Συναρτησιακή με θεωρία αριθμών

#1

Έστω $\mathbb{N}_0$ το σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0$ για τις οποίες:

$\bullet \ 0\le f(x)\le x^2,$ για κάθε $x\in\mathbb{N}_0$
$\bullet \ x-y | f(x)-f(y),$ για κάθε $x,y\in\mathbb{N}_0 , \ x>y.$

Ολυμπιάδα Νοτίου Αφρικής 2011
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=429529

asxetos · #2

Νομίζω πως βρήκα μια λύση άλλα αν μπορεί κάποιος, ας την κοιτάξει.

Αρχικά για χ=0 στην πρώτη παίρνουμε f(0)=0.Για y=0 στην δεύτερη έχουμε χ|f(x), άρα υπάρχει συνάρτηση $g: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ ώστε f(x)=xg(x),x>0.
Από την πρώτη έχουμε: $0 \leq g(x) \leq x$
και από την δεύτερη: $x-y|xg(x)-yg(y)\Leftrightarrow x-y|y(g(x)-g(y))$ (*)
Για χ=1 στην πρώτη έχουμε:f(1)=0,1
Αν f(1)=0,τότε υπάρχει(θέτοντας στην δεύτερη y=1) $h: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ ώστε g(x)=(x-1)h(x),δηλαδή f(x)=xg(x)=x(x-1)h(x). Όμως $f(x)\leq x^2 \Leftrightarrow h(x) \leq 1+\frac{1}{x-1}$ ,άρα h(x)=0orh(x)=1

,επομένως
f(x)=0 ή f(x)=x(x-1) που επαληθεύουν τις αρχικές συνθήκες.
Αν τώρα f(1)=1,για y=1 στη (*)(g(1)=1),τότε υπάρχει $h: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ ώστε g(x)=h(x)(x-1)+1.Όμως $f(x)\leq x^2 \Leftrightarrow h(x) \leq 1$ , άρα h(x)=0orh(x)=1

,επομένως
f(x)=x ή f(x)=χ^2.

Συνοψίζοντας οι μόνες λύσεις που πληρούν τις αρχικές συνθήκες είναι οι:
1) f(x)=0

2)

3)

4)

Ελπίζω να είμαι σωστός.

Συναρτησιακή με θεωρία αριθμών

Συναρτησιακή με θεωρία αριθμών

Re: Συναρτησιακή με θεωρία αριθμών

Μέλη σε σύνδεση