Βραδυνό ολoκλήρωμα 14

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Βραδυνό ολoκλήρωμα 14

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Σεπ 17, 2009 9:59 pm

ι. Να δείξετε ότι για α>0 είναι
\displaystyle \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx}  = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{x \cdot \sin (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx}

ιι. Να υπολογίσετε το
\displaystyle \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx}, για α>0


Σχόλιο: το ιι είναι εύκολο το (ι) πως βγαίνει;


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 14

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Παρ Σεπ 18, 2009 12:43 am

Για το (i) . Το ii ---> αύριο (το οποίο μου βγαίνει μάλλον ίσο με \frac{\pi }{2}e ^{-a})
Συνημμένα
Vrad.Olokli.14.jpg
Vrad.Olokli.14.jpg (22.21 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 14

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Σεπ 18, 2009 1:04 am

Μμμ..ωραία.
Το δεύτερο όντως βγαίνει όσο γράφεις


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12624
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 14

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Σεπ 18, 2009 1:51 am

mathxl έγραψε:ι. Να δείξετε ότι για α>0 είναι
\displaystyle \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx}  = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{x \cdot \sin (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx}

ιι. Να υπολογίσετε το
\displaystyle \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx}, για α>0


Σχόλιο: το ιι είναι εύκολο το (ι) πως βγαίνει;
Αν I(a) =  \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos (\alpha x)}}{{1 + {x^2}}}dx} τότε παραγωγίζοτας ως προς a, μεταφέροντας την παράγωγο μέσα στο ολοκλήρωμα με χρήση Leibniz και με χρήση του (i) βρίσκουμε I '(a) = -I(a). Άρα I(a) = Ce^{-a}. Για a = 0 είναι C = I(0) = \pi/2 (απλό και γνωστό) οπότε
I(a) = \frac{\pi}{2}e^{-a} , επιβεβαιώνοντας την τιμή που έγραψε ο Σεραφείμ.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες