ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

1. Αν $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1}$ και $\displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1}$ . με $\displaystyle{a , b , c \neq 0}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{xy +yz +zx=0}$

2. Αν οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{a , a+d , a+2d}$ , είναι πρώτοι, μεγαλύτεροι του

, να αποδείξετε ότι το

διαιρεί το

3. Στην πλευρά

ισοσκελούς τριγώνου ABC

, (

), θεωρούμε σημεία M , N

τέτοια ώστε NM=AM

, και
$M\hat AC=B\hat AN$ . Να υπολογίσετε την γωνία $C\hat AN$

4. Ο καθηγητής έγραψε το τριώνυμο $\displaystyle{x^2 +10x+20}$ στον πίνακα. Στη συνέχεια κάποιοι μαθητές ε'ιτε πρόσθεταν

, είτε αφαιρούσαν

, (όχι και τα δύο ταυτόχρονα), από τον συντελεστή του

, ή από τον σταθερό όρο και μετά από λίγο, εμφανίσθηκε το τριώνυμο : $\displaystyle{x^2 +20x +10}$ . Nα αποδείξετε ότι κάποιο από τα τριώνυμα που εμφανίσθηκαν διαδοχικά στον πίνακα είχε ακέραιες ρίζες.

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: 4. Ο καθηγητής έγραψε το τριώνυμο $\displaystyle{x^2 +10x+20}$ στον πίνακα. Στη συνέχεια κάποιοι μαθητές ε'ιτε πρόσθεταν , είτε αφαιρούσαν , (όχι και τα δύο ταυτόχρονα), από τον συντελεστή του , ή από τον σταθερό όρο και μετά από λίγο, εμφανίσθηκε το τριώνυμο : $\displaystyle{x^2 +20x +10}$ . Nα αποδείξετε ότι κάποιο από τα τριώνυμα που εμφανίσθηκαν διαδοχικά στον πίνακα είχε ακέραιες ρίζες.

Όμορφο. Συμβολίζουμε με

τον συντελεστή του

και με

τον σταθερό όρο. Έστω d = a-b

. Παρατηρούμε ότι αρχικά έχουμε d=10

ενώ τελικά έχουμε d=-10

. Επίσης σε κάθε βήμα το

είτε αυξάνεται είτε μειώνεται κατα

. Πρέπει λοιπόν σε κάποιο βήμα να έχουμε d=1

. Τότε όμως a=b+1

. Το τριώνυμο σε αυτό το βήμα θα ισούται με x^2 + (b+1)x + b = (x+b)(x+1)

και άρα θα έχει ρίζες τα

και

που είναι και τα δύο ακέραιοι.

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:2. Αν οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{a , a+d , a+2d}$ , είναι πρώτοι, μεγαλύτεροι του , να αποδείξετε ότι το διαιρεί το

Αφού ο

είναι πρώτος μεγαλύτερος του

, θα έχουμε ότι: $\displaystyle{a=3k+1}$ , ή $\displaystyle{a=3k+2}$ , όπου $\displaystyle{k\epsilon N^{*}}$

Για να αποδείξουμε ότι ο $\displaystyle{d}$ διαιρείται με το

, αρκεί να δείξουμε ότι ο $\displaystyle{d}$ διαιρείται με το

και με το

,

(εφόσον οι αριθμοί

και

είναι πρώτοι μεταξύ τους).

Όμως ο $\displaystyle{d}$ , αποκλείεται να είναι περιττός, διότι αν αυτό συνέβαινε, τότε επειδή και ο $\displaystyle{a}$ είναι εξ υποθέσεως περιττός, θα είχαμε ότι $\displaystyle{a+d=}$ άρτιος, πράγμα που είναι άτοπο, εξ υποθέσεως.
Άρα ο $\displaystyle{d}$ είναι άρτιος και άρα διαιρείται με το

.

Μένει τώρα να αποδείξουμε ότι ο $\displaystyle{d}$ , διαιρείται και με το

.

Πράγματι, έστω ότι $\displaystyle{d=3m+1 , m\epsilon N}$ . Τότε :

Aν $\displaystyle{a=3k+1}$ , θα είναι $\displaystyle{a+2d=3k+1+2(3m+1)=3k+6m+3=3(k+2m+1)}$ και αφού $\displaystyle{a+2d>3}$ , συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός αυτός δεν είναι πρώτος, που είναι άτοπο από την υπόθεση.

Αν πάλι ήταν $\displaystyle{a=3k+2}$ , τότε $\displaystyle{a+d=3k+2+3m+1=3k+3m+3=3(k+m+1)}$ και άρα και πάλι καταλήγουμε σε άτοπο.

Συνεπώς, αποκλείεται να είναι $\displaystyle{d=3m+1}$

Έστω ότι είναι $\displaystyle{d=3m+2}$ , $\displaystyle{m\epsilon N}$ . Τότε πάλι καταλήγουμε σε άτοπο με τον ίδιο όπως και πριν τρόπο.

Άρα υποχρεωτικά θα είναι $\displaystyle{d=3m , m\epsilon N}$ , δηλαδή ο $\displaystyle{d}$ διαιρείται με το

και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ch.Chortis · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1}$ και $\displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1}$ . με $\displaystyle{a , b , c \neq 0}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{xy +yz +zx=0}$

Καλησπέρα σε όλα τα μέλη του

.
Παρατηρούμε οτι από την εκφώνηση μας δίνεται η δυνατότητα να γράψουμε
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 \Leftrightarrow \\ a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow \\ 2(ab+bc+ac)=ab+bc+ac=0~(\star)$
(αφού: a+b+c=(a+b+c)^2=1

)
Έπίσης εχουμε:
συγκρίνοντας τα κλάσματα:
$\dfrac {y} {b}=\dfrac {c} {z} \Leftrightarrow cy=bz$
$\dfrac {x} {a}=\dfrac {y} {b} \Leftrightarrow ay=bx$
και προσθέτοντας κατα μέλη:
$(a+c)y=b(x+z) \Leftrightarrow (1-b)y=b(x+z) \\ \Leftrightarrow y=b(x+y+z)$
Όμοια βρίσκουμε:
$x=a(x+y+z) \\ z=c(x+y+z)$
Άρα η ζητούμενη(για απόδειξη) σχέση γράφεται:
$xy+yz+xz=ab(x+y+z)^2+bc(x+y+z)^2+ac(x+y+z)^2=\\(ab+bc+ac)(x+y+z)^2$
Αρκεί ένας από τους παράγοντες να είναι ίσος με

Πράγματι,λόγω $(\star)$ ισχύει κάτι τέτοιο.
Άρα αποδείχθηκε.

#5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1}$ και $\displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1}$ . με $\displaystyle{a , b , c \neq 0}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{xy +yz +zx=0}$

΄
Ας δούμε και μια λίγο διαφορετική λύση, μετά από αυτήν του φίλου μας Ch.Chortis:

Συχνά, όταν δίνονται ίσοι λόγοι, τους ονομάζουμε με κάποιο γράμμα.

Έτσι, ονομάζουμε: $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k}$ . Τότε:

$\displaystyle{x=ka , y=kb , z=kc}$ . Άρα:

$\displaystyle{xy+xz+yz=k^2 ab+k^2 ac +k^2 bc =k^2 (ab+ac+bc)=0}$ , διότι όπως ήδη έχει αποδείξει πιο πάνω ο Ch.Chortis, είναι

$\displaystyle{ab+ac+bc=0}$

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1}$ και $\displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1}$ . με $\displaystyle{a , b , c \neq 0}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{xy +yz +zx=0}$

Ένας άλλος τρόπος με αναλογίες

$\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} = K}$ άρα $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} = K = \frac{x+y+z}{a+b+c}= \frac{x+y+z}{1}}$ άρα $\displaystyle{x+y+z = K}$ (1)

Επίσης $\displaystyle{(\frac{x}{a})^2=(\frac{y}{b})^2=(\frac{z}{c})^2 = K^2}$ οπότε $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2} = K^2 = \frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}= \frac{x^2+y^2+z^2}{1} }$
Δηλαδή x^2+y^2+z^2 = K^2

(2)
Απο (1) και (2) έχουμε $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 + 2xy + 2yz + 2xz = x^2+y^2+z^2$
$\Leftrightarrow 2xy + 2yz + 2xz =0 \Leftrightarrow xy + yz + xz =0$

#7

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:3. Στην πλευρά ισοσκελούς τριγώνου , (), θεωρούμε σημεία τέτοια ώστε , και
$M\hat AC=B\hat AN$ . Να υπολογίσετε την γωνία $C\hat AN$

Ονομάζω $\displaystyle{\widehat{MAC}=\widehat{NAB}=w}$ και $\displaystyle{\widehat{MAN}=\widehat{MNA}=\phi}$

Τότε $\displaystyle{\widehat{C}=\widehat{CAB}=2w+\phi}$

Eπίσης $\displaystyle{\widehat{AMC}=2\phi}$ , (διότι η γωνία AMC

, είναι εξωτερική στο τρίγωνο $\displaystyle{AMN}$ )

Τώρα από το τρίγωνο $\displaystyle{AMC}$ , έχουμε: $\displaystyle{\widehat{C}+\widehat{CAM}+\widehat{AMC}=180^{o}\Rightarrow}$

$2w+\phi +w +2\phi =180^{o}\Rightarrow w+\phi =60^{o}\Rightarrow \widehat{CAN}=60^{o}$

parmenides51 · #8

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:3. Στην πλευρά ισοσκελούς τριγώνου , (), θεωρούμε σημεία τέτοια ώστε , και
$M\hat AC=B\hat AN$ . Να υπολογίσετε την γωνία $C\hat AN$

8alis 1997 3o.png (11.41 KiB) Προβλήθηκε 2153 φορές

Ονομάζω $\displaystyle{\widehat{MAC}=\widehat{NAB}=w}$ και $\displaystyle{\widehat{MAN}=\widehat{MNA}=\phi}$

Τότε $\displaystyle{\widehat{C}=\widehat{CAB}=2w+\phi}$

Eπίσης $\displaystyle{\widehat{AMC}=2\phi}$ , (διότι η γωνία , είναι εξωτερική στο τρίγωνο $\displaystyle{AMN}$ )

Τώρα από το τρίγωνο $\displaystyle{AMC}$ , έχουμε: $\displaystyle{\widehat{C}+\widehat{CAM}+\widehat{AMC}=180^{o}\Rightarrow}$

$2w+\phi +w +2\phi =180^{o}\Rightarrow w+\phi =60^{o}\Rightarrow \widehat{CAN}=60^{o}$

parmenides51 · #9

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1}$ και $\displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1}$ . με $\displaystyle{a , b , c \neq 0}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{xy +yz +zx=0}$

άλλες ιδέες εδώ κι εδώ

ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1997 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση