6 διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί.

[Σεραφείμ]

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει εξάδα διαδοχικών φυσικών αριθμών, με ώστε το γινόμενο τριών (3) από αυτούς να ισούται με το γινόμενο των άλλων τριών.

[Μάκης Χατζόπουλος]

Κύριε Σεραφείμ να πω το προφανές (όπως λένε και οι μαθητές μας);; Έστω ότι υπάρχει φυσικός αριθμός n τέτοιος ώστε: το γινόμενο τριών (3) από αυτούς να ισούται με το γινόμενο των άλλων τριών. Να πάρουμε όλες τις τριάδες, δεν είναι πάρα πολλές (δέκα στο πλήθος), να κάνουμε πράξεις και να καταλήξουμε κάθε φορά σε αδύνατη εξίσωση... Το ξέρω ότι δεν είναι κομψή λύση αλλά είναι μια λύση (με ποοοοολλές πράξεις)!

edit: Να ισχυροποιήσω την λύση μου, λέγοντας ότι δεν χρειάζεται να γίνουν όλοι οι πολ/σμοι, αφού αξ' αρχής φαίνεται η άνιση σχέση των γινομένων. πχ. ν(ν+1)(ν+2)<(ν+3)(ν+4)(ν+5) οπότε με αυτόν τρόπο πετάμε 5 πολ/σμούς και μας έχουν μείνει μόνο 5 πολ/σμούς να εξετάσουμε :

Έστω ότι υπάρχει φυσικό αριθμός ν τέτοιος ώστε να ικανοποιήτε η δεδομένη σχέση, τότε υπάρχουν οι εξής δυνατότητες:

1. ν(ν+1)(ν+5)=(ν+2)(ν+3)(ν+4) ;
2. ν(ν+3)(ν+4)= (ν+1)(ν+2)(ν+5) ;
3. ν(ν+2)(ν+5)=(ν+1)(ν+3)(ν+4) ;
4. ν(ν+4)(ν+5)=(ν+1)(ν+2)(ν+3) ;
5. ν(ν+3)(ν+5)=(ν+1)(ν+2)(ν+4) ;

[achilleas]

Αυτό είναι (μια ασθενής μορφή) του Θέματος 4 της 12ης Δ.Μ.Ο.

Μια σύντομη λύση είναι να εργασθούμε mod 5. Υπάρχουνε ακριβώς δύο αριθμοί που είναι ισότιμοι mod 5, αναγκαστικά οι και , οι οποίοι πρέπει να ανήκουν σε διαφορετικές τριάδες. Ο αριθμός πρέπει να είναι μαζί με τον
κι ο μαζί με τον , αφού . Έξετάζουμε τις περιπτώσεις:
Οι δυο τριάδες είναι:

(1) και

(Απορρίπτεται, αφού )

(2) και

Απορρίπτεται, διότι η δίνει μια δευτεροβάθμια εξίσωση χωρίς πραγματικές ρίζες.

Β'τρόπος (περιέχεται στο βιβλίο του Reiman) . Αν είναι δυνατή η εύρεση τέτοιων τριάδων, τότε οι μόνοι πρώτοι που τους διαρούν πρέπει να είναι οι 2, 3 και 5. Όπως στον Α΄τρόπο, οι και διαιρούνται από το 5. Από τους υπόλοιπους 4: ακριβώς δύο είναι περιττοί, οπότε θα διαιρούνται αναγκαστικά από το 3, με τη διαφορά τους να ειναι ίση με 2, άτοπο.

Αχιλλέας Συνεφακόπουλος

[nkatsipis]

Καλημέρα σας!

Υποθέτουμε ότι ο ισχυρισμός ισχύει.
Τότε, το γινόμενο των 6 διαδοχικών φυσικών θα ήταν τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

Από το θεώρημα όμως του Erdos που έχει αναφερθεί εδώ (viewtopic.php?f=63&t=1557&start=0) καταλήγουμε σε άτοπο.

Νικόλαος Κατσίπης

[dimitris pap]

Κατ' αρχάς αν δούμε την άσκηση mod 5 καταλαβαίνουμε ότι πρέπει να έχουμε ένα πολλαπλάσιο του 5 σε κάθε πλευρά της ισότητας. ΓΙα να συμβαίνει αυτό πρέπει να έχουμε 2 πολλαπλάσια του 5, κι αυτά να είναι το .

Τώρα ξέρουμε ότι ισχύει η ανισότητα κι άρα:
Αν ονομάσουμε τώρα στην ισότητα που θα είχαμε, το μέρος που περιέχει το , και , το μέρος που περιέχει το , εύκολα βλέπουμε ότι:
κι άρα έχουμε το άτοπο!

Υ.Γ. Μόλις είδα ότι ο Αχιλλέας με πρόλαβε, και ότι η λύση του κ.Κατσίπη είναι τέλεια!!!

[Demetres]

Μάκη, μ'αρέσει πολύ η λύση σου. Πολλές φορές ξεχνάμε ότι το πιο έξυπνο πράγμα που μπορούμε να κάνουμε είναι, αν μου επιτρέψεις την έκφραση, να μην κάνουμε τίποτα έξυπνο.

Μερικά από τα ζευγάρια διαγράφονται γρήγορα. Π.χ. στο (1) επειδή (ν+1)(ν+5) < (ν+2)(ν+4) η (1) αποκλείεται. Με μια πρόχειρη ματιά το ίδιο συμβαίνει στα (2) και (3). Για τα υπόλοιπα ζευγάρια ίσως να χρειαστεί να δείξουμε ότι κάποια δευτεροβάθμια δεν έχει ακέραιες λύσεις. Κανένα πρόβλημα όμως. Ξέρουμε πως να το κάνουμε.

[Μάκης Χατζόπουλος]

Μάκη, μ'αρέσει πολύ η λύση σου. Πολλές φορές ξεχνάμε ότι το πιο έξυπνο πράγμα που μπορούμε να κάνουμε είναι, αν μου επιτρέψεις την έκφραση, να μην κάνουμε τίποτα έξυπνο.

Μερικά από τα ζευγάρια διαγράφονται γρήγορα. Π.χ. στο (1) επειδή (ν+1)(ν+5) < (ν+2)(ν+4) η (1) αποκλείεται. Με μια πρόχειρη ματιά το ίδιο συμβαίνει στα (2) και (3). Για τα υπόλοιπα ζευγάρια ίσως να χρειαστεί να δείξουμε ότι κάποια δευτεροβάθμια δεν έχει ακέραιες λύσεις. Κανένα πρόβλημα όμως. Ξέρουμε πως να το κάνουμε.

Καλωσύνη σου!!

[Σεραφείμ]

Όλες οι ιδέες και λύσεις είναι πανέμορφες..!!

[dement]

Ενας αλλος τροπος ειναι να δουλεψουμε . Οι αριθμοι μας πρεπει να ειναι ισοτιμοι με τα και κατα συνεπεια το γινομενο τους θα ειναι . Αφου ομως το δεν ειναι τετραγωνικο υπολοιπο στο , εχουμε την απαντηση μας.

Δημητρης Σκουτερης

[Mihalis_Lambrou]

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει εξάδα διαδοχικών φυσικών αριθμών, με ώστε το γινόμενο τριών (3) από αυτούς να ισούται με το γινόμενο των άλλων τριών.

Πολύ ωραίες όλες οι παραπάνω λύσεις.
Βρήκα άλλες τρεις, αλλά θα γράψω τις δύο γιατί η τρίτη έχει αρκετές πράξεις.

Η πρώτη γενικεύεται εύκολα για περιπτώσεις περισσοτέρων από 6 διαδοχικούς.

1η ΛΥΣΗ. Έστω ότι κάποιος μερισμός των ν, ν+1, ... , ν+5 είχε την ιδιότητα ότι το γινόμενο των μεν να ισούται με το γινόμενο των δε.

Αναλύουμε κάθε έναν από τους έξι αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Επειδή το πολύ ένας από τους αριθμούς είναι πολλαπλάσιο του 7, συμπεραίνουμε ότι τελικά κανένας από τους αριθμούς δεν μπορεί να είναι πολλαπλάσιο του 7 (γιατί τότε το 7 θα εμφανιζόταν μόνο στο ένα μέλος της παραπάνω ισότητας). Όμοια, κανένας αριθμός δεν είναι πολλαπλάσιο του 11, του 13 και των λοιπών μεγαλύτερων πρώτων. Συνεπώς όλοι έχουν παράγοντες ΜΟΝΟ μεταξύ των 2, 3 και 5. Μάλιστα οι ν+1, ν+2, ν+3, ν+4 δεν έχουν παράγοντα 5 (για τον ίδιο λόγο), δηλαδή είναι όλοι της μορφής 2^m3^n. Επίσης, επειδή δύο διαδοχικοί αριθμοί δεν έχουν κοινούς πρώτους παράγοντες, συμπεραίνουμε ότι τελικά οι αριθμοί αυτοί είναι εναλλάξ της μορφής ... , , ... Αυτό όμως οδηγεί σε άτοπο γιατί γιά κάποιον και τον μεθεπόμενό του θα ίσχυε η αδύνατη ισότητα (εκτός αν q = 0, που πάλι απορρίπτεται με απευθείας έλεγχο).

2η ΛΥΣΗ. Αν κάποιος μερισμός των ν, ν+1, ... , ν+5 είχε την ιδιότητα ότι το γινόμενο των μεν να ισούται με το γινόμενο των δε, σημαίνει ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση (x+A)(x+B)(x+C) – (x+D)(x+E)(x+F) = 0 (όπου A, B, … , F αναδιάταξη των 0, 1, ... , 5) θα είχε ρίζα την ακέραιο x= ν.

Άρα ο ν θα διαιρούσε τον σταθερό όρο ABC του πολυωνύμου. Όμως το ΑΒC παίρνει λίγες τιμές (από μόνο του είναι διαιρέτης του ) . Άρα μπορούμε να ελέγξουμε με το χέρι και να απορρίψουμε όλες τις περιπτώσεις, όπως θέλαμε.

Ας προσθέσω, μπορούμε να μειώσουμε τον κόπο του ελέγχου αν πούμε: Είναι και μπορούμε να υποθέσουμε ότι , και άρα . Δηλαδή οι περιπτώσεις που μας αφορούν είναι δυό τρεις μικροί αριθμοί.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

Ξαναδιαβάζοντας τις απαντήσεις παραπάνω, παρατήρησα ότι η πρώτη μου λύση είναι ίδια με την δεύτερη λύση του Αχιλλέα. Δεν το είχα δει! Πάντως την λύση αυτή την έβγαλα ανεξάρτητα. Ζητώ συγνώμη για την επανάληψη.

[silouan]

Παραθέτω την ακόλουθη γενίκευση και στην συνέχεια έναν προβληματισμό.
Έστω ένας πρώτος αριθμός. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο δεν μπορεί να διαμεριστεί σε δύο σύνολα, που να έχουν ίδιο γινόμενο στοιχείων.
Τι μπορούμε να συμπεράνουμε αν ο πρώτος είναι της μορφής ?

[Demetres]

Παραθέτω την ακόλουθη γενίκευση και στην συνέχεια έναν προβληματισμό.
Έστω ένας πρώτος αριθμός. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο δεν μπορεί να διαμεριστεί σε δύο σύνολα, που να έχουν ίδιο γινόμενο στοιχείων.
Τι μπορούμε να συμπεράνουμε αν ο πρώτος είναι της μορφής ?

Το πρώτο ερώτημα είναι γενίκευση της λύσης του Δημήτρη (dement). Για το δεύτερο ερώτημα από το θεώρημα του Erdos που συζητήσαμε εδώ γνωρίζουμε πως ο διαμερισμός πάλι είναι αδύνατος. Δεν βλέπω όμως πως θα μπορούσαμε να δώσουμε μια απλή απόδειξη σε αυτήν την ειδική περίπτωση.

[Nikoula]

Καλησπέρα σας θα ήθελα τη βοήθεια σας στο εξής πρόβλημα:

Σε μια συνεχή σειρά φυσικών αριθμών ο τρίτος είναι άρτιος. Τι αριθμός είναι ο 527ος και τι ο 1538ος?
Διατυπώστε ένα σύντομο και διακαιολογημένο συλλογισμό...

[Mihalis_Lambrou]

Καλησπέρα σας θα ήθελα τη βοήθεια σας στο εξής πρόβλημα:

Σε μια συνεχή σειρά φυσικών αριθμών ο τρίτος είναι άρτιος. Τι αριθμός είναι ο 527ος και τι ο 1538ος?
Διατυπώστε ένα σύντομο και διακαιολογημένο συλλογισμό...

Με τρώει η περιέργεια γιατί τοποθέτησες την ερώτηση ως συνέχεια ενός ποστ που έχει άλλο θέμα (το μόνο κοινό που έχουν είναι ότι τα τα δύο μιλάνε για διαδοχικούς αριθμούς) και μάλιστα χρόνια αργότερα.

Τώρα, στο ερώτημά σου.

Είναι απόλυτα τετριμμένο (*): Αν άρτιος ο τρίτος αριθμός τότε ο os είναι ο . Kαι λοιπά (όλα τα υπόλοιπα εξ ίσου άμεσα).

(*) Με απλά λόγια, η τοποθέτηση της ερώτησης σε φάκελο Θεωρίας Αριθμών Πανεπιστημιακού επιπέδου, είναι άνω ποταμών. Θα την έβαζα στην Τρίτη Δημοτικού.