ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΛΙΓΟ ΑΠ ΟΛΑ

#1

...μετά το συνέδριο έμπνευσης δημιουργία...

Αν $f:R\to R$ συνεχής ώστε να ισχύει ${{f}^{3}}(x)+f(x)={{x}^{2}}+\eta \mu x,\,\,\,x\in R$ τότε:

α) Να δείξετε ότι υπάρχει ${{x}_{0}}\in (0,\,\,1)$ ώστε $\frac{{{x}_{0}}-1}{f({{x}_{0}})-1}=\frac{{{x}_{0}}}{f({{x}_{0}})+1}$

β) Αν

είναι γνήσια μονότονη στο $[0,\,\,+\infty )$ να δειχθεί ότι ${{x}_{0}}>\frac{1}{2}$

γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της

στο διάστημα $[0,\,\,+\infty )$ .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

dennys · #2

1)Για $x=0,1\Rightarrow f(0)=0, f^{3}(1)+f(1)=1+sin1\Rightarrow f^{3}(1)-1+f(1)-1=sin1-1$

$(f(1)-1)(f^{2}(1)+f(1)+2)=sin1-1<0\Rightarrow f(1)<1$

Θέτουμε g(x)=(x-1)[f(x)+1]-x[f(x)-1]

η οποία στο [0,1]

είναι :

1) συνεχής στο [0,1]

2)

αφού

αρα απο Θ.Β. υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_o: g(x_o)=0\Rightarrow$

και συνεπώς και η αρχική.

Εδώ θα πρέπει να πούμε ότι πρέπει $f(x)\ne \pm 1$ το οποίο προκύπτει απο το 2ο ερώτημα , αφού

$0<x<1\Rightarrow 0<f(x)<f(1)<1$

2)Με πράξεις η συνάρτηση g(x)=-f(x)+2x-1

και για $\x=x_o: g(x_o)=0\Rightarrow 2x_o-1=f(x_o)>0\Rightarrow x_o>\frac{1}{2}$

Είναι $f(x) \nearrow$ αφού είναι γν.μονότονη και f(0)<f(1)

, αρα $\forall x>0, f(x)>f(0)=0$

3) Αφού η συνάρτηση f(x)

είναι συνεχής και γν.αύξουσα $f(A)=[f(0),\lim_{x\to +\infty}f(x))=[0,+\infty)$

γιατί απο την δοσμένη σχέση αν $\lim_{x\to +\infty}f(x)=l\Rightarrow l^3+l=\lim_{x\to +\infty}x^2(1+\frac{sinx}{x^2}=(+\infty)(1+0)=+\infty$ ατοπο.

dennys

ΜΑΤΘΑΙΟΣ ΤΣΙΛΠΙΡΙΔΗΣ · #3

Φίλε dennys καλησπέρα!
Με δεδομένη την αγωνία όλων για τους μαθητές που μας παρακολουθούν και δίνουν εξετάσεις, θα ήθελα να ρωτήσω το εξής:
Πώς δικαιολογείς ότι αν μία f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής σε διάστημα της μορφής, $[\alpha ,+\propto )$ τότε είμαστε βέβαιοι ότι υπάρχει το όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto}} f(x)$ . (Είναι γνωστό ότι το μόνο σχετικό στο σχολικό βιβλίο είναι το πόρισμα στη σελίδα 196 (βλ. παράρτημα)

ΜΑΤΘΑΙΟΣ ΤΣΙΛΠΙΡΙΔΗΣ · #4

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...μετά το συνέδριο έμπνευσης δημιουργία...

Αν $f:R\to R$ συνεχής ώστε να ισχύει ${{f}^{3}}(x)+f(x)={{x}^{2}}+\eta \mu x,\,\,\,x\in R$ τότε:

α) Να δείξετε ότι υπάρχει ${{x}_{0}}\in (0,\,\,1)$ ώστε $\frac{{{x}_{0}}-1}{f({{x}_{0}})-1}=\frac{{{x}_{0}}}{f({{x}_{0}})+1}$

β) Αν είναι γνήσια μονότονη στο $[0,\,\,+\infty )$ να δειχθεί ότι ${{x}_{0}}>\frac{1}{2}$

γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της στο διάστημα $[0,\,\,+\infty )$ .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Πολύ ωραία άσκηση! Μπράβο!

Christos.N · #5

ΜΑΤΘΑΙΟΣ ΤΣΙΛΠΙΡΙΔΗΣ έγραψε:Φίλε dennys καλησπέρα!
Με δεδομένη την αγωνία όλων για τους μαθητές που μας παρακολουθούν και δίνουν εξετάσεις, θα ήθελα να ρωτήσω το εξής:
Πώς δικαιολογείς ότι αν μία f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής σε διάστημα της μορφής, $[\alpha ,+\propto )$ τότε είμαστε βέβαιοι ότι υπάρχει το όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto}} f(x)$ . (Είναι γνωστό ότι το μόνο σχετικό στο σχολικό βιβλίο είναι το πόρισμα στη σελίδα 196 (βλ. παράρτημα)

Εύλογη απορία...

Έστω ότι $\displaystyle{ f(x) < M,\,\,\,M \in R^+ }$ δηλαδή υπάρχει θετικός πραγματικός αριθμός που φράσει την συνάρτηση για κάθε $\displaystyle{ x \in [0, + \infty ) }$ .

τότε για x>0

$\displaystyle{ \begin{array}{l} f(x) < M \Rightarrow f^2 (x) + 1 < M^2 + 1\mathop \Rightarrow \limits^{f(x) > 0} f^3 (x) + f(x) < f(x)\left( {M^2 + 1} \right) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x^2 + \sin x < f(x)\left( {M^2 + 1} \right) \Rightarrow f(x) > \frac{{x^2 + \sin x}}{{M^2 + 1}} \Rightarrow f(x) > \frac{{x^2 - 1}}{{M^2 + 1}} \\ \end{array} }$

Η τελευταία ανίσωση θα φανεί πολύ χρήσιμη για το σκοπό αυτό.

ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΛΙΓΟ ΑΠ ΟΛΑ

ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΛΙΓΟ ΑΠ ΟΛΑ

Re: ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΛΙΓΟ ΑΠ ΟΛΑ

Re: ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΛΙΓΟ ΑΠ ΟΛΑ

Re: ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΛΙΓΟ ΑΠ ΟΛΑ

Re: ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΛΙΓΟ ΑΠ ΟΛΑ

Μέλη σε σύνδεση