Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Να βρεθει ο αριθμος των λυσεων της ακολουθης εξισωσης :
- Συνημμένα
-
- eq1.png (3.77 KiB) Προβλήθηκε 1509 φορές
τελευταία επεξεργασία από papel σε Παρ Σεπ 04, 2009 9:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Jeremy Bentham
- Χρήστος Λαζαρίδης
- Δημοσιεύσεις: 656
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
- Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
- Επικοινωνία:
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Για την εξυπνότατη άσκηση του papel, νομίζω ότι;
Οι συναρτήσεις και είναι αντίστροφες και οι γραφικές τους παραστάσεις δεν έχουν κοινά σημεία.
Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.
Φιλικά Χρήστος
Οι συναρτήσεις και είναι αντίστροφες και οι γραφικές τους παραστάσεις δεν έχουν κοινά σημεία.
Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.
Φιλικά Χρήστος
τελευταία επεξεργασία από Χρήστος Λαζαρίδης σε Παρ Σεπ 04, 2009 9:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Χρηστο το 1/16 ειναι βαση και οχι 1/16*χ.Οποτε μετα την διευκρινηση ελπιζω να την ξανακοιταξεις.
"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Jeremy Bentham
- Χρήστος Λαζαρίδης
- Δημοσιεύσεις: 656
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
- Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
- Επικοινωνία:
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
papel
Η πληκτρολόγηση μου είναι χάλια,αλλά το 1/16 το θεωρώ σαν βάση.
Φιλικά Χρήστος
Νομίζω ότι το διόρθωσα
Η πληκτρολόγηση μου είναι χάλια,αλλά το 1/16 το θεωρώ σαν βάση.
Φιλικά Χρήστος
Νομίζω ότι το διόρθωσα
Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Χρηστο να το ξαναδιατυπωσω ειναι ο λογαριθμος του χ με βαση το 1/16.Λοιπον
σου δινω μια λυση (x,y)=(1/4,1/2).Tωρα Χρηστο ;
(Δεν ειναι εξυπνη ειναι δυστρωπη και κακια)
σου δινω μια λυση (x,y)=(1/4,1/2).Tωρα Χρηστο ;
(Δεν ειναι εξυπνη ειναι δυστρωπη και κακια)
"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Jeremy Bentham
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Παρατηρηστε οτι το x=1/2 ειναι λυση... παντως η ασκηση δεν νομιζω να ειναι και τοσο για ολυμπιαδες...
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Το θεμα ειναι να δειξουμε οτι εχει ενα συγκεκριμενο αριθμο λυσεων.
Λοιπον ο Χρηστος εκανε μια σωστη παρατηρηση οτι οι συναρτησεις στο LHS και
RHS της ανισοτητας ειναι αντιστροφες.Αρα τα γραφηματα τεμνονται πανω σε ποια
ευθεια;Την y=x.Τελικα δυο λυσεις (χ=1/4,χ=1/2).Μενει να δειξουμε οτι η εξισωση δεν
εχει τρεις λυσεις;Θυμιζει κατι;
Λοιπον ο Χρηστος εκανε μια σωστη παρατηρηση οτι οι συναρτησεις στο LHS και
RHS της ανισοτητας ειναι αντιστροφες.Αρα τα γραφηματα τεμνονται πανω σε ποια
ευθεια;Την y=x.Τελικα δυο λυσεις (χ=1/4,χ=1/2).Μενει να δειξουμε οτι η εξισωση δεν
εχει τρεις λυσεις;Θυμιζει κατι;
"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Jeremy Bentham
- Χρήστος Λαζαρίδης
- Δημοσιεύσεις: 656
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
- Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
- Επικοινωνία:
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Έχεις δικιο Papel. Άργησα αλλά τόπιασα.
Φιλικά Χρηστος
Φιλικά Χρηστος
Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Αυτο ειναι λαθος. Ισχυει οταν η συναρτηση ειναι γνησιως αυξουσα, εδω η f ειναι φθινουσα, πχ το 1/2 ειναι λυση ομως f(1/2) = 1/4 ...papel έγραψε:Αρα τα γραφηματα τεμνονται πανω σε ποια
ευθεια;Την y=x.
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Nick αυτη η συζητηση εχει γινει εκτενεστατα (σημεια τομης αντιστροφων).Ανεβασα την λυση και αυτος μιλαει για την ιδια ευθεια.
Χρηστο ελπιζω διαβαζοντας να ειδες το πνευμα της ασκησης.
Χρηστο ελπιζω διαβαζοντας να ειδες το πνευμα της ασκησης.
- Συνημμένα
-
- solution.png (72.39 KiB) Προβλήθηκε 1425 φορές
"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Jeremy Bentham
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Δεν καταλαβαινω γιατι ολες οι υπολοιπες ριζες θα πρεπει να ειναι πανω στην 1η διχοτομο. Η 1/χ πχ εχει αντιστροφη την ιδια αλλα εχει μονο δυο κοινα σημεια με την y=x, εχετε κανενα λινκ με τη συζητηση που λετε?papel έγραψε:Nick αυτη η συζητηση εχει γινει εκτενεστατα (σημεια τομης αντιστροφων).Ανεβασα την λυση και αυτος μιλαει για την ιδια ευθεια.
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Nick εδω http://apeironews.blogspot.com/
Κατεβασε ολα τα τευχη (4) του περιοδικου που εκδιδει η τοπικη ΕΜΕ.Βασικα ηταν
μια διαμαχη μεταξυ του κ.Πετρακη και αλλων μαθηματικων.
Κατεβασε ολα τα τευχη (4) του περιοδικου που εκδιδει η τοπικη ΕΜΕ.Βασικα ηταν
μια διαμαχη μεταξυ του κ.Πετρακη και αλλων μαθηματικων.
"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Jeremy Bentham
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Δεν τα διαβασα ολα, αλλα διαβασα το κειμενο που αναφερει το λαθος που ειχε γινει και συμφωνω με οσα γραφει... ετσι κι αλλιως υπαρχουν πολλα αντιπαραδειγματα οτι οι αντιστροφες συναρτησεις δεν τεμνονται μονο στην διχοτομο... Αυτο που γραφει αρχικα η λυση που δωσατε ειναι λαθος, εφοσον η συναρτηση δεν ειναι αυξουσα και εφοσον δεν δινεται καποια "ειδικη αποδειξη" για το οτι η συγκεκριμενη συναρτηση δεν ανοικει στα αντιπαραδειγματα που ανεφερα πιο πανω. Παρ ολα αυτα, στη λυση που ανεβασατε αν και αρχικα γραφει οτι οι λυσεις θα ανοικουν στην 1η διχοτομο, δεν το χρησημοποιει πουθενα και δινει μετα μια ολοσωστη αποδειξη στο οτι η εξισωση δεν μπορει να εχει αλλη λυση (λυνει την f(f(x)) = x και οχι την f(x)=x)papel έγραψε:Nick εδω http://apeironews.blogspot.com/
Κατεβασε ολα τα τευχη (4) του περιοδικου που εκδιδει η τοπικη ΕΜΕ.Βασικα ηταν
μια διαμαχη μεταξυ του κ.Πετρακη και αλλων μαθηματικων.
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Nick1990 μετά αν θες μπορείς να διαβάσεις και εδώ viewtopic.php?f=6&t=332&start=0 όπως και εδώ viewtopic.php?f=61&t=2396
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Έχουμε ήδη δύο ρίζες. Τι γίνεται όμως με την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης διαφοράς :
Ας την υπολογίσει κάποιος και αν δεν έχει ρίζες έχουμε τελειώσει.
Διαφορετικά το ξαναβλέπουμε ! Αλλά αν έχει κάποιος το ΜΑΤΗΕΜΑΤΙCA , ας σχεδιάσει τις δύο καμπύλες να έχουμε τουλάχιστον την απάντηση για το πλήθος των ριζών.
Μπάμπης
Ας την υπολογίσει κάποιος και αν δεν έχει ρίζες έχουμε τελειώσει.
Διαφορετικά το ξαναβλέπουμε ! Αλλά αν έχει κάποιος το ΜΑΤΗΕΜΑΤΙCA , ας σχεδιάσει τις δύο καμπύλες να έχουμε τουλάχιστον την απάντηση για το πλήθος των ριζών.
Μπάμπης
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Ανεβασα μερικες παλετες για το λογισμικο Mathematica που αυτοματοποιουν την
δημιουργια γραφηματος.Στην εκδοση 7 μπορειτε να τις εγκαταστησετε μονιμα.
Ελπιζω να φανουν χρησιμες.
Ροδολφε το γραφικο αποτελεσμα ερχεται σε αντιθεση με την αποδειξη.
δημιουργια γραφηματος.Στην εκδοση 7 μπορειτε να τις εγκαταστησετε μονιμα.
Ελπιζω να φανουν χρησιμες.
Ροδολφε το γραφικο αποτελεσμα ερχεται σε αντιθεση με την αποδειξη.
- Συνημμένα
-
- graph.rar
- (29.59 KiB) Μεταφορτώθηκε 65 φορές
"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Jeremy Bentham
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Ροδόλφε καλημέρα !R BORIS έγραψε:φαίνεται χα έχει 3 ρίζες
α) Η συνάρτηση τέμνει την σε ένα ακριβώς σημείο. Απο το σημείο αυτό περνάει σίγουρα και η αντίστροφη.Έχουμε λοιπόν μια σίγουρη λυση που είναι η τετμημένη του σημείου τομής που αναφέραμε. Έχουμε και δύο λύσεις με παρατήρηση, διαφορετικές σίγουρα από την πρώτη. Έτσι φαίνεται ότι έχουμε τρεις τουλάχιστον λύσεις.
β) Η τρίτη παράγωγος δεν δείχνει από πρώτη ματιά να μην μηδενίζεται, οπότε δεν μπορώ να συμπεράνω ότι η εξίσωση έχει ακριβώς τρεις λύσεις. Η δεύτερη παράγωγος πρέπει να έχει δύο τουλάχιστον ρίζες(στο (0,1) πάντα). Αν καταφέρουμε να το αποδείξουμε αυτό τελειώνουμε. Αλλά μια τέτοια αποδειξη, αν το δεις, μοιάζει βουνό, διότι το θέμα ανάγεται στο πλήθος των κοινών σημείων μας εκθετικής με βάση 16 και μιας παραβολής y = x^2 με συντελεστή τον κύβο του ln16.
γ) Η λύση του αγγλικού κειμένου είναι προφανές ότι έχει μαθηματικά κενά.
ΠΡΟΣΘΗΚΗ
Μέχρι να εγκαταλείψω την οθόνη, έκανα και την εξής σκέψη. Αφού αναζητάμε τις λύσεις στο (0,1) (εκεί μόνο μπορεί να υπάρχουν), λογαρίθμησα την αρχική ισότητα και πήρα τη νέα συνάρτηση διαφοράς.
Αυτή δίνει παράγωγο(αν δεν έκανα λάθος στις πράξεις) την . Η δεύτερη παράγωγος τώρα ,που με την προυπόθεση ότι εξίσωση έχει και τέταρτη ρίζα , θα έχει δύο τουλάχιστον ρίζες, είναι η
Αλλά αυτή έχει μόνο μία ρίζα και τελειώνουμε. Δεν μένει παρά να κάνω τις πράξεις ξανά , διότι τις έκανα πολύ γρήγορα.
Μπάμπης
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Γειά σας
Σχετική με το θέμα συζήτησης είναι η πολύ ενδιαφέρουσα εργασία του Μπάμπη Τουμάση που δημοσιεύθηκε πριν 15 χρόνια στον Ευκλείδη Β'.
Μπάμπης Τουμάσης_Πόσο καλά έχουμε κατανοήσει την εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β', 1994 (3), σ. 52-55.
Λόγω μεγέθους του αρχείου (ξεπερνάει τα 7 Mb) την ανέβασα στο Ι.file.it και όχι εδώ. Άν μπορέσω να μικρύνω το αρχείο χωρίς να χάσει πολύ σε ευκρίνεια θα το ανεβάσω και στο mathematica. Για την ώρα όσοι ενδιαφέρονται μπορούν να το βρουν στον σύνδεσμο:
http://ifile.it/y3xvmoq
Μαυρογιάννης
Σχετική με το θέμα συζήτησης είναι η πολύ ενδιαφέρουσα εργασία του Μπάμπη Τουμάση που δημοσιεύθηκε πριν 15 χρόνια στον Ευκλείδη Β'.
Μπάμπης Τουμάσης_Πόσο καλά έχουμε κατανοήσει την εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β', 1994 (3), σ. 52-55.
Λόγω μεγέθους του αρχείου (ξεπερνάει τα 7 Mb) την ανέβασα στο Ι.file.it και όχι εδώ. Άν μπορέσω να μικρύνω το αρχείο χωρίς να χάσει πολύ σε ευκρίνεια θα το ανεβάσω και στο mathematica. Για την ώρα όσοι ενδιαφέρονται μπορούν να το βρουν στον σύνδεσμο:
http://ifile.it/y3xvmoq
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση
Χάρη στη βοήθεια του Αλέξανδρου Συγκελάκη που ανάμεσα στα άλλα πράγματα που είναι καλός είναι και δεινός κομπιουτεράς είμαι σε θέση να ανεβάσω το άρθρο του Μπάμπη Τουμάση σε ένα λογικό μέγεθος και στον δικό μας ιστότοπο:
Μαυρογιάννης Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 6 επισκέπτες