Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα

Κώστας Παππέλης · #1

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα P(x)=x^3-ax^2+bx-c

με θετικές πραγματικές ρίζες x,y,z

που ικανοποιούν

1) 2a+c=b+4

2) $x^3+y^3+z^3= \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}$

#2

#3

Από την ανισότητα των δυνάμεων ισχύει

$\displaystyle{\left(\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\geq \left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{3}\right)^{2}}$

οπότε αν $\displaystyle{m=x^3+y^3+z^3=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z},}$

είναι

$\displaystyle{\left(\frac{m}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\geq \left(\frac{m}{3}\right)^{2}}$

άρα $\displaystyle{\boxed{m\leq 3}}$ ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ )

και η ισότητα ισχύει αν-ν $\displaystyle{x=y=z=1}$

Ακόμα, από την ταυτότητα

$\displaystyle{x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)\left[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)\right]}$

και από τους τύπους Vieta, προκύπτει

$\displaystyle{m=3c+a(a^2-3b)=a^3-3ab+3c\stackrel{c=b+4-2a}{=====}a^3-3ab+3b-6a+12.}$

Αποδεικνύουμε ότι

$\displaystyle{m\geq 3\iff a^3-3ab+3b-6a+12\geq 3\iff a^3-6a+9\geq 3b(a-1).}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{a\leq 1,}$ είναι $\displaystyle{a^3-6a+9>0,}$ ενώ το δεξί μέλος είναι αρνητικό.

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{a>1}$ αποδεικνύουμε ότι $\displaystyle{\frac{a^3-6a+9}{3(a-1)}\geq b.}$ Λόγω της προφανούς $\displaystyle{\frac{a^2}{3}\geq b,}$ αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\frac{a^3-6a+9}{3(a-1)}\geq \frac{a^2}{3},}$

δηλαδή ότι $\displaystyle{(a-3)^2\geq 0,}$ που ισχύει.

Τελικά δηλαδή είναι και $\displaystyle{m\geq 3,}$ οπότε σε συνδυασμό με την ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ ) προκύπτει $\displaystyle{m=3,}$ άρα $\displaystyle{x=y=z=1.}$

Συμπέρασμα: $\displaystyle{\boxed{P(x)=(x-1)^3}}$

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα

Re: Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα

Re: Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα

Μέλη σε σύνδεση