ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1.(α) Να απλοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle{K = (x + y)^3 - (x - y)^3 - 6x^2 y - y^3}$ .
(β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A = 200004^3 - 199996^3 - 24 \cdot 200000^2 -64}$ είναι κύβος ακεραίου.

2. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha, \beta}$ ισχύει ότι $\displaystyle{\alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha = 2\beta + \alpha\beta - 4 }$ ,
να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{(2x - \alpha)^3 - (x - \beta)^3-x^3 = 0}$ .

3.Δίνεται ορθογώνιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με πλευρές $\displaystyle{AB = 2\alpha}$ και $\displaystyle{A\Delta = \alpha}$ . Να αποδείξετε ότι το μέσον $\displaystyle{M}$ της πλευράς $\displaystyle{AB}$ έχει την ιδιότητα:
το άθροισμα $\displaystyle{\Delta M+ M\Gamma}$ είναι το ελάχιστο δυνατό για τις διάφορες θέσεις του σημείου $\displaystyle{M}$ πάνω στην ευθεία $\displaystyle{AB}$ .

4. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x, y, z}$ είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{x > 0, y + 1 > 0, z + 2 > 0}$ και $\displaystyle{x + y + z = 3 }$ ,

να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{x(y+1)}{x+y+1} + \frac{(y+1)(z+2)}{y+z+3} + \frac{x(z+2)}{x+z+2} \le 3}$ . Για ποιες τιμές των $\displaystyle{x, y, z}$ ισχύει η ισότητα;

sokratis lyras · #2

parmenides51 έγραψε:
4. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x, y, z}$ είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{x > 0, y + 1 > 0, z + 2 > 0}$ και $\displaystyle{x + y + z = 3 }$ ,

να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{x(y+1)}{x+y+1} + \frac{(y+1)(z+2)}{y+z+3} + \frac{x(z+2)}{x+z+2} \le 3}$ . Για ποιες τιμές των $\displaystyle{x, y, z}$ ισχύει η ισότητα;

Αν

η ανισότητα γίνεται : $\displaystyle\sum{\frac{ab}{a+b}}\le 3$ και από την $ab/(a+b)\le (a+b)/4$ προκύπτει το ζητούμενο.

BAGGP93 · #3

1.(α) Να απλοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle{K = (x + y)^3 - (x - y)^3 - 6x^2 y - y^3}$ .
(β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A = 200004^3 - 199996^3 - 24 \cdot 200000^2 -64}$ είναι κύβος ακεραίου.

Καλησπέρα στην μαθηματική παρέα.

1α)Γενικά για καθε $\displaystyle{a,b\in\mathbb{R}}$ ισχύει

$\displaystyle{a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)[(a-b)^2+3ab]=(a-b)^3+3ab(a-b)}$ και άρα

$\displaystyle{(x+y)^3-(x-y)^3=[(x+y)-(x-y)]^3+3(x+y)(x-y)[(x+y)-(x-y)]=8y^3+3(x^2-y^2)\cdot 2y=2y^3+6x^2y}$

Συνεπώς έχουμε

$\displaystyle{K=2y^3+6x^2y-6x^2y-y^3=y^3}$

1β)

Από το 1α) για $\displaystyle{x=200000}$ και $\displaystyle{y=4}$ έχουμε

$\displaystyle{A=y^3=4^3}$ που είναι κύβος ακεραίου

edit:προσθήκη εκφώνησης

KARKAR · #4

3 . Ωραίο αλλά πολυπαιγμένο θέμα . Ο αναγνώστης καταλαβαίνει εύκολα απο το σχήμα ...

: Euclides.png (6.24 KiB) Προβλήθηκε 1997 φορές

parmenides51 · #5

Καλύτερα στα θέματα των Διαγωνισμών της ΕΜΕ να κάνετε παράθεση την εκφώνηση γιατί έτσι διαβάζονται πιο εύκολα οι λύσεις.

Για να προσθέσει κανείς την εκφώνηση σε μια λυμένη άσκηση κάνει τα εξής:

πάει στην εκφώνηση της άσκησης, πατάει πάνω δεξιά παράθεση
μετά σβήνει τις εκφωνήσεις των άλλων ερωτημάτων
μετά πατάει Ctrl+A (επιλογή όλων)
μετά πατάει Ctrl+C (αντιγραφή)
μετά παει στο σημείο που έγραψε την λύση και πατάει πάνω δεξιά επεξεργασία
και μετά στην αρχή του κειμένου πατάει Ctrl+V (επικόλληση)
πατώντας προεπισκόπηση βλέπει πως φαίνεται, εαν χρειάζεται περαιτέρω επεξεργασία
και αν είναι εντάξει πατάει υποβολή

Υ.Γ. Στο τέλος της δημοσίευσης καλύτερα να γράφει και edit: προσθήκη εκφώνησης για να ξέρει ο αναγνώστης που οφείλεται η επεξεργασία του μηνύματος

φιλικά κι ενημερωτικά

hlkampel · #6

parmenides51 έγραψε: 2. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha, \beta}$ ισχύει ότι $\displaystyle{\alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha = 2\beta + \alpha\beta - 4 }$ ,
να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{(2x - \alpha)^3 - (x - \beta)^3-x^3 = 0}$ .

Είναι ${\alpha ^2} + {\beta ^2} - 2\alpha = 2\beta + \alpha \beta - 4 \Leftrightarrow$

${\alpha ^2} + {\beta ^2} - 2\alpha - 2\beta - \alpha \beta + 4 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot 2}$

$2{\alpha ^2} + 2{\beta ^2} - 4\alpha - 4\beta - 2\alpha \beta + 8 = 0 \Leftrightarrow$

$\left( {{\alpha ^2} - 4\alpha + 4} \right) + \left( {{\beta ^2} - 4\beta + 4} \right) + \left( {{\alpha ^2} - 2\alpha \beta + {\beta ^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow$

${\left( {\alpha - 2} \right)^2} + {\left( {\beta - 2} \right)^2} + {\left( {\alpha - \beta } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow$

$\alpha = 2\;\kappa \alpha \iota \;\beta = 2\;\kappa \alpha \iota \;\alpha = \beta$

Άρα $\alpha = 2\;\kappa \alpha \iota \;\beta = 2$

Με $\alpha = 2\;\kappa \alpha \iota \;\beta = 2$ η εξίσωση γίνεται:

${\left( {2x - 2} \right)^3} - {\left( {x - 2} \right)^3} - {x^3} = 0$ (1)

1ος τρόπος

$\displaystyle{\left[ {{{\left( {2x - 2} \right)}^3} - {{\left( {x - 2} \right)}^3}} \right] - {x^3}}=0$

$x\left[ {{{\left( {2x - 2} \right)}^2} + \left( {2x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right] - {x^3} = 0 \Leftrightarrow$

$x\left( {7{x^2} - 18x + 12} \right) - {x^3} = 0 \Leftrightarrow$

$x\left( {6{x^2} - 18x + 12} \right) = 0 \Leftrightarrow$

$x = 0\;\dot \eta \;{x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\dot \eta \;x = 2$

2ος τρόπος

Η (1) γράφεται: ${\left( {2x - 2} \right)^3} + {\left( {2 - x} \right)^3} + {\left( { - x} \right)^3} = 0$

Αφού είναι $\left( {2x - 2} \right) + \left( {2 - x} \right) + \left( { - x} \right) = 0$ τότε

${\left( {2x - 2} \right)^3} + {\left( {2 - x} \right)^3} + {\left( { - x} \right)^3} = 3\left( {2x - 2} \right)\left( {2 - x} \right)x$

Έτσι η εξίσωση γίνεται $3\left( {2x - 2} \right)\left( {2 - x} \right)x = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\dot \eta \;x = 1\;\dot \eta \;x = 2$

parmenides51 · #7

parmenides51 έγραψε:4. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x, y, z}$ είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{x > 0, y + 1 > 0, z + 2 > 0}$ και $\displaystyle{x + y + z = 3 }$ ,

να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{x(y+1)}{x+y+1} + \frac{(y+1)(z+2)}{y+z+3} + \frac{x(z+2)}{x+z+2} \le 3}$ . Για ποιες τιμές των $\displaystyle{x, y, z}$ ισχύει η ισότητα;

διαφορετικά εδώ

sokratis lyras · #8

parmenides51 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:4. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x, y, z}$ είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{x > 0, y + 1 > 0, z + 2 > 0}$ και $\displaystyle{x + y + z = 3 }$ ,

να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{x(y+1)}{x+y+1} + \frac{(y+1)(z+2)}{y+z+3} + \frac{x(z+2)}{x+z+2} \le 3}$ . Για ποιες τιμές των $\displaystyle{x, y, z}$ ισχύει η ισότητα;
διαφορετικά εδώ

Είναι ίδια λύση.

parmenides51 · #9

διαφορετικά γραμμένη τότε, πιο αναλυτικά

parmenides51 · #10

parmenides51 έγραψε:4. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x, y, z}$ είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{x > 0, y + 1 > 0, z + 2 > 0}$ και $\displaystyle{x + y + z = 3 }$ ,

να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{x(y+1)}{x+y+1} + \frac{(y+1)(z+2)}{y+z+3} + \frac{x(z+2)}{x+z+2} \le 3}$ . Για ποιες τιμές των $\displaystyle{x, y, z}$ ισχύει η ισότητα;

αλλιώς εδώ

#11

KARKAR έγραψε:3 . Ωραίο αλλά πολυπαιγμένο θέμα . Ο αναγνώστης καταλαβαίνει εύκολα απο το σχήμα ...
Το συνημμένο Euclides.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

(Χρησιμοποιώ το σχήμα του Θανάση (KARKAR))

: Euclides.png (6.24 KiB) Προβλήθηκε 1777 φορές

Προεκτείνω την $\Gamma M$ , μέχρι να συναντήσει την ευθεία $\Delta A$ στο σημείο D{'}

. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα

$\Gamma MB$ και MAD{'}

, είναι προφανώς ίσα και άρα $\Gamma B = AD{'} \Rightarrow A\Delta = AD{'}$ . Aπό εδώ

συμπεραίνουμε άμεσα ότι αν M{'}

είναι τυχαίο σημείο της

, θα είναι $M{'}\Delta =M{'}\Delta {'}$ . Τώρα από το τρίγωνο $\Gamma D{'}M{'}$ και λόγω της τριγωνικής ανισότητας, έχουμε : $\Gamma D{'}\leq \Gamma M{'}+M{'}\Delta {'}\Rightarrow \Gamma M+MD{'}\leq \Gamma M{'}+M{'}\Delta \Rightarrow$ $\Gamma M+M\Delta \leq \Gamma M{'}+M{'}\Delta$ . Aπο εδώ, συμπεραίνουμε ότι το ελάχιστο άθροισμα το έχουμε όταν το M{'}

συμπέσει με το μέσον

της

Παραθέτω και την εκφώνηση:

parmenides51 έγραψε:3.Δίνεται ορθογώνιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με πλευρές $\displaystyle{AB = 2\alpha}$ και $\displaystyle{A\Delta = \alpha}$ . Να αποδείξετε ότι το μέσον $\displaystyle{M}$ της πλευράς $\displaystyle{AB}$ έχει την ιδιότητα:
το άθροισμα $\displaystyle{\Delta M+ M\Gamma}$ είναι το ελάχιστο δυνατό για τις διάφορες θέσεις του σημείου $\displaystyle{M}$ πάνω στην ευθεία $\displaystyle{AB}$ .

Ιστοσελίδα · #12

Το θέμα 3 διαφορετικά. Στο προηγούμενο σχήμα θέτουμε AM'=x

οπότε

$\varDelta M'+M'\varGamma =\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{a^2+(2a-x)^2}\geq \sqrt{(a+a)^2+(x+2a-x)^2}=$

$\sqrt{4a^2+4a^2}=2a\sqrt{2} ,$ από την ανισότητα Minkowski.

Η ισότητα ισχύει όταν: $\dfrac{a}{a}=\dfrac{x}{2a-x} \iff x=2a-x \iff x=a ,$ δηλαδή όταν το

πάρει τη θέση του μέσου

της

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση