Εισαγωγικές Εξετάσεις 1975 - Τριγωνομετρία ΦΜΣ

apotin · #1

Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ισχύει η σχέση:

$\displaystyle{\beta = 4\gamma \,\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\rm A}}{2}} \right)\,\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{{\rm A}}{2}} \right)}$

Να δειχθεί ότι:

α) $\displaystyle{{\rm A} = 2\Gamma }$

β) $\displaystyle{{\alpha ^2} = \beta \gamma + {\gamma ^2}}$

#2

apotin έγραψε:Σε τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ισχύει η σχέση:

$\displaystyle{\beta = 4\gamma \,\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\rm A}}{2}} \right)\,\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{{\rm A}}{2}} \right)}$

Να δειχθεί ότι:

α) $\displaystyle{{\rm A} = 2\Gamma }$

β) $\displaystyle{{\alpha ^2} = \beta \gamma + {\gamma ^2}}$

Έχουμε:

$\displaystyle{b=2c[cos(\frac{\pi}{6}+\frac{A}{2}+\frac{\pi}{6}-\frac{A}{2})+cos(\frac{\pi}{6}+\frac{A}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{A}{2})]=}$

$\displaystyle{=2c(cos\frac{\pi}{3} +cosA)}$

Άρα:

$\displaystyle{b=2c(\frac{1}{2}+cosA)}$ , ΣΧΕΣΗ 1

(α) Από την ΣΧΕΣΗ 1 , έχουμε:

$\displaystyle{2RsinB=2.2RsinC(\frac{1}{2}+cosA)\Rightarrow sinB=sinC+2sinCcosA\Rightarrow}$

$\displaystyle{sin(A+C)=sinC+2sinCcosA\Rightarrow sinAcosC+cosAsinC=sinC+2sinCcosA\Rightarrow}$

$\displaystyle{sinAcosC-cosAsinC=sinC\Rightarrow sin(A-C)=sinC}$ και αφού πρόκειται για γωνίες τριγώνου, εύκολα βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{A-C=C\Rightarrow A=2C}$

(β) Από την ΣΧΕΣΗ 1 έχουμε:

$\displaystyle{b=c+\frac{b^2 +c^2 -a^2}{b}\Rightarrow b^2 =bc+b^2 +c^2 -a^2 \Rightarrow a^2 =bc+c^2}$

STOPJOHN · #3

Καλησπέρα, να θυμηθούμε τα παλιά .....Η δοθείσα σχέση γράφεται $2R\eta \mu B=8R\eta \mu \Gamma (\frac{3}{4}\sigma \upsilon \nu ^{2}\frac{A}{2}-\frac{1}{4}\eta \mu ^{2}\frac{A}{2})\Leftrightarrow \eta \mu B=\eta \mu \Gamma (3\sigma \upsilon \nu ^{2}\frac{A}{2}-\eta \mu ^{2}\frac{A}{2})\Leftrightarrow \eta \mu B=\eta \mu \Gamma (2\sigma \upsilon \nu A+1)\Leftrightarrow \eta \mu B=\eta \mu (A+\Gamma )+\eta \mu (A-\Gamma )+\eta \mu \Gamma \Leftrightarrow \eta \mu \Gamma \Leftrightarrow \eta \mu \Gamma =\eta \mu (\Gamma -A)\Leftrightarrow A=2\Gamma$
Από τους περιορισμούς στο τρίγωνο.
Για το δεύτερο ερώτημα που έχει συζητηθεί με πολλές λύσεις...
$\alpha ^{2}-\gamma ^{2}-\beta \gamma =4R^{2}\eta \mu ^{2}A-4R^{2}\eta \mu ^{2}\Gamma -4R^{2}\eta \mu B\eta \mu \Gamma =4R^{2}\left( \right](\eta \mu A-\eta \mu \Gamma )(\eta \mu A+\eta \mu \Gamma )-\eta \mu B\eta \mu \Gamma ) =4R^{2}(\eta \mu B\eta \mu (A-\Gamma ).\eta \mu (A+\Gamma) -\eta \mu B\eta \mu (A-\Gamma ))=0$
Aπό το α ερώτημα

Γιάννης

#4

Ωραιότατες λύσεις αλλά νομίζω ότι θέλουν μικρή συμπλήρωση στο σημείο

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
$\displaystyle{sin(A-C)=sinC}$ και αφού πρόκειται για γωνίες τριγώνου, εύκολα βρίσκουμε ότι
$\displaystyle{A-C=C\Rightarrow A=2C}$

STOPJOHN έγραψε: $\eta \mu \Gamma =\eta \mu (\Gamma -A)\Leftrightarrow A=2\Gamma$
Από τους περιορισμούς στο τρίγωνο.

Υπάρχει και η εκδοχή A-C=180-C

δηλαδή

, οπότε

. Αυτή όμως η περίπτωση τελικά αποκλείεται διότι τότε b=c

και η αρχική συνθήκη δίνει
$\displaystyle{c = b=2c(\frac{1}{2}+cosA)}$ , ( είναι η ΣΧΕΣΗ 1 του Δημήτρη). Έπεται $\cos A= 0$ , που αποκλείεται.

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ωραιότατες λύσεις αλλά νομίζω ότι θέλουν μικρή συμπλήρωση στο σημείο

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
$\displaystyle{sin(A-C)=sinC}$ και αφού πρόκειται για γωνίες τριγώνου, εύκολα βρίσκουμε ότι
$\displaystyle{A-C=C\Rightarrow A=2C}$

STOPJOHN έγραψε: $\eta \mu \Gamma =\eta \mu (\Gamma -A)\Leftrightarrow A=2\Gamma$
Από τους περιορισμούς στο τρίγωνο.
Υπάρχει και η εκδοχή δηλαδή Φιλικά,

Μιχάλης

Μιχάλη, καλό βράδυ.

Υπάρχει μια μικρή απροσεξία στις πράξεις.

apotin · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ωραιότατες λύσεις αλλά νομίζω ότι θέλουν μικρή συμπλήρωση στο σημείο

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
$\displaystyle{sin(A-C)=sinC}$ και αφού πρόκειται για γωνίες τριγώνου, εύκολα βρίσκουμε ότι
$\displaystyle{A-C=C\Rightarrow A=2C}$

STOPJOHN έγραψε: $\eta \mu \Gamma =\eta \mu (\Gamma -A)\Leftrightarrow A=2\Gamma$
Από τους περιορισμούς στο τρίγωνο.
Υπάρχει και η εκδοχή δηλαδή , οπότε . Αυτή όμως η περίπτωση τελικά αποκλείεται διότι τότε και η αρχική συνθήκη δίνει
$\displaystyle{c = b=2c(\frac{1}{2}+cosA)}$ , ( είναι η ΣΧΕΣΗ 1 του Δημήτρη). Έπεται $\cos A= 0$ , που αποκλείεται.

Φιλικά,

Μιχάλης

Λίγο διαφορετικά

$\displaystyle{\eta \mu \left( {{\rm A} - \Gamma } \right) = \eta \mu \Gamma \Leftrightarrow \eta \mu \Gamma + \eta \mu \left( {\Gamma - {\rm A}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2\eta \mu \frac{{2\Gamma - {\rm A}}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm A}}{2} = 0 \Leftrightarrow \eta \mu \frac{{2\Gamma - {\rm A}}}{2} = 0 \Leftrightarrow {\rm A} = 2\Gamma }$

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Υπάρχει και η εκδοχή δηλαδή

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: Μιχάλη, καλό βράδυ.

Υπάρχει μια μικρή απροσεξία στις πράξεις.

Πω πω

. Άλλη φορά όταν γράφω περί τα μεσάνυκτα μετά από κοπιαστική μέρα, υπόσχομαι ότι θα διαβάζω έξι φορές ότι γράφω, πριν το στείλω στο φόρουμ.

Δημήτρη να 'σαι καλά. Ευχαριστώ.

Φιλικά,

Μιχάλης

#8

έστω $\displaystyle{D}$ η προβολή του $\displaystyle{B}$ στην $\displaystyle{AC}$ και $\displaystyle{Ε}$ το συμμετρικό του $\displaystyle{A}$ ως προς το $\displaystyle{D}$ και $\displaystyle{M}$ το μεσον της $\displaystyle{BC}$

: Clipboard011.jpg (5.92 KiB) Προβλήθηκε 1135 φορές

Στην σχέση [1] του Δημήτρη δείξαμε ότι $\displaystyle{b=c+2c(cosA)}$

το τρίγωνο $\displaystyle{ABE}$ ε΄ναι ισοσκελές $\displaystyle{c=BA=BE}$ με βάση την $\displaystyle{AE=2AD=2c(cosA)}$ αρα η $\displaystyle{CE=CA-AE=b-2c(cosA)=c=BE}$ άρα η εξ. γωνία του $\displaystyle{BEA=2ACB=2C}$ αλλά η γωνία $\displaystyle{BEA=BAC}$ από το ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{BAE}$ Συνεπώς η γωνία $\displaystyle{A=BAC=2BEA=2C}$

το τετράπλευρο $\displaystyle{BDEM}$ είναι εγραψιμμο ( $\displaystyle{D=M=90}$ ) άρα $\displaystyle{CA.CM.CA=CE.CD}$ ή $\displaystyle{a(a/2)=c(c+c(cosA))}$ ή $\displaystyle{a^2=c(c+(c+2c(cosA))=c(c+b)=cb+c^2}$

Εισαγωγικές Εξετάσεις 1975 - Τριγωνομετρία ΦΜΣ

Εισαγωγικές Εξετάσεις 1975 - Τριγωνομετρία ΦΜΣ

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις 1975 - Τριγωνομετρία ΦΜΣ

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις 1975 - Τριγωνομετρία ΦΜΣ

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις 1975 - Τριγωνομετρία ΦΜΣ

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις 1975 - Τριγωνομετρία ΦΜΣ

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις 1975 - Τριγωνομετρία ΦΜΣ

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις 1975 - Τριγωνομετρία ΦΜΣ

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις 1975 - Τριγωνομετρία ΦΜΣ

Μέλη σε σύνδεση