Δέκα υπόλοιπα
Συντονιστής: nkatsipis
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Δέκα υπόλοιπα
Να βρεθεί φυσικός αριθμός ο οποίος αν διαιρεθεί με το δίνει υπόλοιπο , με το δίνει υπόλοιπο , με το , δίνει υπόλοιπο , ..(κλπ)... , με το , δίνει υπόλοιπο , ενώ διαιρείται ακριβώς με το .
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΄Δέκα υπόλοιπα
Ο δουλεύει. Το μόνο που δεν είναι προφανές είναι η διαιρετότητα με το 11 η οποία έπεται από το θεώρημα του Wilson.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: ΄Δέκα υπόλοιπα
Καλησπέρα Δημήτρη. Εΰχαριστώ για την άμεση απάντηση.Demetres έγραψε:Ο δουλεύει. Το μόνο που δεν είναι προφανές είναι η διαιρετότητα με το 11 η οποία έπεται από το θεώρημα του Wilson.
Γράφω και μια ακόμα λύση, που έχω υπόψιν:
Αφού ο , διαιρούμενος με το , δίνει υπόλοιπο , άρα ο ,θα πρέπει να διαιρείται με το .
Αφού ο , διαιρούμενος με το , δίνει υπόλοιπο , άρα ο , διαιρείται με το
...........................
...........................
..........................
Aφού ο , διαιρούμενος με το , δίνει υπόλοιπο , άρα ο , διαιρείται με το .
Αυτό σημαίνει, ότι ο αριθμός διαιρείται ακριβώς με τους αριθμούς .
Το ΕΚΠ των πιο πάνω αριθμών, είναι το . Άρα ο , θα είναι πολλαπλάσιο του και άρα ο ζητούμενος
αριθμός θα μπορεί να είναι ο . Παρατηρούμε ότι ο , διαιρείται ακριβώς με το .
Συνεπως είναι ένας από τους αριθμούς που ζητάμε (και νομίζω ότι είναι και ο ελάχιστος).
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΄Δέκα υπόλοιπα
Όντως είναι ο ελάχιστος. Μπορούμε να τους βρούμε όλους ως εξής:ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Συνεπως είναι ένας από τους αριθμούς που ζητάμε (και νομίζω ότι είναι και ο ελάχιστος).
Μας δίνονται οι ισοδυναμίες
Αυτές είναι ισοδύναμες με τις εξής:
[Η δεύτερη λίστα εμπεριέχεται στην πρώτη. Μπορούμε όμως να πάμε και ανάποδα. Π.χ. το δίνει και . Μαζί με το δίνει το κ.τ.λ.]
Επειδή τώρα τα είναι πρώτοι μεταξύ τους, το Kινέζικο θεώρημα λέει ότι υπάρχει μοναδικό ώστε όπου .
Υπάρχει μέθοδος για να υπολογίσουμε το . Αρχικά μπορούμε να γλιτώσουμε αρκετές πράξεις παρατηρώντας ότι τα πιο πάνω είναι ισοδύναμα με
Μετά, ψάχνουμε να βρούμε δύο ακεραίους ώστε . Τέτοιο ζεύγος μπορεί να βρεθεί τρέχοντας τον Ευκλείδιο αλγόριθμο ανάποδα. Βρίσκουμε ότι τα δουλεύουν.
Επειδή όμως , τότε το ικανοποιεί τις δύο ισοδυναμίες. Δηλαδή μπορούμε να πάρουμε .
Καταλήγουμε λοιπόν ότι το οποίο είναι και η λύση του συστήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες