ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

[S.E.Louridas]

Διέγραψα το μήνυμα μου που υπήρχε εδώ, επειδή θεωρήθηκε από φίλο μου και άνθρωπο που τον σέβομαι και σαν επιστήμονα και σαν ευθύ χαρακτήρα ότι άφησα αιχμές εις βάρος του.
Όμως το μήνυμα μου αυτό αναρτήθηκε με πρόθεση να υπερασπίσω υποστάσεις και όχι να σπιλώσω.

[Α.Κυριακόπουλος]

Μία διδακτορική διατριβή που είναι μία από τις καλλίτερες του είδους την οποία προφανέστατα δεν την έχει διαβάσει και την κρίνει από μία ολιγοσέλιδη παρουσίαση σε ένα περιοδικό.
Μαυρογιάννης

Τελευταίο μου μήνυμα:
Τον κ. Θωμαΐδη τον εκτιμώ όχι μόνο σαν επιστήμονα αλλά και σαν άνθρωπο. Είναι γεγονός ότι την εργασία του αυτή την είδα στο περιοδικό «διάσταση». Δεν γνώριζα ότι η παρουσίαση της εργασίας του στο περιοδικό αυτό είναι ελλιπής. Του ζητώ συγνώμη.

[Τηλέγραφος Κώστας]

Μία διδακτορική διατριβή που είναι μία από τις καλλίτερες του είδους την οποία προφανέστατα δεν την έχει διαβάσει και την κρίνει από μία ολιγοσέλιδη παρουσίαση σε ένα περιοδικό.
Μαυρογιάννης

Τελευταίο μου μήνυμα:
Τον κ. Θωμαΐδη τον εκτιμώ όχι μόνο σαν επιστήμονα αλλά και σαν άνθρωπο. Είναι γεγονός ότι την εργασία του αυτή την είδα στο περιοδικό «διάσταση». Δεν γνώριζα ότι η παρουσίαση της εργασίας του στο περιοδικό αυτό είναι ελλιπής. Του ζητώ συγνώμη.

Ένα μεγάλο μπράβο στον Δάσκαλο .
Που μας δείχνει τον δρόμο της ευθύτητας , της αλήθειας αλλά και το μεγαλείο της παραδοχής του σφάλματος.
Το καλώ να παραμείνει μαζί μας, παρά τις αντιξοότητες , το mathematica τον έχει ανάγκη.

[Μάκης Χατζόπουλος]

....
Του ζητώ συγνώμη.

Η αγάπη και η καλή διάθεση λύνει τα πάντα, ίσως όχι τα πολύπλοκα μαθηματικά προβλήματα, αλλά σίγουρα τις παρεξηγήσεις, διαφωνίες και τριβές που προκύπτουν καθημερινά στην ανασφαλή (όπως έχει γίνει με την κρίση που μας κυνηγάει) ζωή μας!

[ghan]

Δάσκαλε.

Αυτά που γράφεις και λες τα εννοείς και τα κάνεις πράξη. Μας διδάσκεις όχι μόνο Μαθηματικά αλλά και ευθύτητα και υπευθυνότητα. Θα ήταν πολύ αν σου ζητούσα να σκεφθείς ακόμα μια φορά την αποχώρηση σου; Οι γνώσεις σου και η πείρα σου μας χρειάζονται.

[Mihalis_Lambrou]

Ένα μεγάλο μπράβο στον Δάσκαλο .
Που μας δείχνει τον δρόμο της ευθύτητας , της αλήθειας αλλά και το μεγαλείο της παραδοχής του σφάλματος.
Το καλώ να παραμείνει μαζί μας, παρά τις αντιξοότητες , το mathematica τον έχει ανάγκη.

....
Του ζητώ συγνώμη.

Η αγάπη και η καλή διάθεση λύνει τα πάντα, ίσως όχι τα πολύπλοκα μαθηματικά προβλήματα, αλλά σίγουρα τις παρεξηγήσεις, διαφωνίες και τριβές που προκύπτουν καθημερινά στην ανασφαλή (όπως έχει γίνει με την κρίση που μας κυνηγάει) ζωή μας!

Δάσκαλε.

Αυτά που γράφεις και λες τα εννοείς και τα κάνεις πράξη. Μας διδάσκεις όχι μόνο Μαθηματικά αλλά και ευθύτητα και υπευθυνότητα. Θα ήταν πολύ αν σου ζητούσα να σκεφθείς ακόμα μια φορά την αποχώρηση σου; Οι γνώσεις σου και η πείρα σου μας χρειάζονται.

Λυπάμαι για τα τρία αυτά σχόλια. Εγώ δεν βλέπω συγνώμη για την σπίλωση του ονόματός ατόμων που εργάστηκαν για να προστατεύσουν το φόρουμ αφού ενήργησαν για να αποκαταστήσουν τα πράγματα μετά που καθυβρίστηκε και μειώθηκε βάναυσα η εξαιρετική διατριβή έγκριτου και εν ενεργεία συναδέλφου:

• Αποχωρώ γιατί:
α) Δεν ανέχομαι τη δικτατορία των διαχειριστών να διαγράφουν τα μηνύματα που δεν τους είναι αρεστά.

Λυπάμαι, λυπάμαι.

Εύγε στους παράγοντες που συνέβαλαν να κρατηθεί το φόρουμ στο ύψος του. Ύβρεις ελαφρά τη καρδία (ακόμη και αν συνοδεύονται από μισή συγνώμη) και επιβραβεύσεις ύβρεων είναι ξένα στο μυαλό μου.

Μιχάλης Λάμπρου

[Τηλέγραφος Κώστας]

Ένα μεγάλο μπράβο στον Δάσκαλο .
Που μας δείχνει τον δρόμο της ευθύτητας , της αλήθειας αλλά και το μεγαλείο της παραδοχής του σφάλματος.
Το καλώ να παραμείνει μαζί μας, παρά τις αντιξοότητες , το mathematica τον έχει ανάγκη.

....
Του ζητώ συγνώμη.

Η αγάπη και η καλή διάθεση λύνει τα πάντα, ίσως όχι τα πολύπλοκα μαθηματικά προβλήματα, αλλά σίγουρα τις παρεξηγήσεις, διαφωνίες και τριβές που προκύπτουν καθημερινά στην ανασφαλή (όπως έχει γίνει με την κρίση που μας κυνηγάει) ζωή μας!

Δάσκαλε.

Αυτά που γράφεις και λες τα εννοείς και τα κάνεις πράξη. Μας διδάσκεις όχι μόνο Μαθηματικά αλλά και ευθύτητα και υπευθυνότητα. Θα ήταν πολύ αν σου ζητούσα να σκεφθείς ακόμα μια φορά την αποχώρηση σου; Οι γνώσεις σου και η πείρα σου μας χρειάζονται.

Λυπάμαι για τα τρία αυτά σχόλια. Εγώ δεν βλέπω συγνώμη για την σπίλωση του ονόματός ατόμων που εργάστηκαν για να προστατεύσουν το φόρουμ αφού ενήργησαν για να αποκαταστήσουν τα πράγματα μετά που καθυβρίστηκε και μειώθηκε βάναυσα η εξαιρετική διατριβή έγκριτου και εν ενεργεία συναδέλφου:

• Αποχωρώ γιατί:
α) Δεν ανέχομαι τη δικτατορία των διαχειριστών να διαγράφουν τα μηνύματα που δεν τους είναι αρεστά.

Λυπάμαι, λυπάμαι.

Εύγε στους παράγοντες που συνέβαλαν να κρατηθεί το φόρουμ στο ύψος του. Ύβρεις ελαφρά τη καρδία (ακόμη και αν συνοδεύονται από μισή συγνώμη) και επιβραβεύσεις ύβρεων είναι ξένα στο μυαλό μου.

Μιχάλης Λάμπρου

Μιχάλη, κρίμα ....

[hsiodos]

Η συνέχιση του θέματος και μάλιστα με την τροπή που παίρνει δεν βοηθά κανένα.

Γιώργος

[chris_gatos]

Η συνέχιση του θέματος και μάλιστα με την τροπή που παίρνει δεν βοηθά κανένα.

Γιώργος

Προσυπογράφω.
Δεν ήθελα να μιλήσω αλλά μόλις είδα αυτό από το Γιώργο θέλω να πω πως καλό θα είναι να σταματήσει κάπου εδώ.

[bilstef]

με αφορμή τα περί ορισμού του Μαυρογιάννη
βρήκα και μεταφέρω εργασία από το ΕΚΠΑ
Ορισμός Μαθηματικών Εννοιών (Definition)
Ειρήνη Μπιζά, Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών
στα πλάισια του μαθήματος Διδακτική Μαθηματικών ΙΙ
http://eclass.uoa.gr/modules/document/d ... acdb7cipgi

[S.E.Louridas]

Γεια σας. Και τώρα επιστροφή σε επιστημονικό περιβάλλον.
Εννοείται ότι όλες αυτές οι Διδακτικές παρεμβάσεις μέσα στο maximum ύπαρξής τους στις μέρες μας διόρθωσαν τα κακώς κείμενα είτε συμπλήρωσαν θετικά τα καλώς κείμενα. Και αυτό βέβαια πιστοποιείται μέσω και ΜΟΝΟ των αποτελεσμάτων που σίγουρα προκύπτουν από μελέτες από μηχανισμούς μελέτης που θα έχουν γίνει για να ελέγξουν οι μελετητές τα τεκταινόμενα. Υπάρχουν τέτοιες συγκριτικές μετρήσεις;
Για παράδειγμα υπάρχει μελέτη που να πιστοποιεί πότε ο Μαθητής λύνει επιτυχέστερα Μαθηματικά προβλήματα αναφερόμενα στα απόλυτα;
1) Όταν χρησιμοποιεί ή χρησιμοποιούσε την Α΄ διαδικασία αποτέλεσμα συγκεκριμένης διδακτικής,
2) Όταν χρησιμοποιεί την Β΄ διαδικασία που διαμορφώθηκε σαν αναγκαιότητα αντικατάστασης της προηγούμενης.
Στην Ρουμανία, Βουλγαρία, Ρωσία κ.τ.λ. δια στόματος των Μπεκεάνου, Γκρόσντεφ κ.λ.π. που τα συζητούσαμε σαν συνοδοί των Ομάδων στους διαγωνισμούς πρώτα έφτιαξαν τους μηχανισμούς συμπερασματολογίας και στην συνέχεια προχωρούν στα άλλα βήμα – βήμα και με προσοχή ζηλευτή. Και τούτο για να έχουν την δυνατότητα άμεσων παρεμβάσεων σε περίπτωση "ατυχήματος".
Και βέβαια τα Τεράστια αυτά Μαθηματικά Κράτη έχουν σαν πρώτο κριτήριο κατανόησης της θεωρίας και Μαθηματικής δυνατότητας αφομοίωσης την επίλυση των Μαθηματικών προβλημάτων και Ασκήσεων για τούτο και στους υψηλού κύρους Διαγωνισμούς οι Πρωταγωνιστές είναι τα Μαθηματικά προς επίλυση Προβλήματα.

[S.E.Louridas]

Θα ήθελα να μου επιτραπεί να πληροφορήσω τους Ανθρώπους που επισκέπτονται το mathematica ότι διέγραψα από τις τοποθετήσεις μου κάτω από τον τίτλο:
ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ όλα τα κομμάτια με μη Μαθηματικό και Διδακτικό περιεχόμενο, επαναλαμβάνοντας με όλη μου την ειλικρίνεια
1)

… Κα Καλφοπούλου τους χαιρετισμούς μου στον Γιάννη Θωμαϊδη που τον εκτιμώ για το ήθος του, την επιστημοσύνη του και επειδή δεν κάθεται σε ένα γραφείο, αλλά συνεχώς κινείται προς την κατεύθυνση της προσπάθειας να διαμορφώνονται σωστά διδακτικά περιβάλλοντα για τα Μαθηματικά μας, δίνοντας πάντα φωνή στους συναδέλφους που καθημερινά μάχονται. Σημασία έχει ο πηγαιμός προς την Ιθάκη και όχι η ανυπαρξία ακόμη και... μονοπατιού, για να περπατηθεί.

2) Τον Αντώνη Κυριακόπουλο προσωπικά τον Θεωρώ Σταθερή Μαθηματική Αξία.

ευχαριστώ

[kalfokat]

με αφορμή τα περί ορισμού του Μαυρογιάννη
βρήκα και μεταφέρω εργασία από το ΕΚΠΑ
Ορισμός Μαθηματικών Εννοιών (Definition)
Ειρήνη Μπιζά, Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών
στα πλάισια του μαθήματος Διδακτική Μαθηματικών ΙΙ
http://eclass.uoa.gr/modules/document/d ... acdb7cipgi

Καλησπέρα!

Βασίλη, ενδιαφέρον και πολύ χρήσιμο άρθρο.
Απαραίτητη γνώση για όποιον επιχειρεί να διδάξει Μαθηματικά.
[Θα κάνω όμως, μέσα σε παρένθεση, μια παρατήρηση ασυνέπειας που υπάρχει στην πρώτη σελίδα, εκεί όπου γράφει:
• Ο ορισμός δίνει όνομα και περιεχόμενο σε μία νέα έννοια η οποία πρέπει να ορίζεται χωρίς αυτοαναφορά.
και ακριβώς πέντε γραμμές παρακάτω λέει
• Ο ορισμός πρέπει να είναι καλά ορισμένος [...]

Η αυτοαναφορικότητα είναι μεγάλος μπελάς τελικά. Κι εδώ κλείνω την παρένθεση]

Στο ειδικό ερώτημα περί ορισμού, στο οποίο έχει οδηγηθεί η συζήτηση που ξεκίνησε από το γενικότερο ερώτημα "τι σημαίνει διδάσκω Μαθηματικά;", θα απαντούσα με ένα άλλο ερώτημα, αν μου επιτρέπετε βέβαια, που είναι το εξής: Ο ορισμός που θα δώσουμε τι είδους ορισμός θα είναι; Ένας ορισμός "κλασικός", ένας ορισμός "αξιωματικός", ένας ορισμός "λειτουργικός" και σε τι ακριβώς θα αποσκοπεί; Εννοώ τι ακριβώς θέλουμε να εξυπηρετεί; Αν η απάντηση είναι πως αποσκοπούμε στο να διδάξουμε Μαθηματικά, τότε θα επανέλθω στο αρχικό μου ερώτημα: "και τι σημαίνει τελικά διδάσκω Μαθηματικά;"
Μήπως σημαίνει ότι είμαι συνεπής μέσα σε ένα συγκεκριμένο πλαίσιο μιας συγκεκριμένης θεωρίας; Αν ναι, τότε, μιλώντας σε όρους σχολικής εκπαίδευσης, μήπως αυτό σημαίνει πως είμαι συνεπής προς το σχολικό εγχειρίδιο, το οποίο, εν προκειμένω, διαμορφώνει το πλαίσιο της συγκεκριμένης θεωρίας;

Η πολύ ενδιαφέρουσα συλλογή ορισμών της απόλυτης τιμής που παρέθεσε ο κος Μαυρογιάννης παραπάνω, με τις σχετικές βιβλιογραφικές αναφορές, μου φέρνει στο μυαλό τις διάφορες εγκυκλίους που έρχονται κάθε μέρα στο σχολείο και ξεκινούν κάπως έτσι:
Έχοντας υπόψη:
1. Τις διατάξεις του άρθρου 16 περ. Γ΄ του Ν.1566/85 όπως συμπληρώθηκαν με τη διάταξη της παραγράφου 3 του άρθρου 6 του Ν. 1674/86
2. Τις διατάξεις του άρθρου 46 παρ.7 του Ν. 2413/96
3. Τις διατάξεις του άρθρου 21 του Ν. 2946/2001
4. Τις διατάξεις της παρ. 4 του άρθρου 6 του Ν. 3027/2002
5. Τις διατάξεις της παρ. 8 του άρθρου 1 του Ν. 3194/2003
6. Τις διατάξεις του άρθρου 31 του Ν. 3848/2010 (ΦΕΚ 71Α)

Όχι πως έχει άμεση σχέση, αλλά εμένα αυτό μου έφερε στο μυαλό και προς στιγμήν αναρωτήθηκα μήπως αυτό που διδάσκεται στα παιδιά τόσο έμμεσα όσο και άμεσα μέσω των Μαθηματικών, είναι -μεταξύ των πολλών άλλων- και η συνέπεια που πρέπει να διέπει το σύνολο των εννοιών και των κανόνων που εφαρμόζουν;
Αν ναι, τότε μπαίνουν αρκετοί περιορισμοί στο πώς θα διαχειριστούν τις έννοιες (με την προϋπόθεση βέβαια πως τις έχουν καταλάβει).
Αυτό, από την άλλη πλευρά, δεν απαιτεί απαραίτητα την αυστηρή προσήλωση στον ένα και μοναδικό ορισμό του βιβλίου, τουλάχιστον όχι ως προς τη γνώση. Αλλά θεωρώ πως το "γνωρίζω το χ" και το "εφαρμόζω το χ" δεν είναι κατ' ανάγκην ταυτόσημα. Φαντάζομαι πως για να εφαρμόσω το χ σωστά, απαιτούνται πολλά περισσότερα από το να γνωρίζω απλώς το χ.

Το πώς επιλέγει κάποιος να αντιμετωπίσει και να διδάξει τα Μαθηματικά δεν έχει να κάνει και με τη γενικότερη κουλτούρα του;

Καλό βράδυ σε όλους.

[S.E.Louridas]

Γειά σας

...Το πώς επιλέγει κάποιος να αντιμετωπίσει και να διδάξει τα Μαθηματικά δεν έχει να κάνει και με τη γενικότερη κουλτούρα του;

Προφανέστατα Ναι.
Αρκεί να μην γίνεται παραποίηση των Μαθηματικού «γίγνεσθαι», με πρώτη την παραποίηση των θεμελίων που είναι οι Μαθηματικές έννοιες πάνω στις οποίες στηρίζεται το οικοδόμημα.
Εδώ συνάδελφοι πρέπει να αποσαφηνιστεί η φράση «διαφορετικός ορισμός».
Έστω μία έννοια και δύο ορισμοί που την αφορούν. Οι ορισμοί αυτοί είναι που αναδεικνύουν την συγκεκριμένη κινητικότητα της έννοιας αυτής στο Μαθηματικό περιβάλλον, που της δίνουν δηλαδή Μαθηματική λειτουργικότητα.
Αν οι παραπάνω ορισμοί, έστω και αν αρχικά φαίνονται διαφορετικοί, αναδεικνύουν την ίδια λειτουργικότητα της έννοιας τότε δεν είναι επί της ουσίας διαφορετικοί. Είναι αυτό που λέει ο λαός: Δύο διαφορετικές όψεις του αυτού νομίσματος. Τότε μιλάμε στην Μαθηματική διάλεκτο για ισοδύναμους ορισμούς. Δεν πρόκειται λοιπόν περί αυτού του προβλήματος που δεν είναι τελικά πρόβλημα.
Το πρόβλημα θα υπήρχε όταν οι ορισμοί προσέδιδαν αλλαγή της φύσης της έννοιας πάνω στην λειτουργία της, πάνω στα συμπεράσματα που που προκύπτουν εφαρμόζοντας τους ορισμούς αυτούς. Δηλαδή άλλα συμπεράσματα να βγάζουμε με βάση την έννοια και τον πρώτο ορισμό της και άλλα με βάση την ίδια έννοια και τον δεύτερο ορισμό της. Προσωπικά δεν θεωρώ ότι αυτό είναι και ο ορισμός του επιτρεπτού στα Μαθηματικά.

[Demetres]

[Θα κάνω όμως, μέσα σε παρένθεση, μια παρατήρηση ασυνέπειας που υπάρχει στην πρώτη σελίδα, εκεί όπου γράφει:
• Ο ορισμός δίνει όνομα και περιεχόμενο σε μία νέα έννοια η οποία πρέπει να ορίζεται χωρίς αυτοαναφορά.
και ακριβώς πέντε γραμμές παρακάτω λέει
• Ο ορισμός πρέπει να είναι καλά ορισμένος [...]

Η αυτοαναφορικότητα είναι μεγάλος μπελάς τελικά. Κι εδώ κλείνω την παρένθεση]

Αν μου επιτρέπεται το χιούμορ, στο μαθηματικά το «καλώς ορισμένο» είναι καλώς ορισμένο. Ας διευκρινίσω όμως τι εννοώ.

Σε πολλές περιπτώσεις στα μαθηματικά θέλουμε να ορίσουμε κάποιες συναρτήσεις χρησιμοποιώντας κάποιες προηγούμενες γνώσεις. Π.χ. μόλις μάθαμε τι είναι οι ρητοί αριθμοί και θέλουμε να ορίσουμε μια συνάρτηση, ας την πούμε που παίρνει δυο ρητούς αριθμούς, έστω τους και δίνει το άθροισμά τους . [Φυσικά αντί γράφουμε . Έγραψα το για να φαίνεται πιο ξεκάθαρα ότι σκοπός μας είναι να ορίσουμε μια συνάρτηση.]

Πως το κάνουμε αυτό; Αν και τότε ορίζουμε Εδώ πρέπει να ελέξουμε ότι η όπως την ορίσαμε είναι «καλώς ορισμένη». Τι εννοώ με αυτό; Κατ' αρχήν τα τετριμμένα: Πρέπει να δουλεύει για κάθε ζέυγος ρητών . Ευτυχώς τα που βρίσκονται στον παρονομαστή είναι διάφορα του μηδενός οπότε δεν υπάρχει πρόβλημα. Και τώρα τα μη τετριμμένα: Οφείλουμε να ελέγξουμε ότι αν αναπαραστήσουμε τους διαφορετικά θα πάρουμε το ίδιο αποτέλεσμα. Πρέπει δηλαδή να ελέγξουμε ότι αν και τότε ισχύει και ότι Αν δεν ισχύει αυτό τότε η δεν είναι καλώς ορισμένη. (Δεν είναι καν συνάρτηση.) Αν ισχύει τότε λέμε ότι η είναι καλώς ορισμένη.

-------------------------------

Θα ήθελα να θίξω όμως ένα άλλο σημείο του άρθρου. Όπως διαβάζω, σε αυτό ο Fischbein λέει ότι «Ο ορισμός πρέπει να βασιστεί, όσο γίνεται περισσότερο, στις διαισθήσεις των μαθητών.» Θα ήθελα να ακούσω απόψεις για το πως θα μπορούσε κάποιος να το κάνει αυτό στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών. Εννοείται ότι ο ορισμός πρέπει να είναι μαθηματικώς ορθός.

[S.E.Louridas]

...Θα ήθελα να θίξω όμως ένα άλλο σημείο του άρθρου. Όπως διαβάζω, σε αυτό ο Fischbein λέει ότι «Ο ορισμός πρέπει να βασιστεί, όσο γίνεται περισσότερο, στις διαισθήσεις των μαθητών.» Θα ήθελα να ακούσω απόψεις για το πως θα μπορούσε κάποιος να το κάνει αυτό στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών. Εννοείται ότι ο ορισμός πρέπει να είναι μαθηματικώς ορθός.

Ίσως να μην κατάλαβα καλά αυτό που εννοεί ο Fischbein, αλλά οι ορισμοί των εννοιών δεν προηγούνται τουλάχιστον χρονικά από την εκάστοτε διδασκαλία τους; Μήπως θέλει να πεί: Ο ορισμός πρέπει να προσαρμοστεί, όσο γίνεται περισσότερο, στις διαισθήσεις των μαθητών;

[Demetres]

Σωτήρη το έγραψα ακριβώς όπως το μετέφρασε η κα Μπιζά. Δυστυχώς δεν έχω το άρθρο του Fischbein για να δω και πως το έγραψε ακριβώς αλλά και την συζήτηση που προηγείται/ακολουθεί.

Ακόμα και με το προσαρμοστεί αντί στο βασιστεί έχω τις επιφυλάξεις μου. Βέβαια, μιας και λέει «να βασιστεί/προσαρμοστεί όσο μπορεί περισσότερο», ως μαθηματικός θεωρώ δεκτό το επιχείρημα «Δεν μπορεί να βασιστεί/προσαρμοστεί καθόλου, οπότε ο ορισμός που δίνω ικανοποιεί το ζητούμενο του Fischbein».

[S.E.Louridas]

Προφανώς Δημήτρη και ταυτίζομαι με τις επιφυλάξεις σου, για τούτο προσπαθώ πρίν πάρω θέση (άν τελικά πάρω) να ξεκαθαρίσω τα γραφόμενα.
Για παράδειγμα πόσες διαισθήσεις (πληθυντικός) μπορεί να υπάρχουν για την έννοια Σύνολο; κ.τ.λ.

[Demetres]

Δυστυχώς θέση μπορούμε να πάρουμε μόνο πάνω στην συγκεκριμένη φράση που πιθανώς να μην αντικατοπτρίζει πλήρως το σκεπτικό του Fischbein. Ας το δούμε σαν ευκαιρεία συζήτησης παρά κριτικής.

Σκεφτόμουν αν θα έπρεπε να γράψω το όνομα του Fischbein ή όχι. Ήμουν μεταξύ δύο κακών. Αν δεν το έγραφα θα φαινόταν ότι αυτό το λέει η Μπιζά που δεν είναι ορθό από την στιγμή που η ίδια τον παραθέτει. Επειδή δεν έχουμε ούτε το πλήρες άρθρο της Μπιζά δεν μπορώ να βρω το άρθρο του Fischbein. Γνωρίζω ότι είναι από το 1987. Ένα υποψήφιο άρθρο που βρήκα μαλλον δεν βρίσκεται online ενώ ένα υποψήφιο βιβλίο που βρήκα (δείτε εδώ) δεν φαίνεται να δουλεύει το search για να ψάξω να βρω την επίμαχη φράση.

[S.E.Louridas]

Κατά την άποψη μου και σε πρώτη φάση πάνω στον προβληματισμό που έβαλε ο Δημήτρης θεωρώ, ότι η φύση των Μαθηματικών είναι τέτοια που το κτίσιμο της κατανόησης μίας έννοιας μέσω του ορισμού της, τον οποίο θα έχουμε διδάξει σωστά από Μαθηματική άποψη, γίνεται με την ισχυρότατη μέθοδο της διαδικασίας επίλυσης Μαθηματικών προβλημάτων.
Τούτο επιτυγχάνεται είτε επιλέγοντας προβλήματα που η επίλυση τους είναι σχεδόν άμεση εφαρμογή της θεωρίας, είτε επιλέγοντας πρoβλήματα όπου ενυπάρχει η αναγκαιότητα εφαρμογής της αντίστοιχης θεωρίας σε κομβικό σημείο της διαδικασίας της επίλυσης τους, τελικά επιλέγοντας προβλήματα και από τα δύο είδη.
Εν κατακλείδι η επίλυση Μαθηματικών θεμάτων, είτε την κατανοεί κανείς βλέποντας την, αλλά κύρια όταν επιτυγχάνεται από τον ίδιο τον λύτη, είναι που οδηγούν με σταθερά βήματα στην κατανόηση της θεωρίας.