ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*}$ και $\displaystyle{A=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}+\frac{\beta^3+1}{\alpha+1} \in\mathbb{N}^*}$ . Να δειχτεί ότι οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{\alpha^3+1}{\beta+1},\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$ είναι φυσικοί.

2. Έστω ορθογώνιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με $\displaystyle{AB= \sqrt2 A\Delta}$ . Με διάμετρο την $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ γράφουμε ημικύκλιο στο εξωτερικό του $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ και συνδέουμε τυχαίο σημείο $\displaystyle{M}$ του ημικυκλίου με τα $\displaystyle{A,B}$ . Έστω $\displaystyle{K, \Lambda}$ οι τομές των $\displaystyle{MA,MB}$ με την $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ . Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\Delta \Lambda^2 +\Gamma K^2 =AB^2}$ .

(Η άσκηση αυτή κατασκευάστηκε από τον P. Fermat και λύσεις έδωσαν οι L.Euler, R.Simson κ.α.)

3. Να δειχτεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{ A=\mathop{\underbrace{11... 1}}\limits_{\nu -\psi \eta \varphi \iota \alpha}2\mathop{\underbrace{11 ... 1}}\limits_{\nu -\psi \eta \varphi \iota \alpha}}$ είναι σύνθετος για κάθε $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}^*}$ .

4. Έστω $\displaystyle{0\le\alpha,\beta,\gamma,\delta\le1}$ και $\displaystyle{0\le x , y , z ,w \le \frac{1}{2}}$ ώστε $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma+\delta=x+y+z+w=1}$ .

Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta w {\color{red}\ge}\min \big\{\frac{\alpha+\beta}{2},\frac{\alpha+\gamma}{2},\frac{\alpha+\delta}{2},\frac{\beta+\gamma}{2},\frac{\beta+\delta}{2},\frac{\gamma+\delta}{2} \big\}}$ .

edit
Αλλαγή φοράς από $\displaystyle{\le}$ σε $\displaystyle{\ge}$ στo ζητούμενο του 4ου

sokratis lyras · #2

parmenides51 έγραψε:
3. Να δειχτεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{ A=\mathop{\underbrace{11... 1}}\limits_{\nu -\psi \eta \varphi \iota \alpha}2\mathop{\underbrace{11 ... 1}}\limits_{\nu -\psi \eta \varphi \iota \alpha}}$ είναι σύνθετος για κάθε $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}^*}$ .

.

Ο αριθμός γράφεται: $A=10^{2n}+...+2\cdot 10^n+10^{n-1}+...+1=\displaystyle\frac{10^{2n+1}+9\cdot 10^n-1}{9}=\frac{(x+1)(10x-1)}{9}$ όπου x=10^n

.Όμως είναι $10x-1\equiv 0\mod 9\Rightarrow 10x-1=9k$ .Άρα $A=k\cdot (x+1)$ .

#3

parmenides51 έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*}$ και $\displaystyle{A=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}+\frac{\beta^3+1}{\alpha+1} \in\mathbb{N}^*}$ . Να δειχτεί ότι οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{\alpha^3+1}{\beta+1},\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$ είναι φυσικοί..

Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι για τους αριθμούς $\displaystyle{x:=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}}$ και $\displaystyle{y:=\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$

ισχύει $x+y, xy \in \Bbb{Z}....$

#4

parmenides51 έγραψε:4. Έστω $\displaystyle{0\le\alpha,\beta,\gamma,\delta\le1}$ και $\displaystyle{0\le x , y , z ,w \le \frac{1}{2}}$ ώστε $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma+\delta=x+y+z+w=1}$ .

Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta w \le \min \big\{\frac{\alpha+\beta}{2},\frac{\alpha+\gamma}{2},\frac{\alpha+\delta}{2},\frac{\beta+\gamma}{2},\frac{\beta+\delta}{2},\frac{\gamma+\delta}{2} \big\}}$ .

Μήπως υπάρχει τυπογραφικό;

$d=0.1, \ c=0.2,\ a=b=0.35$ και $x= y=0.5, \ z=w=0$

parmenides51 · #5

socrates έγραψε:
parmenides51 έγραψε:4. Έστω $\displaystyle{0\le\alpha,\beta,\gamma,\delta\le1}$ και $\displaystyle{0\le x , y , z ,w \le \frac{1}{2}}$ ώστε $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma+\delta=x+y+z+w=1}$ .

Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta w \le \min \big\{\frac{\alpha+\beta}{2},\frac{\alpha+\gamma}{2},\frac{\alpha+\delta}{2},\frac{\beta+\gamma}{2},\frac{\beta+\delta}{2},\frac{\gamma+\delta}{2} \big\}}$ .

Μήπως υπάρχει τυπογραφικό;

$d=0.1, \ c=0.2,\ a=b=0.35$ και $x= y=0.5, \ z=w=0$

Ας ελέγξει κάποιος την εκφώνηση. Στις πηγές που έχω, έτσι είναι η εκφώνηση.

#6

parmenides51 έγραψε:
3. Να δειχτεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{ A=\mathop{\underbrace{11... 1}}\limits_{\nu -\psi \eta \varphi \iota \alpha}2\mathop{\underbrace{11 ... 1}}\limits_{\nu -\psi \eta \varphi \iota \alpha}}$ είναι σύνθετος για κάθε $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}^*}$ .

Παρατηρούμε την πρόσθεση (την κάνω για π.χ. n=4

για χάρη τυπογραφικής ευκολίας αλλά ισχύει για όλα τα

)

$\displaystyle{ 111110000}$ +
_____ $\displaystyle{11111}$
____________________
$\displaystyle{ 111121111}$

Δηλαδή $\displaystyle{111121111=11111\times 10000 + 11111=10001\times1111}$

που σημαίνει ότι είναι σύνθετος.

Για να γίνει πιο κατανοητό, ας γράψω τις αρχικές περιπτώσεις:

$121=11\times 11$
$11211=101\times 111}$
$1112111=1001\times 1111$
$111121111=10001\times 11111$

Γενικά

$\displaystyle{ \mathop{\underbrace{11... 1}}\limits_{\nu -\psi \eta \varphi \iota \alpha}2\mathop{\underbrace{11 ... 1}}\limits_{\nu -\psi \eta \varphi \iota \alpha}=1 \mathop{\underbrace{0... 0}}\limits_{\nu-1 -\psi \eta \varphi \iota \alpha}1\times \mathop{\underbrace{11... 1}}\limits_{\nu-1 -\psi \eta \varphi \iota \alpha}$

Φιλικά,

Μιχάλης

KARKAR · #7

2. Έστω ορθογώνιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με $\displaystyle{AB= \sqrt2 A\Delta}$ . Με διάμετρο την $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ γράφουμε ημικύκλιο στο εξωτερικό του $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$

και συνδέουμε τυχαίο σημείο $\displaystyle{M}$ του ημικυκλίου με τα $\displaystyle{A,B}$ . Έστω $\displaystyle{K, \Lambda}$ οι τομές των $\displaystyle{MA,MB}$ με την $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ .

Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\Delta \Lambda^2 +\Gamma K^2 =AB^2}$ .(Η άσκηση αυτή είναι του P. Fermat και λύσεις έδωσαν οι L.Euler, R.Simson κ.α.)

: Fermat.png (10.15 KiB) Προβλήθηκε 3960 φορές

2 . Φέρω τα MD,MC

και τα κατακόρυφα τμήματα KK' , LL'

. Εύκολα από τα προκύπτοντα

όμοια τρίγωνα , παίρνουμε : $K'KLL'\approx DABC$ και $K'KD\approx CLL'$ . Η πρώτη ομοιότητα δίνει :

y^2=2k^2

, ενώ η δεύτερη : $\displaystyle \frac{k}{x}=\frac{z}{k}\Leftrightarrow 2k^2=2xz$ .

Τώρα έχουμε : DL^2+KC^2=(x+y)^2+(y+z)^2=x^2+2xy+y^2+y^2+2xz+z^2

parmenides51 · #8

Η φορά στο 4ο είναι ανάποδα, όπως με ενημέρωσε ο Δημήτρης. Τυπογραφικό ήταν λοιπόν. Σωστός ο socrates.

#9

parmenides51 έγραψε:4. Έστω $\displaystyle{0\le\alpha,\beta,\gamma,\delta\le1}$ και $\displaystyle{0\le x , y , z ,w \le \frac{1}{2}}$ ώστε $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma+\delta=x+y+z+w=1}$ .

Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta w {\color{red}\ge}\min \big\{\frac{\alpha+\beta}{2},\frac{\alpha+\gamma}{2},\frac{\alpha+\delta}{2},\frac{\beta+\gamma}{2},\frac{\beta+\delta}{2},\frac{\gamma+\delta}{2} \big\}}$ .

edit
Αλλαγή φοράς από $\displaystyle{\le}$ σε $\displaystyle{\ge}$ στo ζητούμενο του 4ου

Είχα την υποψία ότι και αυτή δεν ισχύει και δαπάνησα περισσότερο χρόνο ψάχνοντας για αντιπαράδειγμα παρά για την απόδειξη

Έστω $a\leq b$ οι μικρότεροι από τους a,b,c,d.

Τότε αρκεί να είναι:

$\displaystyle{ax+by+cz+dw\geq \frac{a+b}{2}}$ ή

$\displaystyle{(b-a)(y-x-z-w)+2z(c-a)+2w(d-a)\geq 0}$

Αυτή ισχύει αφού

$\displaystyle{(b-a)(y-x-z-w)+2z(c-a)+2w(d-a)\geq (b-a)(y-x-z-w)+2z(b-a)+2w(b-a)=(b-a)(1-2x)\geq 0.}$

Teh · #10

parmenides51 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 06, 2012 11:38 am
1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*}$ και $\displaystyle{A=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}+\frac{\beta^3+1}{\alpha+1} \in\mathbb{N}^*}$ . Να δειχτεί ότι οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{\alpha^3+1}{\beta+1},\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$ είναι φυσικοί.

Μπορεί κάποιος να δώσει μία αναλυτική απόδειξη; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#11

Teh έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 09, 2019 7:24 pm

parmenides51 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 06, 2012 11:38 am
1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*}$ και $\displaystyle{A=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}+\frac{\beta^3+1}{\alpha+1} \in\mathbb{N}^*}$ . Να δειχτεί ότι οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{\alpha^3+1}{\beta+1},\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$ είναι φυσικοί.
Μπορεί κάποιος να δώσει μία αναλυτική απόδειξη; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Προχωράμε με την υπόδειξη του socrates.

Θέτουμε $\displaystyle x = \frac{\alpha^3+1}{\beta+1}$ και $\displaystyle y = \frac{\beta^3+1}{\alpha+1}$

Γνωρίζουμε ότι $x+y = A \in \mathbb{Z}$ . Επίσης, $\displaystyle xy = \frac{\alpha^3+1}{\beta+1} \cdot \frac{\beta^3+1}{\alpha+1} = \frac{\alpha^3+1}{\alpha+1} \cdot \frac{\beta^3+1}{\beta+1} = (\alpha^2 - \alpha + 1)(\beta^2 - \beta + 1) \in \mathbb{Z}$ αφού $\alpha,\beta \in \mathbb{Z}$ .

Προφανώς τα x,y

είναι ρητοί. Επίσης είναι ρίζες του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου P(t) = t^2 - (x+y)t + xy

η οποία έχει ακέραιους συντελεστές. Επειδή ο συντελεστής του t^2

ισούται με

από το θεώρημα ρητής ρίζας κάθε ρητή ρίζα του P(t)

είναι ακέραια. Άρα τα x,y

είναι ακέραιοι. Εφόσον είναι προφανώς θετικοί είναι και φυσικοί.

Teh · #12

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 09, 2019 8:11 pm

Teh έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 09, 2019 7:24 pm

parmenides51 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 06, 2012 11:38 am
1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*}$ και $\displaystyle{A=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}+\frac{\beta^3+1}{\alpha+1} \in\mathbb{N}^*}$ . Να δειχτεί ότι οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{\alpha^3+1}{\beta+1},\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$ είναι φυσικοί.
Μπορεί κάποιος να δώσει μία αναλυτική απόδειξη; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Προχωράμε με την υπόδειξη του socrates.

Θέτουμε $\displaystyle x = \frac{\alpha^3+1}{\beta+1}$ και $\displaystyle y = \frac{\beta^3+1}{\alpha+1}$

Γνωρίζουμε ότι $x+y = A \in \mathbb{Z}$ . Επίσης, $\displaystyle xy = \frac{\alpha^3+1}{\beta+1} \cdot \frac{\beta^3+1}{\alpha+1} = \frac{\alpha^3+1}{\alpha+1} \cdot \frac{\beta^3+1}{\beta+1} = (\alpha^2 - \alpha + 1)(\beta^2 - \beta + 1) \in \mathbb{Z}$ αφού $\alpha,\beta \in \mathbb{Z}$ .

Προφανώς τα είναι ρητοί. Επίσης είναι ρίζες του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου η οποία έχει ακέραιους συντελεστές. Επειδή ο συντελεστής του ισούται με από το θεώρημα ρητής ρίζας κάθε ρητή ρίζα του είναι ακέραια. Άρα τα είναι ακέραιοι. Εφόσον είναι προφανώς θετικοί είναι και φυσικοί.

Ναι, αλλά για να εφαρμόσουμε το θεώρημα ρητών ριζών, δεν πρέπει εκ των προτέρων να έχει αποσαφηνισθεί ποιός είναι ο (a^3+1,b+1)

και ο

, αφού οι ρίζες που τεστάρουμε με το θεώρημα πρέπει να είναι σε ανάγωγη μορφή;

#13

Teh έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 09, 2019 10:10 pm
Ναι, αλλά για να εφαρμόσουμε το θεώρημα ρητών ριζών, δεν πρέπει εκ των προτέρων να έχει αποσαφηνισθεί ποιός είναι ο και ο , αφού οι ρίζες που τεστάρουμε με το θεώρημα πρέπει να είναι σε ανάγωγη μορφή;

Μπερδεύτηκες. Δεν εφαρμόζουμε το θεώρημα των ρητών ριζών σε συντελεστές της μορφής $\dfrac {a^3+1}{b+1}, \, \dfrac {b^3+1}{a+1}$ αλλά σε εξίσωση της μορφής t^2-At+B=0

όπου τα

ξέρουμε ότι είναι ακέραιοι (συγκεκριμένα $A= \dfrac {a^3+1}{b+1} + \dfrac {b^3+1}{a+1} , \, B = \dfrac {a^3+1}{b+1} \cdot \dfrac {b^3+1}{a+1}$ ) .

To λοιπόν

Άσκηση για 'σένα

Δείξε ότι αν ακέραιοι τότε κάθε ρητή ρίζα, αν υπάρχει, της , είναι ακέραια.

Περιμένουμε εδώ την λύση σου.

Teh · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 10, 2019 11:17 am

Teh έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 09, 2019 10:10 pm
Ναι, αλλά για να εφαρμόσουμε το θεώρημα ρητών ριζών, δεν πρέπει εκ των προτέρων να έχει αποσαφηνισθεί ποιός είναι ο και ο , αφού οι ρίζες που τεστάρουμε με το θεώρημα πρέπει να είναι σε ανάγωγη μορφή;
Μπερδεύτηκες. Δεν εφαρμόζουμε το θεώρημα των ρητών ριζών σε συντελεστές της μορφής $\dfrac {a^3+1}{b+1}, \, \dfrac {b^3+1}{a+1}$ αλλά σε εξίσωση της μορφής όπου τα ξέρουμε ότι είναι ακέραιοι (συγκεκριμένα $A= \dfrac {a^3+1}{b+1} + \dfrac {b^3+1}{a+1} , \, B = \dfrac {a^3+1}{b+1} \cdot \dfrac {b^3+1}{a+1}$ ) .

To λοιπόν

Άσκηση για 'σένα

Δείξε ότι αν ακέραιοι τότε κάθε ρητή ρίζα, αν υπάρχει, της , είναι ακέραια.

Περιμένουμε εδώ την λύση σου.

Ευχαριστώ για τη σαφήνεια. Όσο για την άσκηση:
Από το θεώρημα ρητών ριζών, αν η εξίσωση αυτή έχει ρητές ρίζες, τότε αυτές είναι της μορφής $t=\pm\dfrac {a}{b}$ , όπου $a,b\in\mathbb{Z}$ , $(a,b)=\pm 1$ και $a\vert B$ και $b\vert 1$ . Επομένως, $b=\pm 1$ και άρα $t=\pm a\in\mathbb{Z}$

#15

Teh έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 10, 2019 5:13 pm

Ευχαριστώ για τη σαφήνεια.

Εννοείς αποσαφήνιση.

Teh έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 10, 2019 5:13 pm

Από το θεώρημα ρητών ριζών, αν η εξίσωση αυτή έχει ρητές ρίζες, τότε αυτές είναι της μορφής $t=\pm\dfrac {a}{b}$ , όπου $a,b\in\mathbb{Z}$ , $(a,b)=\pm 1$ και $a\vert B$ και $b\vert 1$ . Επομένως, $b=\pm 1$ και άρα $t=\pm a\in\mathbb{Z}$

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση