Μια κατά το ήμισυ γνωστή

#1

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό αριθμό $\alpha$ ισχύει $\alpha +\frac{1}{\alpha }\geq 2$ .
β) Πως πρέπει να επιλέξουμε τον αριθμό $\beta$ ώστε για κάθε θετικό αριθμό $\alpha$ να ισχύει $\alpha +\frac{\beta }{\alpha }\geq 2$ ;

Μαυρογιάννης
_________________________________________________________________________________
'Εως 30 Σεπτεμβρίου 2009, Α' ΛΥΚΕΙΟΥ, ΑΛΓΕΒΡΑ
_________________________________________________________________________________

Stavroulitsa · #2

Καλημέρα σε όλους!
α). Σε αυτό έχω πολλές διαφορετικές λύσεις:
i. $a+\frac{1}{a}\geq 2\Leftrightarrow a^2+1\geq 2a\Leftrightarrow a^2+1-2a\geq 0\Leftrightarrow \left(a-1 \right)^2\geq 0$
ii. $a+\frac{1}{a}\geq 2\Leftrightarrow \left(\sqrt{a} \right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}} \right)^2\geq 2\cdot \sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}\Leftrightarrow \left(\sqrt{a} \right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}} \right)^2-2\cdot \sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}\geq 0\Leftrightarrow \left(\sqrt{a} -\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\geq 0$ ισχύει.
iii.Παίρνουμε την (αγαπημένη μου) ανισότητα Cauchy για $\left(a,\frac{1}{a} \right)$ :
$\frac{a+\frac{1}{a}}{2}\geq \sqrt{a\cdot \frac{1}{a}}\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}\geq 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{a}}\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}\geq 2$

β). Σε αυτό έχω 2 λύσεις και θα ήθελα αν μπορούσατε να μου πείτε ποια είναι προτιμότερη και... σωστή...
i. $a+\frac{\beta }{a}\geq 2\Leftrightarrow a^2+\beta \geq 2a\Leftrightarrow a^2-2a\geq -\beta \Leftrightarrow a\left(a-2 \right)\geq -\beta$
ii. $a+\frac{\beta }{a}\geq 2\Leftrightarrow a^2+\beta \geq 2a\Leftrightarrow a^2-2a+\beta \geq 0$
και έχουμε 2 περιπτώσεις:
a. $\Delta =4-4\beta <0\Leftrightarrow \beta >1$ όπου η δευτεροβάθια ανίσοση θα είναι αληθής, δηλαδή μεγαλύτερη του 0.
b. $\Delta =4-4\beta \geq 0\Leftrightarrow \beta \leq 1$ άρα
$a_1=1+\sqrt{1-\beta }$
$a_2=1-\sqrt{1-\beta }$ άρα
$a^2-2a+\beta \geq 0\Leftrightarrow \left(a-1-\sqrt{1-\beta } \right)\left(a-1+\sqrt{1-\beta } \right)\Leftrightarrow \left(a-1 \right)^2-1-\beta \geq 0\Leftrightarrow a^2-2a+1-1+\beta \geq 0\Leftrightarrow a^2-2a\geq -\beta \Leftrightarrow a\left(a-2 \right)\geq -\beta$

#3

Σταυρουλίτσα, στην λύση σου για το (β) δεν βλέπω ποιο είναι το συμπέρασμα.

Stavroulitsa · #4

Το συμπέρασμα είναι ότι αν β>1 τότε δεν έχουμε κανένα πρόβλημα, ανώ αν $\beta \leq 1$ τότε θα ισχύει ότι $\beta \geq a\left(2-a \right)$ .

#5

Σταυρουλίτσα, πρόσεξε ξανά την εκφώνηση. Αν έλεγε "Για ποια β ισχύει ότι $\alpha + \beta/\alpha \geqslant 2$ ; (όπου α δοσμένος θετικός αριθμός)", τότε η απάντησή σου θα ήταν σωστή. Στην ερώτηση όμως υπάρχει το "για κάθε $\alpha$ ". Δηλαδή πρέπει η απάντηση που θα μου δώσεις για το $\beta$ να είναι ανεξάρτητη του $\alpha$ . Πρέπει τα $\beta$ που θα βρεις να δουλεύουν για οποιοδήποτε $\alpha$ διαλέξει ο "αντίπαλός" σου. Αν για παράδειγμα μου δώσεις την απάντηση "κάθε $\beta \geqslant 1/2$ δουλεύει", τότε εγώ (ο κακός αντίπαλος) θα έρθω και θα σου πω "Όχι το $\beta = 1/2$ δεν δουλεύει. Διαλέγω $\alpha = 1/2$ ".

Stavroulitsa · #6

Αν όσα έκανα είναι σωστά τότε θα μπορούσα να πω ότι όταν β>1 θα ισχύει πάντοτε η δευτεροβάθμια ανίσοση στην οποία κατέλληξα γιατί η διακρίνουσά της θα έχει αρνητική τιμή, ενώ όταν β<1 τότε η τιμή του β θα εξαρτάται από το α, για β=1 τότε πάλι ισχύει η ανίσοση. Άρα η ανίσοση θα ισχύει για $\beta \geq 1$ ανεξάρτητα με το α.

#7

Μετά από όσα ωραία έγραψε ο Δημήτρης εγώ απλώς θέλω να προσθέσω το εξής:
Στην δεύτερη σου προσέγγιση και στην περίπτωση όπου $\Delta >0$ γράφεις:
$a^2-2a+\beta \geq 0\Leftrightarrow \left(a-1-\sqrt{1-\beta } \right)\left(a-1+\sqrt{1-\beta } \right)\geq 0\Leftrightarrow \left(a-1 \right)^2-1-\beta \geq 0\Leftrightarrow a^2-2a+1-1+\beta \geq 0\Leftrightarrow a^2-2a\geq -\beta \Leftrightarrow a\left(a-2 \right)\geq -\beta$
Σταμάτα τον συλλογισμό
$a^2-2a+\beta \geq 0\Leftrightarrow \left(a-1-\sqrt{1-\beta } \right)\left(a-1+\sqrt{1-\beta } \right)\geq 0$ Εδώ! $\Leftrightarrow \left(a-1 \right)^2-1-\beta \geq 0\Leftrightarrow a^2-2a+1-1+\beta \geq 0\Leftrightarrow a^2-2a\geq -\beta \Leftrightarrow a\left(a-2 \right)\geq -\beta$
Δες την παράσταση
$\left(a-1-\sqrt{1-\beta } \right)\left(a-1+\sqrt{1-\beta } \right)\geq 0$
Είναι μεγαλύτερη ή ίση πό το μηδέν για κάθε θετικό $\alpha$ ; 'Η μήπως υπάρχουν θετικές τιμές του $\alpha$ για τις οποίες γίνεται και αρνητική; και σε τι συμπέρασμα καταλήγουμε;
Μαυρογιάννης

#8

Νικο (και λοιποι), με αφορμη το ερωτημα (β), αλλα και τους κυκλους του Yiu, φερνω στο προσκηνιο ενα ερωτημα που με εχει απασχολησει στο παρελθον: ειναι καλη τακτικη να δειχνουμε στους μαθητες/φοιτητες μας οχι μονο πως λυνονται, μα και πως *φτιαχνονται* οι ασκησεις? Η απαντηση, που βεβαιως εξαρταται *και* απο το επιπεδο του μαθηματος, δεν μου ειναι ξεκαθαρη: καθε αποψη και εμπειρια ευπροσδεκτη...

Γιωργος Μπαλογλου

dr.tasos · #9

για το β ερώτημα πρέπει $a^2+b \geq 2a \Leftrightarrow a^2+b+2a \geq 0$ παρατηρώ ότι για να ισχύει για κάθε $a \in \mathbb{R}$ πρέπει η παράσταση

να είναι πάντα μη αρνητική αρα πρέπει b=1

για να γίνει τετράγωνο. Παρακαλώ αν έχω κάποιο λάθος να με διορθώσετε .

S.E.Louridas · #10

gbaloglou έγραψε:Νικο (και λοιποι), με αφορμη το ερωτημα (β), αλλα και τους κυκλους του Yiu, φερνω στο προσκηνιο ενα ερωτημα που με εχει απασχολησει στο παρελθον: ειναι καλη τακτικη να δειχνουμε στους μαθητες/φοιτητες μας οχι μονο πως λυνονται, μα και πως *φτιαχνονται* οι ασκησεις? Η απαντηση, που βεβαιως εξαρταται *και* απο το επιπεδο του μαθηματος, δεν μου ειναι ξεκαθαρη: καθε αποψη και εμπειρια ευπροσδεκτη...

Κατά την άποψη μου και επειδή ζούμε την εποχή των «Συμβολιστικών Μαθηματικών» και από την εμπειρία μας τόσον από τους Μαθητές μας, μέχρι και επιπέδου Β.Μ.Ο. ή Ι.Μ.Ο., τους Φοιτητές μας αλλά και όσοι έχουμε την τύχη να έχουμε διδάξει σε σεμινάρια επιμόρφωσης προς Συναδέλφους κ.τ.λ., αν ένα από τα βασικά ζητούμενα είναι και ο Μαθηματικός λύτης, τότε είναι επιβεβλημένη η σοβαρή ενασχόληση με την διαδικασία κατασκευής Μαθηματικών Προβλημάτων (ναι στο να "φτιάχνoνται" ασκήσεις, όχι κατ' ανάγκη εξεζητημένες). Και αυτό επειδή ενδυναμώνει το Μαθηματικό όν ως λύτη, καθότι εκτός των άλλων μπορεί κατά την διαδικασία επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος να «μαντεύει» σε μεγάλο ποσοστό τον πυρήνα της κατασκευής του προβλήματος και επομένως να το επιλύει.
Ο πυρήνας κατασκευής ενός προβλήματος αποτελείται από πολλά μέρη που πρέπει ο κατασκευαστής να γνωρίζει επαρκώς, αλλιώς αλλοιώνεται ο στόχος αλλά και το επίπεδο του προβλήματος. Αυτά ως προς την σχολή (θιασώτης της οποίας προσωπικά είμαι, καλώς ή κακώς) που θεωρεί ότι ο σοβαρότερος έλεγχος για το εάν έχουν κατανοηθεί τα θεωρητικά και μεθοδολογικά γεγονότα είναι μέσο της επίλυσης Μαθηματικών προβλημάτων ή τουλάχιστον της διαδικασίας της επίλυσης, αλλά με αξιώσεις και πάντως εντός του θέματος.

S.E.Louridas

dr.tasos · #11

Θα μπορούσε κάποιος να μου πει αν λύση μου παραπάνω είναι ή οχι σωστή ;

#12

dr.tasos έγραψε:για το β ερώτημα πρέπει $a^2+b \geq 2a \Leftrightarrow a^2+b+2a \geq 0$ παρατηρώ ότι για να ισχύει για κάθε $a \in \mathbb{R}$ πρέπει η παράσταση να είναι πάντα μη αρνητική αρα πρέπει για να γίνει τετράγωνο. Παρακαλώ αν έχω κάποιο λάθος να με διορθώσετε .

Αγαπητέ Τάσο, δεν ξέρω σε ποια τάξη πηγαίνεις!

Όταν διδαχτείς το τριώνυμο και το πρόσημό του (ύλη Α΄ Λυκείου), θα δεις ότι για να είναι για κάθε $a \in \mathbb{R}$ θετική η παράσταση a^2+2a+b

αρκεί να είναι $b \geq 1$

(Βρίσκουμε το πρόσημο της Διακρίνουσάς της και διακρίνουμε περιπτώσεις...)
Δεν ξέρω αν πρέπει να το αναλύσουμε τώρα, αν είσαι σε μικρότερη τάξη.

Πάντως ότι θες, ρώτησε το!

#13

dr.tasos έγραψε:για το β ερώτημα πρέπει $a^2+b \geq 2a \Leftrightarrow a^2+b+2a \geq 0$ παρατηρώ ότι για να ισχύει για κάθε $a \in \mathbb{R}$ πρέπει η παράσταση να είναι πάντα μη αρνητική αρα πρέπει για να γίνει τετράγωνο. Παρακαλώ αν έχω κάποιο λάθος να με διορθώσετε .

Ναι, υπάρχει μικρό πρόβλημα εδώ: Γιατί πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο; Π.χ. γιατί να μην είναι τέταρτη δύναμη ενός αλλόκοτου πράγματος (όχι πολυωνύμου αλλά κάτι πιο δύσκολου);

Αυτό που έχεις δείξει είναι ότι αρκεί να είναι τέλειο τετράγωνο, αλλά αυτό δεν μας απαντά την ερώτηση.

Για ξαναδές το!

Φιλικά,

Μιχάλης

dr.tasos · #14

Πάω Α λυκείου ωστόσο δεν έχω διδαχθεί το πρόσημο τριωνυμου ( ακόμη τουλαχιστον )

spiros filippas · #15

dr.tasos έγραψε:Πάω Α λυκείου ωστόσο δεν έχω διδαχθεί το πρόσημο τριωνυμου ( ακόμη τουλαχιστον )

Δεν χρειάζεται για τη λύση της άσκησης:

nsmavrogiannis έγραψε:....β) Πως πρέπει να επιλέξουμε τον αριθμό $\beta$ ώστε για κάθε θετικό αριθμό $\alpha$ να ισχύει $\alpha +\frac{\beta }{\alpha }\geq 2$ ;

Για $b\geq1$ παίρνεις από το πρώτο ερώτημα $\displaystyle a+\frac{b}{a}\geq a+\frac{1}{a}\geq2$ ενώ αν υποθέσεις b<1

πάρε

το οποίο δίνει:

$\displaystyle a+\frac{b}{a}=1+\frac {b}{1}<2$ , αδύνατο

Αρα η απαντηση είναι $b\geq1$

S.E.Louridas · #16

Όταν κινείσαι σε διάστημα από το Μαθηματικού ταλέντο του Σπύρου Φίλιππα έως και τον Άριστο Μαθηματικό με ερευνητικές παρεμβάσεις Νίκο Μαυρογιάννη, συμμετέχεις. Εγώ θα καταθέσω την διαπραγμάτευση μου θέλοντας να επισημάνω ότι η σωστή χρήση της γλώσσας ,εν προκειμένω της Ελληνικής, για την αποκωδικοποίηση της εκφώνησης ενός Μαθηματικού προβλήματος είναι καθοριστική. Στην περίπτωση μας ο ποσοδείκτης «για κάθε θετικό α» παίζει σημαντικό ρόλο, όπως και ο «υπάρχει τουλάχιστον ένας », χωρίς καν να χρειαστεί να τους ονοματίσουμε σαν έτσι, απλά το «περνάμε» σιγά-σιγά μέσω συλλογισμών.

♦ Έστω ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός β, τέτοιος που
$\alpha + \frac{\beta } {\alpha } \geqslant 2\quad \left( 1 \right),$ για κάθε θετικό αριθμό α. Τότε έχουμε: $\alpha + \frac{\beta } {\alpha } \geqslant 2 \Rightarrow \alpha ^2 - 2\alpha \geqslant - \beta \Rightarrow \left( {\alpha - 1} \right)^2 \geqslant 1 - \beta ,$ για κάθε θετικό αριθμό α, άρα και για α=1, για να φτάσουμε στην ελάχιστη τιμή του $\left( {\alpha - 1} \right)^2 ,$ που είναι η τιμή 0 (μηδέν), οπότε παίρνουμε: $0 \geqslant 1 - \beta \Rightarrow \beta \geqslant 1.$ Για β=1, ήδη έχουμε την ισχύ της (1), από το πρώτο ερώτημα. Εδώ βάζουμε το ερώτημα: Είναι ο αριθμός β=1 μοναδικός;
Έδω θα εξετάσουμε την ύπαρξη θετικού αριθμού k, ώστε η (1) να ισχύει για β=1+k. Τότε πράγματι θα έχουμε: $\alpha + \frac{{1 + k}} {\alpha } = \alpha + \frac{1} {\alpha } + \frac{k} {\alpha } > 2,$ γιά τον τυχόντα θετικό k. Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα: Η (1) ισχύει για κάθε $\beta \geq 1.$

S.E.Louridas

Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Re: Μια κατά το ήμισυ γνωστή

Μέλη σε σύνδεση