εξαρτώμενοι μιγαδικοί

dopfev · #1

Καλησπέρα, παραθέτω ένα θέμα που μ' έχει απασχολήσει και θέλω να το μοιραστώ μαζί σας:

Δίνονται μιγαδικοί z,w

για τους οποίους ισχύει: $\displaystyle{w=\frac{2z+i}{iz+1}}$ με $z\neq i$ .

A) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος $C_{1}$ των εικόνων του

αν $\left|w \right|=2$ .

B) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος $C_{2}$ των εικόνων του

αν $\left|z-i \right|=1$ .

Γ) Αν ο

ανήκει στον $C_{1}$ και ο

στον $C_{2}$ και επιπλέον ισχύει $-3\leq Re\left(z \right)<3$ να βρείτε τη μέγιστη τιμή του $\left|z-w \right|$ .

Περιμένω κάποιες απόψεις για να πω και τη δική μου. Ευχαριστώ πολύ!

#2

...εξαρτάται και η προσπάθεια....

Α) Από $\left| w \right|=2$ θα έχουμε ότι ισχύει $\left| \frac{2z+i}{iz+1} \right|=2\Leftrightarrow \left| 2z+i \right|=2\left| iz+1 \right|\Leftrightarrow \left| z+\frac{1}{2}i \right|=\left| iz-{{i}^{2}} \right|\Leftrightarrow \left| z+\frac{1}{2}i \right|=\left| z-i \right|$

που σημαίνει ότι οι εικόνες του μιγαδικού

ανήκουν στην μεσοκάθετη του τμήματος

με $A(0,\,1),\,\,\,B(0,\,\,-\frac{1}{2})$ άρα στην ευθεία $y=\frac{1}{4}$

Β) Από $w=\frac{2z+i}{iz+1}$ έχουμε ότι $w+2i=\frac{2z+i}{iz+1}+2i=\frac{2z+i+2i(iz+1)}{iz+1}=\frac{2z+i-2z+2i}{iz-{{i}^{2}}}=\frac{3i}{i(z-i)}=\frac{3}{z-i}$ οπότε θα ισχύει και

$\left| w+2i \right|=\left| \frac{3}{z-i} \right|=3$ αφού το $\left| z-i \right|=1$ άρα η εικόνα του

ανήκει σε κύκλο κέντρου $K(0,\,-2)$ και ακτίνας

Γ) Οι μιγαδικοί που ανήκουν στο σύνολο ${{C}_{1}}$ βρίσκονται στην ευθεία $y=\frac{1}{4}$ και οι εικόνες του

προέκυψαν από τους μιγαδικούς

με την ιδιότητα $\left| z-i \right|=1$ άρα για $z=x+\frac{1}{4}i,\,\,\,-3\le x\le 3$ έχουμε ότι $\left| x+\frac{1}{4}i-i \right|=1\Leftrightarrow \left| x-\frac{3}{4}i \right|=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\frac{9}{16}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{7}{16}$

άρα $x=\frac{\sqrt{7}}{4}$ ή $x=-\frac{\sqrt{7}}{4}$ οπότε δύο μιγαδικοί οι ${{z}_{1}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{1}{4}i$

και ο ${{z}_{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{1}{4}i$ έχουν τις παραπάνω ιδιότητες με αντίστοιχους ${{w}_{1}}=\frac{2{{z}_{1}}+i}{i{{z}_{1}}+1},\,\,\,{{w}_{2}}=\frac{2{{z}_{2}}+i}{i{{z}_{2}}+1}$ έτσι τώρα

$\left| {{w}_{1}}-{{z}_{1}} \right|=\left| \frac{2{{z}_{1}}+i}{i{{z}_{1}}+1}-{{z}_{1}} \right|=\left| \frac{2{{z}_{1}}+i-iz_{1}^{2}-{{z}_{1}}}{i{{z}_{1}}+1} \right|\,=\frac{\left| {{z}_{1}}+i-iz_{1}^{2} \right|}{\left| {{z}_{1}}-i \right|}=\left| {{z}_{1}}+i-iz_{1}^{2} \right|$ και αντίστοιχα

$\left| {{w}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \frac{2{{z}_{2}}+i}{i{{z}_{2}}+1}-{{z}_{1}} \right|=\left| \frac{2{{z}_{2}}+i-iz_{2}^{2}-{{z}_{2}}}{i{{z}_{2}}+1} \right|\,=\frac{\left| {{z}_{2}}+i-iz_{2}^{2} \right|}{\left| {{z}_{2}}-i \right|}=\left| {{z}_{2}}+i-iz_{2}^{2} \right|$

και υπολογίζοντας τα μέτρα τους βρίσκουμε το μέγιστο.....(με επιφύλαξη....)

ΣΗΜΕΊΩΣΗ: Θεωρώ ότι αυτά τα θέματα με εξαρτώμενους μιγαδικούς είναι πολύ εύκολες παγίδες γιά τους υποψηφίους,και σίγουρα αν δεν έχει προσέξει κάτι παρόμοιο και να το έχει εμπεδώσει, τότε...τ.π.(την πάτησε...). Εδώ στο συγκεκριμένο θέμα θα έχει ενδιαφέρον να δώ κυρίως γιά το (Γ) και την άποψη του θεματοδότη...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

Συμφωνώ εν γένει με τον Βασίλη.
Η άσκηση είναι από βιβλίο γνωστού συγγραφέα και δίνει απάντηση $\displaystyle\frac{{27}}{4} = 6,75$
Για να συμβεί όμως αυτό πρέπει να έχουμε μια από τις δύο οριακές περιπτώσεις που δείχνει το σχήμα
Δηλαδή π.χ.
$z = 3 + \displaystyle\frac{1}{4}i$ και $w = - \displaystyle\frac{{12}}{5} - \displaystyle\frac{{19}}{5}i$
Τότε όμως θα έπρεπε:

$w = - \displaystyle\frac{{12}}{5} - \displaystyle\frac{{19}}{5}i = \displaystyle\frac{{2(3 + \displaystyle\frac{1}{4}i) + i}}{{i(3 + \displaystyle\frac{1}{4}i) + 1}}$ που δεν ισχύει

Την άλλη περίπτωση δεν την έχω ελέγξει αλλά εργαζόμαστε ομοίως .

Φιλικά Νίκος

dopfev · #4

Σας ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας! Το θέμα άρχισα να το αντιμετωπίζω όπως και ο Βασίλης απλώς για το Γ) με λίγο διαφορετικό τρόπο. Προσπάθησα να "μεταφράσω" τι σημαίνει η παράσταση $\left|z-w \right|$ αφού οι μιγαδικοί είναι εξαρτώμενοι ο ένας από τον άλλο, δηλαδή:

$\left|z-w \right|=\left|z-\frac{2z+i}{iz+1} \right|=\left|\frac{iz^{2}+z-2z-i}{iz+1} \right|=...$ αλλά δε βγήκα πουθενά.. Αυτό το οποίο με προβλημάτισε είναι ότι αν οι μιγαδικοί είναι εξαρτώμενοι από τον δοσμένο τύπο, τότε:

α) αν ο

κινείται στην ευθεία $y=\frac{1}{4}$ (στον $C_{1}$ ) τότε ο

κινείται στον κύκλο με K(0,0)

και

( $\left|w \right|=2$ )

β) αν o

κινείται στον κύκλο με K(0,-2)

και

(στον $C_{2}$ ) τότε ο

κινείται στον κύκλο με K(0,1)

και

( $\left|z-i\right|=1$ ).

Και όλα αυτά αλληλοπροκύπτουν λόγω της σχέσης εξάρτησης των μιγαδικών που δίνεται. Άρα όταν ο

κινείται στον $C_{1}$ και ο

κινείται στον $C_{2}$ τότε κατά την άποψή μου είναι σαν να μας καθοδηγεί το θέμα ότι δεν ισχύει η σχέση αλληλεξάρτησης. Οπότε θα πρέπει να το αντιμετωπίσουμε όπως ο φίλος Νίκος, ο οποίος και απέδειξε ότι δεν προκύπτει ο ένας μιγαδικός από τον άλλο με τη δοσμένη σχέση..

Αυτά ήθελα να σχολιάσω, δεν είμαι έμπειρος μαθηματικός γι' αυτό και απευθύνθηκα σε σας...περιμένω περαιτέρω σχόλιά σας και ευχαριστώ ξανά για την ενασχόλησή σας!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dopfev · #5

dopfev έγραψε: δεν ισχύει η σχέση αλληλεξάρτησης.

Και γιατί να ισχύει;; Αναφέρεται πουθενά σε κάποιο βιβλίο σχολικό και μη αυτή η έννοια; Η εξάρτηση των μιγαδικών στο επίπεδο;

dennys · #6

Φίλε dopfev καλημέρα

Ολα προκύπτουν απο την έννοια μέγιστο-ελάχιστο δηλ. αν έχουμε $f(x) \le 3$ δεν σημαίνει ότι έχει μέγιστη τιμή 3,αλλά

πρέπει να υπάρχει και $x_o \in D_f : f(x_o)=3$ .To ιδιο και για το ελάχιστο .

Θα ψ'αξω παραπομπές στο forum ή και προσωπικές και θα στις δώσω.

Γενικά σε εξαρτώμενους μιγαδικούς το σχήμα δεν είναι "έμπιστο" δηλ. μπορεί να μην ανταποκρίνεται .

π.χ. αν $|z|=1, w=z-4\Rightarrow |w+4|=|z|=1\Rightarrow$ o μιγαδικός w , κινείται σε κύκλο (-4,0),ρ=1.ΠΟΙΟ το |z-w|

min,max?

αν κάνεις σχήμα "φαίνεται "οτι |z-w|min=2,|z-w|max=7

που δεν είναι αληθές γιατί αν $z=-1\Rightarrow w=-5$ και όχι w=-3

,αρα δεν βρίσκονται οι μιγαδικοί λόγω εξάρτησης στις θέσεις -1,-3

ποιο είναι τότε το min,max? |z-w|=|z-z+4|=4

αρα είναι σταθερό=4

dennys

dopfev · #7

dennys έγραψε:Φίλε dopfev καλημέρα

Ολα προκύπτουν απο την έννοια μέγιστο-ελάχιστο δηλ. αν έχουμε $f(x) \le 3$ δεν σημαίνει ότι έχει μέγιστη τιμή 3,αλλά

πρέπει να υπάρχει και $x_o \in D_f : f(x_o)=3$ .To ιδιο και για το ελάχιστο .

Θα ψ'αξω παραπομπές στο forum ή και προσωπικές και θα στις δώσω.

Γενικά σε εξαρτώμενους μιγαδικούς το σχήμα δεν είναι "έμπιστο" δηλ. μπορεί να μην ανταποκρίνεται .

π.χ. αν $|z|=1, w=z-4\Rightarrow |w+4|=|z|=1\Rightarrow$ o μιγαδικός w , κινείται σε κύκλο (-4,0),ρ=1.ΠΟΙΟ το min,max?

αν κάνεις σχήμα "φαίνεται "οτι

που δεν είναι αληθές γιατί αν $z=-1\Rightarrow w=-5$ και όχι ,αρα δεν βρίσκονται οι μιγαδικοί λόγω εξάρτησης στις θέσεις -1,-3

ποιο είναι τότε το min,max? αρα είναι σταθερό=4

dennys

Κατάλαβα τι γράφεις dennys και σ' ευχαριστώ για την απάντηση. Οπότε στο παραπάνω θέμα είναι δυνατόν να ισχύει η σχέση και για τα 3 ερωτήματα, παρόλο που όταν ισχύει προκύπτουν άλλοι γεωμετρικοί τόποι για τους z,w

; Είναι δυνατόν δηλαδή να ανήκει ο

στον $C_{1}$ και ταυτόχρονα ο

στον $C_{2}$ δεδομένης της σχέσης που έχουμε; Σ' αυτό το σημείο κολλάω και δεν καταλαβαίνω, επειδή από τα πρώτα ερωτήματα προκύπτουν άλλοι αντίστοιχοι γεωμετρικοί τόποι λόγω της σχέσης μας...

dopfev · #8

dopfev έγραψε:
dopfev έγραψε: δεν ισχύει η σχέση αλληλεξάρτησης.
Και γιατί να ισχύει;; Αναφέρεται πουθενά σε κάποιο βιβλίο σχολικό και μη αυτή η έννοια; Η εξάρτηση των μιγαδικών στο επίπεδο;

Και θέλω να επιμείνω αν μου επιτρέπετε σ' αυτά μου τα ερωτήματα...

dennys · #9

συνάδελφε dopfev

υπαρχουν στο forum κάποια άρθρα του κ.Στεργίου ,του κ. Θαρραλιδη και ενός συν απο Βέροια.,ισως και άλλων . Αν κάποιος τα έχει ας τα δώσει στον φίλο

και πιστεύω να του λυθούν οι απορίες , γιατι είναι πολύ αναλυτικά γραμμένες.

φιλικα dennys

parmenides51 · #10

Για τον φίλο Διονύση (που τα ανέφερε) κι όχι μόνο μερικά σχετικά άρθρα

ακρότατα σε μέτρα μιγαδικών από Λεωνίδα Θαραλλίδη (1η μορφή του άρθρου, διδακτική, βρείτε το λάθος)
και φράγματα στα μέτρα μιγαδικών από Λεωνίδα Θαραλλίδη (2η μορφή του προηγούμενου άρθρου, επεξηγηματική)
άρθρο για μιγαδικούς από Μπάμπη Στεργίου (τριγωνική ανισότητα)
συναρτήσεις - χρήσιμες επισημάνσεις στις βασικές έννοιες από Αντώνη Κυριακόπουλο

αντιγράφοντας τα άρθρα από εδώ

#11

Μια άλλη προσέγγιση για το γ ερώτημα
$\displaystyle{\begin{array}{l} \left| {z - w} \right| = \left| {z - \frac{{2z + i}}{{iz + 1}}} \right| = \left| {\frac{{i{z^2} + z - 2z - i}}{{iz + 1}}} \right| = \left| {\frac{{i{z^2} - z - i}}{{iz + 1}}} \right| = \left| {\frac{{i({z^2} + iz - 1)}}{{i(z - i)}}} \right| \\ = \left| {\frac{{{z^2} + iz + {i^2})(z - i)}}{{{{(z - i)}^2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z^3} - {i^3}} \right|}}{{{{\left| {z - i} \right|}^2}}} = \left| {{z^3} + i} \right| = \left| {{{\left( {x + \frac{1}{4}i} \right)}^3} + i} \right| = \\ \left| {{x^3} + \frac{{3{x^2}}}{4}i + 3x\frac{1}{{16}}{i^2} + \frac{1}{{64}}{i^3} + i} \right| = \left| {\left( {{x^3} - \frac{{3x}}{{16}}} \right) + \left( {\frac{{3{x^2}}}{4} + \frac{{63}}{{64}}} \right)i\,\,} \right| = \\ = \sqrt {{{\left( {{x^3} - \frac{{3x}}{{16}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3{x^2}}}{4} + \frac{{63}}{{64}}} \right)}^2}} \\ \end{array}}$
Έστω $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x) = \sqrt {{{\left( {{x^3} - \frac{{3x}}{{16}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3{x^2}}}{4} + \frac{{63}}{{64}}} \right)}^2}} }$
Η συνάρτηση αυτή έχει παράγωγο την

$\displaystyle{f'(x) = \frac{{3x(256{x^4} + 32{x^2} + 129)}}{{4\sqrt {4096{x^6} + 768{x^4} + 6192{x^2} + 3969} }}}$
Οπότε είναι φανερό ότι έχει ελάχιστο για $\displaystyle{\,\,x = 0\,\,\,}$ αλλά δεν έχει μέγιστο

#12

Εδώ έχουμε άλλη περίπτωση, όχι την κλασική αλληλοεξαρτόμενων μιγαδικών. Από τους γεωμετρικούς τόπους των ερωτημάτων Β, Γ και την υπόθεση που εισάγεται στην "κορυφή" του θέματος και είναι δεδομένη σε όλα τα ερωτήματα, έχουμε το σύστημα:

$|z+\frac{i}{2}|=|z-i|, |z-i|=1 , w=\frac{2z+i}{iz+1},z\neq i$

Ο z υπολογίζεται σαν τομή των δύο κύκλων $|z+\frac{i}{2}|=1,|z-i|=1$ , οπότε προκύπτουν δύο πιθανές τιμές οι οποίες δίνουν δύο πιθανές τιμές για το |z-w|

και επιλέγουμε τη μεγαλύτερη.

Τέλος να παρατηρήσω ότι σχέση $-3\leq Re(z)<3$ , υπερκαλύπτεται από την $-1\leq Re(z)\leq 1$ που προκύπτει από την |z-i|=1

dopfev · #13

Τελικά με ποια από τις παραπάνω προσεγγίσεις θα πρέπει να αντιμετωπίσουμε αυτό το θέμα; Να ισχύει η σχέση εξάρτησης ή να μην ισχύει; (Ο συγγραφέας το λύνει σαν να μην ισχύει...) Ευχαριστώ!

dennys · #14

Αγσπητέ dopfev καλημερα

Τελικά θα ήθελα να ξέρω, μετά απο αυτά που διάβασες έχεις ακόμη απορία ?Αν ο συγγραφέας την έχει λάθος

τι να κάνουμε . Ανθρωπος είναι κι αυτός. Στα μαθηματικά υπάρχουν σε μερικά θέματ και διαφορετικές αποψεις.

πχ. στην τομη των γραφικων παραστασεων μιας συνάρτησης με την αντιστροφη επεσε πολυ μελάνι.

φιλικά dennys

dopfev · #15

dennys έγραψε:Αγσπητέ dopfev καλημερα

Τελικά θα ήθελα να ξέρω, μετά απο αυτά που διάβασες έχεις ακόμη απορία ?Αν ο συγγραφέας την έχει λάθος

τι να κάνουμε . Ανθρωπος είναι κι αυτός. Στα μαθηματικά υπάρχουν σε μερικά θέματ και διαφορετικές αποψεις.

πχ. στην τομη των γραφικων παραστασεων μιας συνάρτησης με την αντιστροφη επεσε πολυ μελάνι.

φιλικά dennys

Να 'σαι καλά, σ' ευχαριστώ.

#16

dopfev έγραψε:Τελικά με ποια από τις παραπάνω προσεγγίσεις θα πρέπει να αντιμετωπίσουμε αυτό το θέμα; Να ισχύει η σχέση εξάρτησης ή να μην ισχύει;

Αγαπητέ dofev. Εννοείται ότι δεν επιλέγουμε εμείς αν θέλουμε να ισχύει η σχέση εξάρτησης. Ή υπάρχει και τη λαμβάνουμε υπόψη μας ή δεν υπάρχει.

Αν θες, δες ένα απλούστερο παράδειγμα ΕΔΩ.

#17

Αγαπητέ dopfev οι απορίες σου είναι εύλογες

Στο ερώτημα Α υπάρχει εξάρτηση μεταξύ των μιγαδικών .

Στο ερώτημα Β υπάρχει εξάρτηση μεταξύ των μιγαδικών .

Στο ερώτημα Γ

Όταν η εικόνα του

ανήκει στον ${{C}_{1}}$ δηλαδή ισχύει $\left| z+\frac{1}{2}i \right|=\left| z-i \right|$ τότε για τον $w=\frac{2z+i}{iz+1}$ έχουμε $\left| w \right|=2$ .

Όταν η εικόνα του $w=\frac{2z+i}{iz+1}$ ανήκει στον ${{C}_{2}}$ δηλαδή ισχύει $\left| w+2i \right|=3$ τότε για τον

έχουμε $\left| z-i \right|=1$ .

Έτσι η εξάρτηση είναι πλέον ανίσχυρη αφού υπερισχύουν οι σχέσεις
$\left| z-i \right|=1$ , $\left| z+\frac{1}{2}i \right|=\left| z-i \right|$ για τους μιγαδικούς

που έχουν λύσεις τους ${{z}_{1}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{1}{4}i$ και ${{z}_{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{1}{4}i$
$\left| w+2i \right|=3$ και $\left| w \right|=2$ για τους μιγαδικούς

που έχουν λύσεις τους ${{w}_{1}}^{\prime }$ και ${{w}_{2}}^{\prime }$

Τώρα αν οι ${{w}_{1}}=\frac{2{{z}_{1}}+i}{i{{z}_{1}}+1},{{w}_{2}}=\frac{2{{z}_{2}}+i}{i{{z}_{2}}+1}$ που προκύπτουν από τους ${{z}_{1}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{1}{4}i$ και ${{z}_{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{1}{4}i$ είναι ίδιοι με τους ${{w}_{1}}^{\prime }$ και ${{w}_{2}}^{\prime }$ αντίστοιχα (που λογικά πρέπει να ισχύει ειδάλλως ή άσκηση πάσχει ) τότε η απάντηση είναι, αυτή του Βασίλη.

Θυμίζω ότι μεταξύ σταθερών μιγαδικών δεν έχει νόημα η εξάρτηση.

dopfev · #18

κ. Γιώργο και κ. Κώστα η βοήθειά σας ήταν πολύτιμη.... Ευχαριστώ πολύ, να είστε καλά!

εξαρτώμενοι μιγαδικοί

εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Re: εξαρτώμενοι μιγαδικοί

Μέλη σε σύνδεση