδί της ηλικίας μου που κατά το καλοκαίρι έχει διαβάσει την ύλη της επόμενης τάξης.

dr.tasos · #38

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 18: Να βρεθεί το σύνολο λύσεων της εξίσωσης: $\displaystyle{5x^2 +2x+3=2sinx}$

(Με $\displaystyle{sinx}$ , συμβολίζουμε το ημίτονo της γωνίας )

Γράφω $\displaystyle{ 5(x+\frac{1}{5})^2+ \frac{14}{5}=2sinx}$

όμως ειναι $\displaystyle{ -1 \leq sinx \leq 1 \Leftrightarrow -2 \leq 2sinx \leq 2 }$

Συνεπώς $\displaystyle{ LHS \geq \frac{14}{5}>2 and RHS \leq 2 }$ Συνεπώς η ισοτητα δεν πιάνεται πουθενα και η εξίσωση ειναι αδυνατη.

sokratis lyras · #39

exdx έγραψε:Άσκηση 20

Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων αριθμών $\displaystyle{\,\,\,\,\left( {x,y,z} \right)}$ που ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{xyz - 2(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) = 7}$

Κλεόβουλε μου φαίνεται πως το μοναδικό που χρειάζεται να γνωρίζεις για να λύσεις αυτήν την άσκηση είναι μόνο το τί είναι ένας ακέραιος αριθμός(που νομίζω ότι το γνωρίζεις).
Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι : $(x-2)(y-2)(z-2)=LHS-8\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)=-1$ και αφού $x,y,z\in Z$ τα πράγματα είναι απλά.
**Έκανα μια μικρή διόρθωση.Ευχαριστώ exdx

#40

Λόγω λανθασμένης αρίθμησης, η άσκηση 21 που υπήρχε στην θέση αυτή, μετονομάσθηκε σε άσκηση 25 (βλ. πιο κάτω)

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση