Putnam 2012 - Θέμα B4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Putnam 2012 - Θέμα B4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τρί Δεκ 04, 2012 12:37 am

Η ακολουθία \displaystyle{{\left( {{a_n}} \right)}} ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις: \displaystyle{{a_0} = 1} και \displaystyle{{a_{n + 1}} = {a_n} + {e^{ - {a_n}}}} για κάθε n \in \Bbb{N}.

Να εξετάσετε αν η ακολουθία \displaystyle{\left( {{b_n}} \right)}, με \displaystyle{{{b_n} = {a_n} - \ln n}} για κάθε θετικό ακέραιο n, συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Putnam 2012 - Θέμα B4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Δεκ 04, 2012 1:49 am

emouroukos έγραψε:Η ακολουθία \displaystyle{{\left( {{a_n}} \right)}} ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις: \displaystyle{{a_0} = 1} και \displaystyle{{a_{n + 1}} = {a_n} + {e^{ - {a_n}}}} για κάθε n \in \Bbb{N}.

Να εξετάσετε αν η ακολουθία \displaystyle{\left( {{b_n}} \right)}, με \displaystyle{{{b_n} = {a_n} - \ln n}} για κάθε θετικό ακέραιο n, συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό.
Η a_n είναι προφανώς γνησίως αύξουσα και πάει στο +\infty, αφού αν είχε όριο \ell\in\mathbb R παίρνοντας όριο στην αναδρομική θα χαμε \ell=\ell+e^{-\ell} άτοπο.

Έχουμε \displaystyle{e^{a_{n+1}}-e^{a_n}=e^{a_n+e^{-a_n}}-e^{a_n}=e^{a_n}(e^{e^{-a_n}}-a)=1+\mathcal O(e^{-a_n})\to1\hspace{15ex}(*)}.

Αυτό λέει ότι μπορώ να βρω \varepsilon>0 και n_0 με n\geq n_0\Rightarrow (1-\varepsilon)<e^{a_{n+1}}-e^{a_n}<1+\varepsilon οπότε αθροίζοντας από n_0 ως n_0+n-1 παίρνω ότι \displaystyle{n(1-\varepsilon)+e^{a_{n_0}}<e^{a_{n+n_0}}<n(1+\varepsilon)+e^{a_{n_0}}} που σημαίνει ότι e^{-a_n}=\mathcal O(n^{-1}).

Έπεται ότι \displaystyle{e^{a_{n+1}}-e^{a_n}-1=\mathcal O(n^{-1})}.

Αυτό λέει ότι υπάρχουν n_0 και c>0 με n\geq n_0\Rightarrow -\frac{c}{n}\leq e^{a_{n+1}}-e^{a_n}-1\leq\frac{c}{n}. Αθροίζοντας πάλι όπως πριν, και επειδή H_n=\mathcal O(\ln n), όπου H_n ο n-οστός αρμονικός αριθμός παίρνουμε \displaystyle{e^{a_n}=n+\mathcal O(\ln n)} άρα \displaystyle{a_n=\ln n+\mathcal O\left(\frac{\ln n}{n}\right)} που δίνει ότι b_n\to0.

Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία μπορούμε να προσεγγίσουμε την a_n όσο καλά θέλουμε.

Το γιατί στο σημείο (*) επιλέξαμε την F(x)=e^{x} για να αναζητήσουμε k\neq0 με F(a_{n+1})-F(a_n)\to k, μπορεί κανείς να το δει κανείς εδώ στο αρθράκι του Moubinool Omarjee.

Το ίδιο πρόβλημα έχει επίσης συζητηθεί μερικώς εδώ και εδώ.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Putnam 2012 - Θέμα B4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τρί Δεκ 04, 2012 3:41 pm

Ήμουν βέβαιος ότι ο Τάσος θα "καθάριζε" το θέμα με συνοπτικές διαδικασίες.... :clap2: :clap2:

Μια διαφορετική προσέγγιση χρησιμοποιεί το Κριτήριο Cesàro-Stolz (βλέπε και εδώ, στο σύνδεσμο που αναφέρθηκε πιο πάνω).

Όπως έδειξε και ο Τάσος, είναι \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} =  + \infty }. Επομένως, έχουμε ότι:

\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{e^{{a_{n + 1}}}} - {e^{{a_n}}}}}{{\left( {n + 1} \right) - n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {e^{{a_n}}}\left( {{e^{{a_{n + 1}} - {a_n}}} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{e^{{e^{ - {a_n}}}}} - 1}}{{{e^{ - {a_n}}}}}\mathop  = \limits^{x = {e^{ - {a_n}}} \to 0} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1}

και από το Κριτήριο Cesàro-Stolz προκύπτει ότι:

\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{e^{{a_n}}}}}{n} = 1,}

οπότε

\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n} - \ln n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\frac{{{e^{{a_n}}}}}{n}} \right) = \ln 1 = 0}

και τελειώσαμε.

Για μια άλλη προσέγγιση, που όμως δίνει μόνο την ύπαρξη του ορίου της ακολουθίας \displaystyle{\left( {{b_n}} \right)}, μπορούμε να δείξουμε (σχετικά εύκολα, με επαγωγή και χρησιμοποιώντας την ανισότητα \displaystyle{\ln x \le x - 1} για \displaystyle{x > 0}) ότι η ακολουθία \displaystyle{\left( {{b_n}} \right)} είναι γνησίως φθίνουσα και κάτω φραγμένη από το 0, άρα συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό.

Τελικά το θέμα ήταν (πολύ) γνωστό...


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης