Μία ερώτηση στο διαφορικό

Makismath · #1

Διαβάζω στο σχολικό: "Το σύμβολο $\frac{dy}{dx}$ δεν είναι πηλίκο"
Δε συμπεριφέρεται και ως πηλίκο?

Ιστοσελίδα · #2

Makismath έγραψε:Διαβάζω στο σχολικό: "Το σύμβολο $\frac{dy}{dx}$ δεν είναι πηλίκο"
Δε συμπεριφέρεται και ως πηλίκο?

Δηλαδή; Μπορείς να απλοποιήσεις τα

για παράδειγμα; Ή απλά εννοείς πχ τον κανόνα της αλυσίδας : $\frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt}$ ;

#3

7. Διαφορικό Συνάρτησης (εκτός ύλης)
Επειδή συνήθως στη φυσική παρουσιάζεται το $\displaystyle{dt}$ (διαφορικό) παρόλο που δεν βρίσκεται στην ύλη οι δυο επόμενες παράγραφοι εξηγούν τι είναι το διαφορικό.
Έστω λοιπόν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\to R}$ και ας είναι $\displaystyle{x_0}$ ένα σημείο του πεδίου ορισμούτης Α. Τότε την γραμμική συνάρτηση $\displaystyle{g:R \to R}$ με τύπο $\displaystyle{ g(h)=f(x_0 )(h)}$ ονομάζουμε διαφορικό της $\displaystyle{ f }$ στο σημείο $\displaystyle{ x_0}$ και
συμβολίζουμε με: $\displaystyle{df(x_0 )(h)}$ . Δηλαδή: $\displaystyle{df(x_0 )(h)=f'(x_0 ) h}$ . Για οικονομία του συμβολισμού, όπως αντί να γράφουμε π.χ $\displaystyle{y(h)=h^2 }$ , γράφουμε $\displaystyle{y=h^2}$ , έτσι και για το διαφορικό γράφουμε $\displaystyle{df(x_0 )}$ οπότε $\displaystyle{df(x_0 )=f'(x_0 )h}$ . Μια γεωμετρική ερμηνεία ξεκαθαρίζει περισσότερο τα πράγματα , τονίζοντας την διαφορά του διαφορικού από την
μεταβολή των τιμών της συνάρτησης. Με $\displaystyle{\Delta f(x_0))}$ συμβολίσαμε την διαφορά των τιμών $\displaystyle{ f(x_0+h)-f(x_0)}$ .

Παρατήρηση: Για τις συναρτήσεις με τύπους $\displaystyle{y(x)=ax+b}$ η μεταβολή των τιμών τους $\displaystyle{\Delta y}$ και το διαφορικό τους $\displaystyle{dy}$ ταυτίζονται πράγμα όμως που δεν αληθεύει για τις υπόλοιπες συναρτήσεις γενικά.
Το $\displaystyle{dx}$
Αν $\displaystyle{T(x)}$ η ταυτοτική συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{T(x) = x}$ τότε από την προηγούμενη παρατήρηση θα είναι $\displaystyle{\Delta T(x) = dT(x)}$ η πιο σύντομα αφού $\displaystyle{T(x) = x}$ είναι $\displaystyle{\Delta x = dx.}$ Mπορούμε τώρα να αποκτήσουμε έναν διάσημο τύπο. Πράγματι έχουμε:
$\displaystyle{dT(x)(h)=T'(x)h,dx(h)=(x)'h (T(x)=x),dx(h)=h}$ (και απλοποιωντας τον συμβολισμο), $\displaystyle{dx=h}$ Τώρα για οποιαδήποτε παραγωγίσιμη συνάρτηση f με βάση τον ορισμό θα είναι:
$\displaystyle{ df(x)(h)=f'(x)h,df(x)=f'(x)h, df(x)=f'(x)dx}$
Αυτός ο τελευταίος τύπος δεν μπορεί να αποτελέσει ορισμό του διαφορικού γιατί ορίζει το διαφορικό μέσω ενός άλλου διαφορικού.
Προσοχή !! Η παράγωγος δεν μπορεί να οριστεί σαν πηλίκο διαφορικών γιατί θα υπάρξουν προβλήματα μηδενισμού του
παρανομαστή. Η παραδοχή στοιχειωδών (απειροστών) ποσοτήτων δεν θεμελιώνεται αυστηρά. Η χρήση αυτών των πραγμάτων
εξυπηρετεί μόνον εκπαιδευτικούς σκοπούς και ιδιαίτερα στην φυσική.
Επειδή το διαφορικό μιας $\displaystyle{f(x)}$ είναι ανεξάρτητο του $\displaystyle{x}$ (μεταβλητή του είναι μόνον το h) θα ισχύουν:
$\displaystyle{d/dx (dx)=0 , d(dx)=0 .}$
Η εισαγωγή της έννοιας του διαφορικού εξυπηρετεί την προσπάθεια ευθυοποίησης μιας καμπύλης, δηλαδή της αντικατάστασης της από τμήματα ευθειών που είναι από τις πιο απλές συναρτήσεις. Τοπικά λοιπόν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να προσεγγίζεται από τμήματα ευθειών και πιο συγκεκριμένα από τις εφαπτόμενες της στα αντίστοιχα σημεία

Makismath · #4

Ευχαριστώ πολύ κ. BORIS για το χρόνο που διαθέσατε. Κάτι τέτοιο εννοούσα και εγώ
$f'(x)=\frac{df}{dx}\Leftrightarrow df=f'(x)dx$

#5

R BORIS έγραψε:Η παραδοχή στοιχειωδών (απειροστών) ποσοτήτων δεν θεμελιώνεται αυστηρά.

Αυτό δεν είναι σωστό. Υπάρχει αυστηρή θεμελίωση των απειροστών η οποία διατυπώθηκε από τον Abraham Robinson την δεκαετία του 60. Για περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να ψάξετε στο διαδίκτυο για non-standard analysis.

Αυτό βέβαια δεν σημαίνει πως μπορούμε να χρησιμοποιούμε τα απειροστά ελεύθερα χωρίς να έχουμε γνώση της σχετικής θεωρίας.

Μία ερώτηση στο διαφορικό

Μία ερώτηση στο διαφορικό

Re: Μία ερώτηση στο διαφορικό

Re: Μία ερώτηση στο διαφορικό

Re: Μία ερώτηση στο διαφορικό

Re: Μία ερώτηση στο διαφορικό

Μέλη σε σύνδεση