ΘΑΛΗΣ 2002 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{ \alpha=-\frac{3}{2}}$ και $\displaystyle{\beta = 3}$ να βρείτε την τιμή της παράστασης:
$\displaystyle{K = \alpha^3 − (1 + \alpha) ^{-2} + 4{{\left( \frac{\beta }{\alpha }+\frac{1}{2} \right)}^{-1}} + {{\left[ {{\left( \frac{\beta }{\alpha }-2004 \right)}^{2004}} \right]}^{0}}}$ .

2. Στο σχήμα υπάρχουν $\displaystyle{10}$ ίσα τετράγωνα μεταξύ των ορθογωνίων $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ και $\displaystyle{EZH\Theta }$ . Να υπολογίσετε την πλευρά των τετραγώνων,
αν είναι γνωστό ότι το άθροισμα των εμβαδών τους ισούται αριθμητικά με το άθροισμα των περιμέτρων των ορθογωνίων $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ και $\displaystyle{EZH\Theta }$ .

: 8alis 2002 2o.png (4.21 KiB) Προβλήθηκε 3802 φορές

3. Σε μια διοργάνωση σκακιού μέσω διαδικτύου συμμετείχαν $\displaystyle{1119}$ αγόρια και κορίτσια. Το πρώτο κορίτσι έπαιξε με $\displaystyle{20}$ αγόρια, το δεύτερο κορίτσι έπαιξε με $\displaystyle{21}$ αγόρια, το τρίτο κορίτσι έπαιξε με $\displaystyle{22}$ αγόρια κ.ο.κ. μέχρι το τελευταίο κορίτσι που έπαιξε με όλα τα αγόρια.
Να βρείτε πόσα ήταν τα αγόρια και πόσα ήταν τα κορίτσια.

4. Στο σχήμα η $\displaystyle{\Gamma E}$ είναι διάμετρος του κύκλου $\displaystyle{(O, R)}$ , η γωνία $\displaystyle{\widehat{\Gamma O B} =\omega }$ είναι τριπλάσια της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A O E} =\varphi }$ και το εμβαδό του κυκλικού τομέα $\displaystyle{(O,AEB)}$ ισούται με $\displaystyle{\frac{1}{3} \pi R^2}$ .
α) Να βρείτε τις γωνίες $\displaystyle{\omega,\varphi}$ .
β) Να βρείτε το λόγο $\displaystyle{\frac{{{E }_{\kappa .\tau .}}(BZ\Gamma )}{{{E }_{\kappa .\tau .}}(AH\Gamma )}}$ των εμβαδών των κυκλικών τομέων $\displaystyle{BZ\Gamma}$ και $\displaystyle{AH\Gamma}$ .

: 8alis 2002 4o.png (12.72 KiB) Προβλήθηκε 3802 φορές

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε: 3. Σε μια διοργάνωση σκακιού μέσω διαδικτύου συμμετείχαν $\displaystyle{1119}$ αγόρια και κορίτσια. Το πρώτο κορίτσι έπαιξε με $\displaystyle{20}$ αγόρια, το δεύτερο κορίτσι έπαιξε με $\displaystyle{21}$ αγόρια, το τρίτο κορίτσι έπαιξε με $\displaystyle{22}$ αγόρια κ.ο.κ. μέχρι το τελευταίο κορίτσι που έπαιξε με όλα τα αγόρια.
Να βρείτε πόσα ήταν τα αγόρια και πόσα ήταν τα κορίτσια.

εδώ

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{ \alpha=-\frac{3}{2}}$ και $\displaystyle{\beta = 3}$ να βρείτε την τιμή της παράστασης:
$\displaystyle{K = \alpha^3 − (1 + \alpha) ^{-2} + 4{{\left( \frac{\beta }{\alpha }+\frac{1}{2} \right)}^{-1}} + {{\left[ {{\left( \frac{\beta }{\alpha }-2004 \right)}^{2004}} \right]}^{0}}}$ .

$\displaystyle{ \frac{\beta }{\alpha }= \frac{3 }{\displaystyle-\frac{3}{2} }= \frac{\displaystyle\frac{3}{1} }{-\displaystyle\frac{3}{2} }=-\frac{3 \cdot2 }{1 \cdot 3}=- \frac{2 }{1}=-2}$

$\displaystyle{K = \alpha^3 − (1 + \alpha) ^{-2} + 4{{\left( \frac{\beta }{\alpha }+\frac{1}{2} \right)}^{-1}} + {{\left[ {{\left( \frac{\beta }{\alpha }-2004 \right)}^{2004}} \right]}^{0}}}$
$\displaystyle{K =\left( -\frac{3}{2}\right)^3 − \left( 1 -\frac{3}{2}\right) ^{-2} + 4{{\left(-2+\frac{1}{2} \right)}^{-1}} + {{{\left(-2-2004 \right)}^{2004 \cdot 0}} }}}$
$\displaystyle{K =-\left( \frac{3}{2}\right)^3 − \left(\frac{2}{2} -\frac{3}{2}\right) ^{-2} + 4{{\left(-\frac{4}{2}+\frac{1}{2} \right)}^{-1}} + {\left(-2006 \right)}^{0}}}$
$\displaystyle{K =-\frac{3^3}{2^3} − \left( -\frac{1}{2}\right) ^{-2} + 4{{\left(-\frac{3}{2} \right)}^{-1}} + 1}$
$\displaystyle{K =-\frac{27}{8} − \left( -\frac{2}{1}\right) ^{2} + \frac{4}{1}{{\left(-\frac{2}{3} \right)} + 1}$
$\displaystyle{K =-\frac{27}{8} − (-4) -\frac{8}{3} + 1}$
$\displaystyle{K =-\frac{27}{8} +4 -\frac{8}{3} + 1}$

$\displaystyle{K =-\frac{27\cdot 3}{8\cdot 3} -\frac{8\cdot 8}{3\cdot 8} +\frac{5\cdot 24}{1\cdot 24}}$

$\displaystyle{K =-\frac{91}{24} -\frac{64}{24} +\frac{120}{24}}$

$\displaystyle{K = \frac{120}{24}-\frac{155}{24} }$

$\displaystyle{K = -\frac{35}{24} }$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:2. Στο σχήμα υπάρχουν $\displaystyle{10}$ ίσα τετράγωνα μεταξύ των ορθογωνίων $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ και $\displaystyle{EZH\Theta }$ . Να υπολογίσετε την πλευρά των τετραγώνων,
αν είναι γνωστό ότι το άθροισμα των εμβαδών τους ισούται αριθμητικά με το άθροισμα των περιμέτρων των ορθογωνίων $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ και $\displaystyle{EZH\Theta }$ .

: 8alis 2002 2o.png (4.21 KiB) Προβλήθηκε 3694 φορές

Έστω $\displaystyle{x}$ η πλευρά καθενός από τα $\displaystyle{10}$ ίσα τετράγωνα.
Αφού καθένα έχει εμβαδόν $\displaystyle{x^2}$ και τα $\displaystyle{10}$ μαζί θα έχουν άθροισμα $\displaystyle{10x^2}$ .
Το (μικρό) ορθογώνιο $\displaystyle{EZH\Theta }$ έχει πλευρές $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{2x}$ άρα έχει περίμετρο $\displaystyle{x+2x+x+2x=6x}$ .
Το (μεγάλο) ορθογώνιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ έχει πλευρές $\displaystyle{3x}$ και $\displaystyle{3x}$ άρα έχει περίμετρο $\displaystyle{3x+4x+3x+4x=14x}$ .

Έχουμε πως $\displaystyle{10x^2=6x+14x \Leftrightarrow 10x^2=20x }$

κι επειδή $\displaystyle{x\ne 0}$

$\displaystyle{\frac{10x^2}{10x}=\frac{20x}{10x } \Leftrightarrow x=2}$

#5

parmenides51 έγραψε:4. Στο σχήμα η $\displaystyle{\Gamma E}$ είναι διάμετρος του κύκλου $\displaystyle{(O, R)}$ , η γωνία $\displaystyle{\widehat{\Gamma O B} =\omega }$ είναι τριπλάσια της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A O E} =\varphi }$ και το εμβαδό του κυκλικού τομέα $\displaystyle{(O,AEB)}$ ισούται με $\displaystyle{\frac{1}{3} \pi R^2}$ .
α) Να βρείτε τις γωνίες $\displaystyle{\omega,\varphi}$ .
β) Να βρείτε το λόγο $\displaystyle{\frac{{{E }_{\kappa .\tau .}}(BZ\Gamma )}{{{E }_{\kappa .\tau .}}(AH\Gamma )}}$ των εμβαδών των κυκλικών τομέων $\displaystyle{BZ\Gamma}$ και $\displaystyle{AH\Gamma}$ .

(α) Γνωρίζουμε ότι: $\displaystyle{(O.AEB)=\frac{\pi R^2 (\phi +180-\omega)}{360}\Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{1}{3}\pi R^2 =\frac{\pi R^2 (\phi +180-3\phi)}{360}\Rightarrow \phi =30^{o}}$ , και άρα $\displaystyle{\omega =90^{o}}$ .

(β) $\displaystyle{\frac{E_{k.T}(BZ\Gamma)}{E_{k.T}(AH\Gamma)}=\frac{\frac{\pi R^2 \omega }{360}}{\frac{\pi R^2 (180-\phi)}{360}}$

$\displaystyle{=\frac{90}{150}=\frac{3}{5}}$

ΣΗΜ: Στο σχήμα, η γωνία $\displaystyle{\omega}$ , πρέπει να τοποθετηθεί από την "πάνω" πλευρά, με βάση την εκφώνηση

: 8alis%202002%204o.png (12.72 KiB) Προβλήθηκε 3642 φορές

parmenides51 · #6

Ανεβάζω και το σχήμα που συμβαδίζει με την εκφώνηση. Στην πράξη και οι δυο γωνίες βγαίνουν ορθές, οπότε δεν παίζει ρόλο ποια ζητάει.

parmenides51 έγραψε:4. Στο σχήμα η $\displaystyle{\Gamma E}$ είναι διάμετρος του κύκλου $\displaystyle{(O, R)}$ , η γωνία $\displaystyle{\widehat{\Gamma O B} =\omega }$ είναι τριπλάσια της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A O E} =\varphi }$ και το εμβαδό του κυκλικού τομέα $\displaystyle{(O,AEB)}$ ισούται με $\displaystyle{\frac{1}{3} \pi R^2}$ .
α) Να βρείτε τις γωνίες $\displaystyle{\omega,\varphi}$ .
β) Να βρείτε το λόγο $\displaystyle{\frac{{{E }_{\kappa .\tau .}}(BZ\Gamma )}{{{E }_{\kappa .\tau .}}(AH\Gamma )}}$ των εμβαδών των κυκλικών τομέων $\displaystyle{BZ\Gamma}$ και $\displaystyle{AH\Gamma}$ .

: 8alis 2002 4o.png (8.41 KiB) Προβλήθηκε 3608 φορές

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:(α) Γνωρίζουμε ότι: $\displaystyle{(O.AEB)=\frac{\pi R^2 (\phi +180-\omega)}{360}\Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{1}{3}\pi R^2 =\frac{\pi R^2 (\phi +180-3\phi)}{360}\Rightarrow \phi =30^{o}}$ , και άρα $\displaystyle{\omega =90^{o}}$ .

(β) $\displaystyle{\frac{E_{k.T}(BZ\Gamma)}{E_{k.T}(AH\Gamma)}=\frac{\frac{\pi R^2 \omega }{360}}{\frac{\pi R^2 (180-\phi)}{360}}$
$\displaystyle{=\frac{90}{150}=\frac{3}{5}}$

stefanaras69 · #7

Στην λύση της πρώτης άσκησης του Θαλή Γ΄Γυμνασίου 2002,
έχει γίνει λάθος στο (-2) με εκθέτη 2 ισούται με +4 και όχι -4

tsiartas · #8

parmenides51 έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 12, 2012 6:57 pm

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{ \alpha=-\frac{3}{2}}$ και $\displaystyle{\beta = 3}$ να βρείτε την τιμή της παράστασης:
$\displaystyle{K = \alpha^3 − (1 + \alpha) ^{-2} + 4{{\left( \frac{\beta }{\alpha }+\frac{1}{2} \right)}^{-1}} + {{\left[ {{\left( \frac{\beta }{\alpha }-2004 \right)}^{2004}} \right]}^{0}}}$ .
$\displaystyle{ \frac{\beta }{\alpha }= \frac{3 }{\displaystyle-\frac{3}{2} }= \frac{\displaystyle\frac{3}{1} }{-\displaystyle\frac{3}{2} }=-\frac{3 \cdot2 }{1 \cdot 3}=- \frac{2 }{1}=-2}$

$\displaystyle{K = \alpha^3 − (1 + \alpha) ^{-2} + 4{{\left( \frac{\beta }{\alpha }+\frac{1}{2} \right)}^{-1}} + {{\left[ {{\left( \frac{\beta }{\alpha }-2004 \right)}^{2004}} \right]}^{0}}}$
$\displaystyle{K =\left( -\frac{3}{2}\right)^3 − \left( 1 -\frac{3}{2}\right) ^{-2} + 4{{\left(-2+\frac{1}{2} \right)}^{-1}} + {{{\left(-2-2004 \right)}^{2004 \cdot 0}} }}}$
$\displaystyle{K =-\left( \frac{3}{2}\right)^3 − \left(\frac{2}{2} -\frac{3}{2}\right) ^{-2} + 4{{\left(-\frac{4}{2}+\frac{1}{2} \right)}^{-1}} + {\left(-2006 \right)}^{0}}}$
$\displaystyle{K =-\frac{3^3}{2^3} − \left( -\frac{1}{2}\right) ^{-2} + 4{{\left(-\frac{3}{2} \right)}^{-1}} + 1}$
$\displaystyle{K =-\frac{27}{8} − \left( -\frac{2}{1}\right) ^{2} + \frac{4}{1}{{\left(-\frac{2}{3} \right)} + 1}$
$\displaystyle{K =-\frac{27}{8} − (-4) -\frac{8}{3} + 1}$
$\displaystyle{K =-\frac{27}{8} +4 -\frac{8}{3} + 1}$

$\displaystyle{K =-\frac{27\cdot 3}{8\cdot 3} -\frac{8\cdot 8}{3\cdot 8} +\frac{5\cdot 24}{1\cdot 24}}$

$\displaystyle{K =-\frac{91}{24} -\frac{64}{24} +\frac{120}{24}}$

$\displaystyle{K = \frac{120}{24}-\frac{155}{24} }$

$\displaystyle{K = -\frac{35}{24} }$

Μιας και η άσκηση είναι στο βιβλίο της Γ' Γυμνασίου(σελ. 81) και την έβαλα στους μαθητές μου, να σημειώσω 2 λάθη: Στο 5ο βήμα όπως αναφέρθηκε και από τον stefanaras69 το -2 στο τετράγωνο δίνει 4 και όχι -4 και στο 8ο βήμα 3 φορές το 27 =81 και όχι 91

ΘΑΛΗΣ 2002 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2002 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση