Με πολλά ερωτήματα

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση

που είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ , ώστε να ισχύει οτι
$\displaystyle{f'(x)e^x=(nx^{n-1}-x^n)e^{-f(x)}, x>0, n \in \mathbb{N}-\{0,1\}}$

1) Nα δειχθεί οτι η C_f

διέρχεται απο τα σημεία $(1,-1) \, (e,2-e)$ και να βρεθεί ο τύπος της

2) Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα καθώς και να βρεθεί το σύνολο τιμών της

3) Να βρεθεί το σημείο M(x,y)

της

που απέχει απο την αρχή των αξόνων την μικρότερη απόσταση και καθώς και η απόσταση αυτή.

4) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f(x)=k, k \in \mathbb{R}$ και να εξεταστεί αν αντιστρέφεται
(στα ευρύτερα δυνατά υποσύνολα)

5) Αν $x \in (0,2)$ να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ln\frac{3x^2+\frac{1}{3}}{2x^2+\frac{1}{2}}=\frac{6x^2-1}{12}}$

6) Nα συγκριθούν οι αριθμοί $lne+\sqrt{\pi} , ln{\pi}+ \sqrt{e}$

7) Αν $x \in (0,2]$ και η $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτο, να δείξετε οτι οι εφαπτομένες των $\displaystyle{C_f, C_{f^{-1}}}$ στα σημεία (1,-1), (-1,1)

αντίστοιχα είναι παράλληλες με τον αξόνα συμμετρίας των $\displaystyle{C_f, C_{f^{-1}}}$ .

8) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περιέχεται απο την $\displaystyle{C_{f^{-1}}}$ τον αξόνα xx'

και τις ευθείες
x=-1, x=2ln2-2

. Οπου $\displaystyle{f^{-1}}$ η αντίστροφη συνάρτηση του προηγούμενου ερωτήματος.

#2

...μιά νυχτερινή αντιμετώπιση...με ότι συνεπάγεται....

1) Είναι από $\displaystyle{f'(x)e^x=(nx^{n-1}-x^n)e^{-f(x)}, x>0, n \in \mathbb{N}-\{0,1\}}$ ισοδύναμα ότι

${{e}^{f(x)}}{f}'(x)=(n{{x}^{n-1}}-{{x}^{n}}){{e}^{-x}}\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{f(x)}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{n}}{{e}^{-x}} \right)}^{\prime }},\,\,\,\,x>0$ απ όπου έχουμε ότι

${{e}^{f(x)}}={{x}^{n}}{{e}^{-x}}+c$ (χρησιμοποίησα ότι η

διέρχεται από τα σημεία....)

και αφού $f(1)=-1\Leftrightarrow {{e}^{-1}}={{e}^{-1}}+c\Leftrightarrow c=0$ και $f(e)=2-e\Leftrightarrow {{e}^{2-e}}={{e}^{n-e}}\Leftrightarrow n=2$

άρα ${{e}^{f(x)}}={{x}^{2}}{{e}^{-x}}\Leftrightarrow f(x)=2\ln x,-x,\,\,\,\,x>0$

2) Είναι ${f}'(x)=\frac{2}{x}-1=\frac{2-x}{x}$ με ${f}'(x)>0\Leftrightarrow 2-x>0\Leftrightarrow x<2$ άρα γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,\,2]$ και

${f}'(x)<0\Leftrightarrow 2-x<0\Leftrightarrow x>2$ άρα γνήσια φθίνουσα στο $[2,\,\,+\infty )$ άρα στο x=2

παίρνει την μέγιστη τιμή της $f(2)=2\ln 2-2$

Και αφού $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(2\ln x-x)=-\infty$ το σύνολο τιμών της θα είναι το $(-\infty ,\,\,\,2\ln 2-2]$

3) Αν M(x,y)

τυχαίο σημείο της ${{C}_{f}}$ τότε η απόσταση από το $O(0,\,\,0)$ είναι $d(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+{{(f(x))}^{2}}},\,\,\,\,x>0$ με

${d}'(x)=\frac{2x+2f(x){f}'(x)}{2d(x)}=\frac{x+f(x){f}'(x)}{d(x)},\,\,\,\,x>0$

Αν για ${{x}_{0}}>0$ η απόσταση γίνεται ελάχιστη τότε από Fermat αναγκαία

${d}'({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}+f({{x}_{0}}){f}'({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow 1+\frac{f({{x}_{0}})}{{{x}_{0}}}{f}'({{x}_{0}})=0$

δηλαδή ${{\lambda }_{OM}}{f}'({{x}_{0}})=-1$ που σημαίνει ότι η εφαπτομένη στο

είναι κάθετη στην

Παρατηρούμε ότι για το $M(1,\,\,\,-1)$ είναι ${{\lambda }_{OM}}=-1$ και {f}'(1)=1

άρα το σημείο $M(1,\,\,\,-1)$

απέχει την μικρότερη απόσταση από το $O(0,\,\,0)$ και αυτή είναι $\sqrt{2}$

4) Σύμφωνα με το σύνολο τιμών της

αν $k>2(\ln 2-1)$ η εξίσωση είναι αδύνατη

αν $k=2(\ln 2-1)$ έχει μία λύση την x=2

και αν $k<2(\ln 2-1)$ έχει δύο μοναδικές μία στο $(0,\,\,\,2)$

και μία στο $(2,\,\,\,\,+\infty )$ λόγω μονοτονίας σε κάθε ένα από αυτά.

Και αφού στο ${{A }_{1}}=(0,\,\,\,2]$ είναι γνήσια αύξουσα αντιστρέφεται σε αυτό και επίσης στο ${{A}_{2}}=[2,\,\,+\infty )$

που είναι γνήσια φθίνουσα αντιστρέφεται και σε αυτό.

5) Η εξίσωση $ln\frac{3{{x}^{2}}+\frac{1}{3}}{2{{x}^{2}}+\frac{1}{2}}=\frac{6{{x}^{2}}-1}{12}\Leftrightarrow 2\ln (3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})-2\ln (2{{x}^{2}}+\frac{1}{2})=\frac{6{{x}^{2}}-1}{6}\Leftrightarrow$

$2\ln (3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})-(3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})=2\ln (2{{x}^{2}}+\frac{1}{2})+\frac{6{{x}^{2}}-1}{6}-(3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})$ τελικά

$2\ln (3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})-(3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})=2\ln (2{{x}^{2}}+\frac{1}{2})-2{{x}^{2}}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})=f(2{{x}^{2}}+\frac{1}{2})$

(εδώ μάλλον υπάρχει πρόβλημα ή δεν βλέπω κάτι καλά αφού βάσει της υπόθεσης για το $x\in (0,\,\,2)$ για τις ποσότητες μέσα στην

δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα 1-1)

6) Είναι $e<\pi <4\Leftrightarrow \sqrt{e}<\sqrt{\pi }<2$ και επειδή

γνήσια αύξουσα στο θα ισχύει ότι $(0,\,\,\,2]$

θα ισχύει ότι $f(\sqrt{e})<f(\sqrt{\pi })\Leftrightarrow 2\ln \sqrt{e}-\sqrt{e}<2\ln \sqrt{\pi }-\sqrt{\pi }\Leftrightarrow \ln e+\sqrt{\pi }<\ln \pi +\sqrt{e}$

7) Αφού ${f}'(x)=\frac{2-x}{x}$ είναι {f}'(1)=1

και από $f(g(x))=x,\,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,\,2\ln 2-2]$ όπου $g={{f}^{-1}}$

παραγωγίζοντας έχουμε {f}'(g(x)){g}'(x)=1

άρα

και επειδή $f(1)=-1\Leftrightarrow 1=g(-1)$ έχουμε

${f}'(1){g}'(-1)=1\Leftrightarrow {g}'(-1)=1$ που σημαίνει ότι οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στην y=x

8) Λόγω συμμετρίας ως προς την y=x

το ζητούμενο εμβαδό είναι ισο με το εμβαδό που περικλείεται από τον {y}'y

τις ευθείες

$y=-1,\,\,\,\,y=2\ln 2-2$ και την ${{C}_{f}}$

Οπότε $E=\int\limits_{0}^{2}{(2\ln 2-2+1)}dx-\int\limits_{1}^{2}{(f(x)+1)}dx$ ή $E=2(2\ln 2-1)-\int\limits_{1}^{2}{(2\ln x-x+1)}dx=$
$=4\ln 2-2-2[x\ln x-x]_{1}^{2}+[{{x}^{2}}-x]_{1}^{2}=2$

(....αναμένεται σχήμα...)

: Με πολλά ερωτηματα.jpg (21.84 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

erxmer · #3

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...μιά νυχτερινή αντιμετώπιση...με ότι συνεπάγεται....

5) Η εξίσωση $ln\frac{3{{x}^{2}}+\frac{1}{3}}{2{{x}^{2}}+\frac{1}{2}}=\frac{6{{x}^{2}}-1}{12}\Leftrightarrow 2\ln (3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})-2\ln (2{{x}^{2}}+\frac{1}{2})=\frac{6{{x}^{2}}-1}{6}\Leftrightarrow$

$2\ln (3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})-(3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})=2\ln (2{{x}^{2}}+\frac{1}{2})+\frac{6{{x}^{2}}-1}{6}-(3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})$ τελικά

$2\ln (3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})-(3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})=2\ln (2{{x}^{2}}+\frac{1}{2})-2{{x}^{2}}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(3{{x}^{2}}+\frac{1}{3})=f(2{{x}^{2}}+\frac{1}{2})$

(εδώ μάλλον υπάρχει πρόβλημα ή δεν βλέπω κάτι καλά αφού βάσει της υπόθεσης για το $x\in (0,\,\,2)$ για τις ποσότητες μέσα στην

δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα 1-1)

Συνεχίζοντας λιγάκι επειδή η

είναι γνήσια αύξουσα και 1-1 στο (0,2]

έχουμε οτι
$\displaystyle{3x^2+\frac{1}{3}=2x^2+\frac{1}{2}\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{6}}{6}}$ .

Eπειδή $0<x \leq 2$ δεκτή η $\displaystyle{x= \frac{\sqrt{6}}{6}}$

Με πολλά ερωτήματα

Με πολλά ερωτήματα

Re: Με πολλά ερωτήματα

Re: Με πολλά ερωτήματα

Μέλη σε σύνδεση