Διαμέριση

#1

Με αφορμή αυτό viewtopic.php?f=13&t=14065:

Να αποδειχθεί ότι το $\displaystyle{[0,1]}$ μπορεί να διαμεριστεί σε δύο ομοιομορφικά σύνολα (με τη συνήθη τοπολογία)

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Αὐτό πραγματοποιεῖται μέ πολλούς τρόπους.

Γιά παράδειγμα, μέ τήν ἀκόλουθη διαδικασία, πού θυμίζει κατασκευή συνόλου Cantor.

Ὀνομάζομε $I_{0,0}=I$ καί $I_{1,0}=\varnothing$ . Ἀφαιροῦμε ἀρχικῶς τό [1/3,2/3]

ἀπό τό $I_{1,0}$ καί τό προσθέτομε στό $I_{1,0}$ , καί προκύπτουν τά σύνολα

$\displaystyle{ I_{0,1} = [0,1/3)\cup(2/3,1] \quad\&\quad I_{1,1}=[1/3,2/3]. }$

Μετά ἀφαιροῦμε ἀπό τό $I_{1,1}$ τό [4/9,5/9]

καί τό προσθέτομε στό $I_{0,1}$ , ὁπότε λαμβάνομε

$\displaystyle{ I_{0,2} = [0,1/3)\cup(2/3,1]\cup[4/9,5/9] \quad\&\quad I_{1,2}=[1/3,4/9)\cup(5/9,2/3]. }$

Γενικά

$\displaystyle{ I_{0,2n+1}\,=\, \bigcup_{k=0}^n \left[\frac{a_{2k}}{3^{2k}},\frac{a_{2k+1}}{3^{2k+1}}\right) \cup \bigcup_{k=0}^n \left(\frac{b_{2k}}{3^{2k+1}},\frac{b_{2k}}{3^{2k}}\right], }$

ὅπου a_k=[3^k/2]

καί

, καί

$\displaystyle{ I_{1,2n+2} \,=\, \frac{1}{3}I_{0,2n+1}+\frac{1}{3}, }$

καί μετά ἀπό ἄπειρα βήματα

$\displaystyle{ I_{0,\infty}\,=\, \bigcup_{k=0}^\infty \left[\frac{a_{2k}}{3^{2k}},\frac{a_{2k+1}}{3^{2k+1}}\right) \cup \bigcup_{k=0}^\infty \left(\frac{b_{2k}}{3^{2k+1}},\frac{b_{2k}}{3^{2k}}\right]\quad\&\quad I_{1,\infty} \,=\, \frac{1}{3}I_{0,\infty}+\frac{1}{3}, }$

τά ὁποῖα βεβαίως εἶναι ἰσομορφικά, ξένα, καί ἡ ἕνωσή τους εἶναι τό [0,1]

.

#3

Μία διαμέριση που είδα και μου άρεσε είναι η εξής:

Θεωρούμε τις ακολουθίες $\displaystyle{x_n}$ και $\displaystyle{y_n}$ σημείων του διαστήματος $\displaystyle{[0,1]}$ με δείκτες στο σύνολο των ακεραίων, τέτοιες ώστε

$\displaystyle{...<x_n<y_n<x_{n+1}<y_{n+1}<...}$ , $\displaystyle{infx_n=0}$ και $\displaystyle{supx_n=1}$ .

Φτιάχνουμε τα σύνολα $\displaystyle{ A =\{0\}\cup\left(\bigcup_{n \in \Bbb{Z}} [x_n,y_n)\right)}$ και $\displaystyle{B=\{1\}\cup\left(\bigcup_{n \in \Bbb{Z} } [y_n,x_{n+1})\right)}$ .

Προφανώς το ζεύγος $\displaystyle{A,B}$ αποτελεί μία διαμέριση του $\displaystyle{[0,1]}$

Ένας ομοιομορφισμός μεταξύ των $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ ορίζεται ως εξής:

Απεικονίζουμε ομοιομορφικά κάθε διάστημα $\displaystyle{[x_n,y_n) \subset A}$ στο διάστημα $\displaystyle{[y_{-n},x_{-n+1}) \subset B}$ και το $\displaystyle{0 \in A}$

στο $\displaystyle{1 \in B}$ .

Διαμέριση

Διαμέριση

Re: Διαμέριση

Re: Διαμέριση

Μέλη σε σύνδεση