Putnam 2012 - Θέμα A2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Putnam 2012 - Θέμα A2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Δεκ 03, 2012 4:44 pm

Έστω S ένα μη κενό σύνολο και * : S \times S \to S μια αντιμεταθετική και προσεταιριστική πράξη, με την ιδιότητα:

Για κάθε x, y \in S, υπάρχει z \in S τέτοιο, ώστε x * z = y.

Να αποδείξετε ότι ισχύει ο νόμος της διαγραφής: Για κάθε a, b, c \in S , \quad a * c = b * c \implies a = b.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Putnam 2012 - Θέμα A2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Δεκ 03, 2012 7:22 pm

emouroukos έγραψε:Έστω S ένα μη κενό σύνολο και * : S \times S \to S μια αντιμεταθετική και προσεταιριστική πράξη, με την ιδιότητα:

Για κάθε x, y \in S, υπάρχει z \in S τέτοιο, ώστε x * z = y.

Να αποδείξετε ότι ισχύει ο νόμος της διαγραφής: Για κάθε a, b, c \in S , \quad a * c = b * c \implies a = b.
Έστω \displaystyle{a \in S}. Από την υπόθεση υπάρχει \displaystyle{e \in S}, ώστε \displaystyle{a * e=a}

Από την αντιμεταθετικότητα της πράξης έχουμε ότι και \displaystyle{e * a=a}.

Έστω \displaystyle{c \in S}. Από την υπόθεση υπάρχει \displaystyle{b \in S} ώστε \displaystyle{c=b * a }. Τότε

\displaystyle{c * e =(b * a) * e=b * (a * e)=b * a=c} και λόγω αντιμεταθετικότητας θα έχουμε και \displaystyle{e * c=c}.

Άρα το \displaystyle{S} έχει ουδέτερο στοιχείο ως προς την πράξη, το \displaystyle{e}.

Έστω \displaystyle{x \in S}, τότε θα υπάρχει \displaystyle{x' \in S} με \displaystyle{x *x' =e} και κατά συνέπεια και \displaystyle{x' *x=e}.

Το \displaystyle{x'} θα είναι το αντίστροφο του \displaystyle{x} ως προς την πράξη (η μοναδικότητα του αποδεικνύεται εύκολα)

Τέλος:

\displaystyle{a *b=a *c \Rightarrow a' * (a * b)=a' * (a * c ) \Rightarrow (a' * a) * b= (a' * a ) * c \Rightarrow e * b =e * c \Rightarrow b=c}

και τελειώσαμε.


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης