Καλύτερη σταθερή

#1

Να βρείτε την μέγιστη τιμή της πραγματικής σταθερής

ώστε για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x,y

να ισχύει

$\displaystyle{x^5+y^5\geq kxy(x^3+y^3).}$

#2

Θεωρώντας ισχύουσα την: $x^5+y^5\ge xy(x^3+y^3)$ με την ισότητα να αληθεύει για x=y

, εύκολα προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{{{x^5} + {y^5}}}{{xy({x^3} + {y^3})}} \ge 1}$ με την ισότητα αν και μόνον αν x=y

.

Αρκεί λοιπόν $k\le 1$ επομένως μέγιστη τιμή για το

είναι η μονάδα.

#3

Χρήστο σωστά. Ας δούμε κι αυτό:

$\displaystyle{(x+y)^5\geq kxy(x^3+y^3).}$

spiros filippas · #4

socrates έγραψε:Χρήστο σωστά. Ας δούμε κι αυτό:

$\displaystyle{(x+y)^5\geq kxy(x^3+y^3).}$

Στην ουσία θέλουμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της ποσότητας:

$\displaystyle \frac{(x+y)^5}{xy(x^3+y^3)}$

Aρκεί να βρούμε το ελάχιστο αυτής όταν xy=1

, δηλαδή της

$\displaystyle \frac{(x+\frac{1}{x})^5}{(x+\frac{1}{x})^3-3(x+\frac{1}{x})}=\frac{t^5}{t^3-3t}$ με t=x+1/x

Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle \frac{t^5}{t^3-3t}\geq 12$ .

Πράγματι αυτή ισοδυναμεί με την $\displaystyle t(t-\sqrt{6})^2(t+\sqrt{6})^2\geq 0$ .

Aρα k=12

Καλύτερη σταθερή

Καλύτερη σταθερή

Re: Καλύτερη σταθερή

Re: Καλύτερη σταθερή

Re: Καλύτερη σταθερή

Μέλη σε σύνδεση