Μαθηματικό Πρόβλημα

alexrap · #1

Πως μπορείς να υπολογίσεις το άθροισμα $\sum {}$ των αριθμών 31,228,780,1460,1515,816,178

χωρίς να κάνεις την πρόσθεση των αριθμών αυτών ή άλλων της μορφής $\alpha \pm \beta$ με $\alpha$ να συμβολίζουμε τους δοθέντες αριθμούς ;

Κυριακή 11/11/2012, 16:50.
Προσθήκη από Γενικούς Συντονιστές: Όταν αλλάζουμε τις ερωτήσεις μετά που έχουν απαντηθεί, χωρίς ίχνος της αρχικής ερώτησης, κάνουμε ένα σφάλμα τακτικής. Πρώτον, μένουν ξεκρέμαστες οι απαντήσεις. Δεύτερον, ο αναγνώστης που δεν παρακολούθησε όλα τα στάδια της συζήτησης δεν κατανοεί τι τρέχει.

alexrap · #2

Στις 500 προβολές θα δημοσιεύσω την απάντηση αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι τότε. Καλή Επιτυχία!

#3

Ή ρωτάς κάτι τετριμμένο ή δεν κατάλαβα τι εννοείς.

Πρώτα από όλα δεν μπορείς να βρεις ένα άθροισμα αν δεν προσθέσεις τα νούμερα που εμφανίζονται. Τώρα, αν θέλεις το
$(a_1+a_2) + (a_2+a_3) + ... + (a_{n-1} + a_n)$ χωρίς πρώτα να βρεις τα $a_1+a_2 , \, a_2+a_3, \, ... \, , a_{n-1} + a_n$ , απλούστατα παρατήρησε ότι το ζητούμενο είναι ίσο με $a_1 + 2(a_2+...+a_{n-1}) + a_n$ .
Πολλή φασαρία για το τίποτα.

Μ.

#4

Πήρα από τον alexrap το παρακάτω μήνυμα.

alexrap έγραψε:φίλε μάλλον εσύ δεν κατάλαβες καλά τι εννοούσα, για αυτό κι εγώ το εξηγώ πιο απλά κάτω από τη δημοσίευσή μου... αν θες πήγαινε και προσπάθησε να λύσεις το πρόβλημα που έθεσα...Καλή Επιτυχία .

Θα τον παρακαλούσα να μας διαφωτίσει ο ίδιος με την λύση, και ας μη περιμένει 500 προβολές.

alexrap έγραψε:Στις 500 προβολές θα δημοσιεύσω την απάντηση αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι τότε. Καλή Επιτυχία!

Μ.

alexrap · #5

επειδή είχα κάνει ένα λάθος στη διατύπωση του προβλήματός μου άλλαξα το ερώτημα ...Καλή Επιτυχία! Και ειλικρινά συγνώμη αν κάποιες φορές κάνω λάθος διατυπώσεις, να με ενημερώνετε.

Κυριακή 11/11/2012, 16:55.
Προσθήκη από Γενικούς Συντονιστές: Όταν αλλάζουμε τις ερωτήσεις μετά που έχουν απαντηθεί, χωρίς ίχνος της αρχικής ερώτησης, κάνουμε ένα σφάλμα τακτικής. Πρώτον, μένουν ξεκρέμαστες οι απαντήσεις. Δεύτερον, ο αναγνώστης που δεν παρακολούθησε όλα τα στάδια της συζήτησης δεν κατανοεί τι τρέχει.

#6

alexrap έγραψε:επειδή αυτό που λέω περί των διαδοχικών αθροισμάτων μπορεί να φανεί σε πολλούς ακαταλαβίστικο ας το εξηγήσω πιο απλά: Έχουμε $\nu$ φυσικούς αριθμούς $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},...,\alpha _{\nu }$ . Τους αθροίζουμε μεταξύ τους: $\left(\alpha _{1}+\alpha _{2} \right),\left(\alpha _{2}+\alpha _{3} \right),...,\left(\alpha _{\nu -1}+\alpha _{\nu } \right)$ . Μετά κάνουμε το ίδιο για τους νέους αριθμούς.Ουσιαστικά κάνουμε αυτή τη διαδικασία μέχρι να καταλήξουμε σε έναν μόνο αριθμό $\sum{}$ ο οποίος είναι και το ζητούμενο άθροισμα.

Ας προσθέσω ότι το αρχικό σου ερώτημα δεν λέει αυτό. Μιλά για μία διαδικασία πρόσθεσης, όχι επανάληψή της μέχρι να μείνει ένας όρος.

Αυτό για να γράφουμε με σαφήνεια.

Την ερώτηση που θέτεις τώρα την έχω ήδη απαντήσει σε άλλο ποστ όπου είχες και μία ακόμη υπόθεση για τα a_k

. Χωρίς την έξτρα υπόθεση (δηλαδή αν οι ενδιάμεσοι αριθμοί είναι στη τύχη και όχι δεσμευμένοι), δεν υπάρχει τρόπος να βρεις το τελικό άθροισμα μετά την διαδικασία που λες, χωρίς να τους λάβεις υπόψη.

Τώρα, για

αριθμούς,

όπως στο παραπάνω σου αριθμητικό παράδειγμα, η τελική απάντηση είναι A+6B+15C+20D+15E+6F+G

. Γενικά, για n+1

αριθμούς, οι συντελεστές είναι οι δυωνυμικοί, δηλαδή όπως στο ανάπτυγμα του (a+b)^n

(προφανές από την διαδικασία και το τρίγωνο Pascal).

Μ.

#7

alexrap έγραψε:Πως μπορείς να υπολογίσεις το άθροισμα $\sum {}$ των αριθμών χωρίς να κάνεις την πρόσθεση;

Δεν μπορείς.

Πρόσθεση θα πει αθροίζω. Δεν μπορείς να αθροίσεις χωρίς να αθροίσεις.

Έχεις άλλο τρόπο; Φοβάμαι πως όχι.

Μ.

alexrap · #8

ΛΥΣΗ:
Παρατηρούμε ότι οι δοθέντες αριθμοί γράφονται $31,6\times 38,15\times 52,20\times 73,15\times 101,6\times 136,178$ , δηλαδή είναι $31,6\times \left(31+7 \right),15\times \left(31+7+14 \right),20\times \left(31+7+14+21 \right),15\times \left(31+7+14+21+28 \right),6\times \left(31+7+14+21+28+35 \right),\left(31+7+14+21+28+35+42 \right)$ .Παρατηρούμε επίσης ότι εμφανίζεται συνεχώς ο αριθμός 31 (ο οποίος συνεχώς αυξάνεται κατά την αριθμητική πρόοδο του 7) και ότι εμφανίζονται και οι συντελεστές της ταυτότητας $\left(\chi +1 \right)^{6}$ . Επομένως ισχύει για τους αριθμούς 31,38,52,73,101,136,178

ο τύπος $\sum{}=2^{\nu -2}\left(2\mu +\frac{\nu -1}{4}\vartheta \right)$ (για περισσότερες πληροφορίες πάνω στον τύπο βλέπε και viewtopic.php?f=6&t=32465).
Άρα θα είναι $\sum{}=2^{\nu -2}\left(2\mu +\frac{\nu -1}{4}\vartheta \right) =2^{5}\left(2\times 73+\frac{3}{2}7 \right)=4672+336=5008$ . Ο τρόπος αυτός είναι σαφέστατα πιο δύσκολος απ' το να κάνεις απλά την πρόσθεση, αλλά έτσι δείχνω ότι για να βρεις ένα άθροισμα κάποιων αριθμών δεν χρειάζεται πάντα να κάνεις ούτε μια πρόσθεση μεταξύ των αριθμών αυτών.

Theoxaris Malamidis · #9

alexrap έγραψε::
Ο τρόπος αυτός είναι σαφέστατα πιο δύσκολος απ' το να κάνεις απλά την πρόσθεση, αλλά έτσι δείχνω ότι για να βρεις ένα άθροισμα κάποιων αριθμών δεν χρειάζεται πάντα να κάνεις ούτε μια πρόσθεση μεταξύ των αριθμών αυτών.

Alex με όλον τον σεβασμό που έχω απέναντι σου με της ελάχιστες γνώσεις που έχω εσύ εδώ πέρα κάνεις πολλαπλασιασμός ο πολλαπλασιασμός δεν είναι μια πιο σύντομη διαδικασία αθροίσματος?!
Φιλικά ΘΜ

#10

Μου φαίνεται ότι κάνουμε δύσκολα τα τετριμμένα.

Φυσικά κάνεις πολλές προσθέσεις των αριθμών που γράφεις, απλά τους γράφεις σε άλλη μορφή.

Π.χ. θα ήταν εξ ίσου παράλογο να γράψω "πρόσθεσα τους 23 , 46, 92

χωρίς να τους αθροίσω" λέγοντας:

Είναι 23 = 13 + 10, 46=36+10, 92 = 82+ 10

. Προσθέτω τώρα τους 13, 36, 82

και βάζω άλλα

.

Τσά! Πρόσθεσα τους 23 , 46, 92

χωρίς να τους αθροίσω, (άθροισα τους 13 , 36, 82

στη θέση τους).

Σωστά;

Πολλή φασαρία για το τίποτα.

Μ.

alexrap · #11

συμφωνώ απόλυτα μόνο που όταν σου δώσουν λόγου χάρη 10 μεγάλους αριθμούς ,τυχαίους ίσως, για να τους προσθέσεις ξέρεις το αποτέλεσμα της πρόσθεσης γινόμενο ποιων ακριβώς αριθμών είναι; τι θα κάτσεις να κάνεις; την μεγάλη πρόσθεση ή θα πας να βρεις δύο αριθμούς των οποίων το γινόμενο να σου δίνει έναν αριθμό τον οποίο ουσιαστικά δεν ξέρεις; Με τον τρόπο μου μπορώ απλά να εκφράσω κάθε άθροισμα φυσικών αριθμών ως γινόμενο το πολύ τριών αριθμών (συνήθως δύο) σύμφωνα με τρεις τύπους που έχω βρει και αποδείξει, χρησιμοποιώντας μόνο το πολύ 2 από τους δοθέντες αριθμούς. Ελπίζω να σε κάλυψα

Μαθηματικό Πρόβλημα

Μαθηματικό Πρόβλημα

Re: Μαθηματικό Πρόβλημα

Re: Μαθηματικό Πρόβλημα

Re: Μαθηματικό Πρόβλημα

Re: Μαθηματικό Πρόβλημα

Re: Μαθηματικό Πρόβλημα

Re: Μαθηματικό Πρόβλημα

Re: Μαθηματικό Πρόβλημα

Re: Μαθηματικό Πρόβλημα

Re: Μαθηματικό Πρόβλημα

Re: Μαθηματικό Πρόβλημα

Μέλη σε σύνδεση